10.1. Рівняння Бернуллі для елементарної струминки нев’язкої рідини

Елементарна струминка характеризується нескінченно малими розмірами свого перерізу. Тому можна вважати, що в усіх точках перерізу струминки швидкості u, тиски p і відмітки zзалишаються сталими. У той же час у різних перерізах струминки u, p, z будуть різними (див. рис.10.1). Тоді рівняння Бернуллі буде справедливе не тільки для лінії течії, а й для елементарної струминки, яка вибрана довкола цієї лінії течії.

Рис.10.1. Геометрична інтерпретація рівнянь Бернуллі для елементарної струминки ідеальної рідини

Якщо розглянути два перерізи 1-1 та 2-2, то можна записати

.   (10.1)

По аналогії з гідростатикою можна показати, що два перших доданки представляють собою питому енергію: перший – потенціальну енергію положення; другий - питому потенціальну енергію тиску; третій - питому кінетичну енергію. Сума трьох доданків є загальною питомою енергією, або повним чи гідродинамічним напором.

Висновок: для всіх перерізів елементарної струминки сума питомої потенціальної енергії і питомої кінетичної енергії є величиною сталою.

З фізичної точки зору рівняння Бернуллі описує частковий випадок закону збереження енергії.

Із гідростатики відомо, що вираз єп’єзометричним напором, який складається з лінійних величин – відмітки точки z і п’єзометричної висоти p/ρg. Величина u²/2g також має лінійну розмірність і її називають швидкісним напором. Отже рівняння Бернуллі є також рівнянням напору. Якщо у кожному з розглянутих перерізів (рис.10.1) буде встановлено п'єзометрвідкритого типу і трубка Піто (трубка загнута назустріч потоку), то рівні у цих приладах відносно площини порівняння 0-0 характеризуватимуть, відповідно, п'єзометричний і повний напір, а лінії, проведені через відповідні точки рівнів мають назву п’єзометрична лінія (р-р) і лінія повного напору (е-е).

Рівняння Бернуллі є найважливішим рівнянням гідравліки. Воно встановлює залежність між положенням точки, тиском і швидкістю в будь-якому перерізі елементарної струминки й аналогічними характеристиками в іншому перерізі цієї ж струминки.

При сталих значення координат z у різних перерізах із рівняння Бернуллі випливає дуже важлива властивість рідини, що рухається: із зростанням швидкості тиск зменшується, а із зменшенням швидкості тиск збільшується.

10.2. Диференціальні рівняння руху в’язкої рідини (рівняння Нав’є-Стокса). Рівняння Бернуллі для елементарної струминки реальної рідини

Для випадку в’язкої рідини у диференціальних рівняннях руху слід враховувати питомі сили в’язкості. Диференціальні рівняння руху в’язкої рідини (рівняння Нав’є-Стокса) можна отримати додаванням до диференціальних рівнянь руху нев’язкої рідини (9.2), згідно з принципом Д’Аламбера, складових X_в, Y_в, Z_в сил в’язкості, віднесених до одиниці маси. Ці складові за спрощеним методом Жуковського можна подати у вигляді

             (10.2)

де -оператор Лапласа.

З урахуванням цього диференціальні рівняння руху в’язкої рідини (рівняння Нав’є-Стокса) можна записати у вигляді

          (10.3)

Загального рішення рівнянь Нав’є-Стокса поки що немає. В аналізі рішень рівнянь полягає суть однієї з семи відкритих проблем, за рішення яких Математичний інститут Клея призначив премію в 1 млн. доларів США. Проте існують деякі частинні рішення для окремих випадків, для яких можуть бути задані граничні і початкові умови. Початковими умовами задається розподіл швидкостей в області руху у заданий момент часу. Граничними умовами можуть бути тиск і швидкість на границях потоку. Наприклад, біля стінки швидкість часто дорівнює нулю, а тиск на вільній поверхні потоку відповідає атмосферному.

Диференціальні рівняння у формі Громеки за аналогією з рівняннями (9.7) можна записати у вигляді для випадку стаціонарного руху ().

          (10.4)

Після множення кожного з цих рівнянь відповідно на dx, dy, dz, сумування лівих і правих частин, отримаємо

       (10.5)

Позначимо

      (10.6)

Величина dA_в – це робота сил в’язкості на елементарному переміщенні вздовж лінії течії, віднесеної до одиниці маси рідини. Оскільки для лінії течії визначник у рівнянні (10.5) дорівнює нулю, можна записати рівняння Бернуллі для елементарної струминки в’язкої рідини

         (10.7)

Рис.10.2. Геометрична інтерпретація рівнянь Бернуллі  для елементарної струминки в’язкої рідини

Як відомо реальна рідина відрізняється від ідеальної наявністю в'язкості, тобто між окремими шарами рідини при русі існує тертя. Так як існує тертя, то повинні з'явитися і втрати енергії. Тобто частина енергії реальної рідини, що рухається переходить в тепло. Відбувається так званадисипація (див.рис.10.2). Причому цей перехід енергії є незворотним. Враховуючи сказане можна записати:

.    (10.8)

З порівняння між собою рівнянь (10.7) та (10.8) очевидно, що втрати питомої енергії h_wхарактеризуються доданком A_в/g. А рівняння (10.8) носить назву рівняння Бернуллі для струминки реальної рідини.