Биофизика / 21_der_pr Примері решения производных

y

(sin x x cos x)

(sin x)

(x cos x)

cos x (x

cos x x(cos x) )

cos x (cos x x( sin x)) cos x cos x xsin x xsin x

Пример 223.

y ecos3x 3 2

y

2

e

3 e

2e

e

3 (cos 3x)

cos3x

cos3x

3

cos3x

cos3x

2ecos3x ecos3x

3 sin 3x(3x) 6ecos3x ecos3x 3 sin 3x

Пример 224. y

1

tg 2 2x

tg2 2x

2tg

3

(2x) (tg 2x)

2

1

(2x)

4

4cos2x

y

sin 3 2 x

tg3 2x

cos2 2x

sin3 2x

cos

2

2x

cos3 2x

Пример 225. y esin x cos 2 x

(sin x cos

2

sin x cos 2 x

(cosx

2 cosx ( sinx ))e

sin x cos

2 x

y

x) e

sin x cos 2 x

(cos x sin 2x)e

sin 2

x

Пример 226.

y

4

1 cos2

x

4

2 x

2 x

2

x

2 x

sin

1 cos

sin

1 cos

4

4

4

4

y

x

2

2

1 cos

4

x

x

1

2 x

2

x

x

x

1

2sin

cos

1 cos

sin

2 cos

sin

4

4

4

4

4

4

4

4

2

x 2

1 cos

4

x

x

x

x

x

x

x

sin

cos

1 cos 2

sin 2

2sin

cos

sin

1

4

4

4

1

4

4

2

4

2

2

2

x 2

2

2 x

2 x

cos

2

1 cos

4

1 cos

4

2 1

4

Пример 227.

y

4sin x

2

cos2 x

2

3

y 4 (sin x) cos

x sin x(cos

x)

4 cos

x 2sin xcos x( sin x)

cos4 x

cos4 x

4

cos3 x 2cos xsin2 x

4cos2

x 2sin2

x

4

cos2 x sin2 x sin2 x

4

1 sin2

x

cos4 x

cos3 x

cos3 x

cos3 x

11

Пример 228.

y

1 tg2 x ln cos x

1

1

2

1

1

1

cos2 x

sin2 x

y

2 tg x

( sin x) tg x

1

tg x

2

tg x

2

2

cos

2

x

cos x

2

x

2

x

cos

cos

x

cos

cos

x

tg x tg2 x tg3 x

Пример 229.

y

1 tg3 x tg x x

3 tg2 x

3

1

tg2 x

1

tg2 x sin2 x

y

3

(tg x)

1

1

cos2 x

cos2 x

cos2 x

cos2

x

Пример 230. y tg3 (x2 1)

2

2

2

3tg2 (x2

1)

2

3tg2 (x2 1)2x

6x tg2 (x2 1)

y

3tg

(x

1)(tg(x

1))

cos2 (x2

1) (x

1)

cos2 (x2 1)

cos2 (x2 1)

Пример 231. y 2x e x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

ln 2

x

e

x

x

x

(ln 2 1)

y

(2

) e

2

(e

)

e

2 ln 2

2

e

( x )

2 e

2

2 e

Пример 232.

y

1

sin 2 10x

sin 2 10x

2 cos10x

20 cos10x

3

y

2sin

(10x)

(sin10 x)

sin3 10x (10 x)

sin 310 x

Пример 233.

y ln sin(2x 5)

1

[sin(2x 5)]

cos(2x 5)

(2x 5)

2 ctg(2x 5)

y

sin(2x 5)

sin(2x 5)

Пример 234. y arctg e2 x

y

1

(e2 x )

1

2e2 x

2e2x

1 (e2 x )2

1 e4 x

1 e4 x

Пример 235.

y arcsin

1 3x

1

3

3

1 3x

1 (1 3x)

y

2

2

2

1 (1 3x)

3x

1 3x

3x

1 3x

3x 9x2

Пример 236. y xm ln x

(x

m

ln x)

(x

m

ln x

m

(ln x)

m 1

ln x x

m 1

x

mx

x

y

)

mxm 1 ln x xm 1 xm 1

mln x 1

Пример 237. y 3arctg x3 ;

arctg x3

ln 3 (arctg x

3

3arctg x3

ln 3

(x

3

3x2 3arctg x3

ln 3

y

3

)

1 x6

)

1 x6

x

Пример 238.

y arctg

1 x2

1

12

1

x

y

2

x

1 1

x2

1

1

1

x2

x 1

x 1

1

1 x2

1 x2

1

ґ

1

2

1

2

1

2 x2

1 x2

x2

1 x2

1 x2

1

2

1 x2

2

2

x

1

1 x x 1

1 x

2

2

2

2

2

ґ x

1

1 x

x 1 1 x

1 2 1 x 1 x x

x

x2

1 1 x2

( 2x)

1 1 x2

2 1 x2

1 x2

1 x2

2 1

2 1 1 x2

1 x2 1 x2 x2

1 1 x2

1

1

1

2

1 x2 2

1 x2

2

1 x2

1 x2

1 x2

Пример 239.

y arctg(tg 2 x)

1

2

2tgx

2 tg x

1

2 tg x

y

(tg

x)

(tg x)

1 tg4x

1 tg4x

1 tg4x

cos 2

x

cos

2

x cos

2

x

sin 4

x

cos4 x

2 tg x

2 tg xcos

2 x

2sin xcos x

sin 2 x

cos

2

x

sin4

x

cos4 x sin 4 x

cos 4 x sin 4

x

cos

4 x sin 4 x

cos2 x

Пример 240. y arcsin x

1 x2

1 x

2

(1 x

2

2

2

)

(arcsin x)

1 x

arcsin

x

1 x

1 x2

arcsin x

2 1 x

2

y

2x

1 x2

1 x2

1

arcsin x

1

x arcsin x

2 1 x2

1 x2

1 x2

(1 x2 )

1 x2

Пример 241. y arctg

3 x

x 2

13

1

3 x

x 2

1

y

3 x

3 x

x 2

1

3 x x 2

1 x 2

2

x 2

x 2

(3 x) (x 2) (3 x)(x 2)

(3 x) (x 2) (3 x)(x 2)

(x 2)2

2

3 x

2(x 2)

3

x

x 2

x 2

(x 2)

(3 x

)

1

1

2(x 2)

3 x

2(x 2)

3 x

2

(x

2)(3 x)

x 2

10

x 2

1

1 ln e5x e 5x

Пример 242. y ln

ln10 ln e5x e 5x

5

ln10

5

e

5x

e

5x

5

1

1

1

5 x

5 x

5 x

5 x

ln10

ln e

e

5x

5x e

e

y

5

5

e

e

1

1

5x

5x

5e5 x

5e 5 x e

e 5x

cth 5x

e

5x

e

5x

5x

5

x

e

e

Пример 243. y ln tg2

6

x

1

2 tg 6

2

1

x

2

x

2

x

x

y

ln tg

6

tg

6

tg

6

x

2 x

x

x

tg

2

tg

6

tg

cos

2

6

6

6

6

1

1

2

3 tg x cos2

x

3sin

x

cos

x

3sin

x

6

6

3

6

6

1

Пример 244. y ln

1 ln(1 e2 x

1 e2 x e4 x

ln(1 e2 x e4 x )

e4 x )

2

2

1

1

2 x

4 x

1 2e2x 4e4x

e2 x 1 2e2 x

2

1 e2 x e4 x (1

e

e

2

1 e2 x e4 x

1 e2 x e4 x

y

)

1

1

x

x

x

Пример 245. y ln 3

3

3 tg

1 ln

3 tg

1

ln

3 tg

1

2

2

3

2

1

1

1

1

3

x

1

x

3 tg

1

y

3

x

2

3

x

2 x

2

2 x

x

3 tg

1

3 tg

1 cos

2 cos

3 tg

1

2

2

2

2

2

Пример 246. y ln

2x 1

2x

1

1

(2x 1)

(2x)

y

2x 1

2x

2x

1 2x

2x 1

2 2x 1

2 2x

2x

14

		1					2				2						1						1				1
		2x 1					2 2x 1										2x 1						2x 1
				2x							2 2x								2x								2x

1

2x 1

2x

1

2x 1 2x

2x 1 2x

4x2 2x

Пример 247.

y ln

1 ln e2x

e 2x .

e2x e 2x

1

2

2 x

2 x

e2x e 2x

y

2e

2e

2 x

2 x th 2x

2(e

2 x

e

2 x

)

e

e

y ln3

x

Пример 248.

1 e

3

3ln2

x

x

1

1 e 3

e 3

x

x

x

x

y 3ln2

1 e3

ln 1 e 3

3ln2

1 e 3

1 e3

x

x

1 e 3

3 1 e 3

x

x

e3 ln2

1 e 3

x

1 e3

x

Пример 249.

y ln ctg

2

4

x

1

x

4

2

ctg

y

4

2

x

x

x

2

ctg

ctg

sin

4

2

4

2

4

2

1

1

1

x

x

x

cos x

2 cos

sin

2

sin

2

4

2

4

Пример 250.

y arcsin

x 1

2

1

1

1

1

1

y

2

2

2

x 1

x 1

x 1

4(x 1) (x 1)2

1

4

x 1

1

4

4

1

1

2

2

4x 4 (x2 2x 1)

2x x2 3

Пример 251.

y

arccos

1

x

x

15

1

1

1

1

1

1

x

arccos

x arccos

arccos

x

y

1

1

x

x

2 x

x

x

x2

1

1

x2

1

1

arccos 1

arccos

1

x

x2 1 x2

x3 x

2 x

x

2 x

x

Пример 252. y arcsin

x

1 x2

2

2

1

x

1 x2

1

x

x

1 x

x

y

2

2

2

1

x

2

1

x

1 x

1 2x

1 x2

2

2

1 x2

x(1

x

)

1 x2

2x

1 x2

1 x2

2 1 x2

2 1 x2

1 2x2

1 x2

1 2x2

1 x2

1 x2

x2

1 x2

1 x2

1

1

1 x2

1 x2

1 2x2

1 x2

1 2x2

1 x2 (1 x2 )

1 2x2 (1 x2 )

Пример 253. y 1 4x2 arcsin 2x

y 1 4x2 arcsin 2x 1 4x2 (arcsin 2x)

8x

1

4xarcsin 2x

arcsin 2x

1 4x2

2 2

2 1 4x2

1 4x2

1 4 x2

Пример 254. y ln(tg(2x 1))

						1												1
		2									2
y						ln(tg(2x 1)) ln(tg(2x 1))										ln(tg(2x 1)) tg(2x 1) tg(2x 1)
						(2x 1)												2
		2						tg(2x 1)cos2 (2x 1)										2					tg(2x 1)cos2 (2x 1)
					ln(tg(2x 1))															ln(tg(2x 1))
						1												2
							sin(2x 1)cos(2x 1)															sin(4x 2)
			ln(tg(2x 1))																ln(tg(2x 1))

Пример 255. y sin ln(2x 1)

cos

ln(2x 1)

y cos

ln(2x 1)

ln(2x 1)

ln(2x 1)

2 ln(2x 1)

cos

2cos

cos

ln(2x 1)

ln(2x 1)

ln(2x 1)

2

ln(2x 1)(2x 1) (2x 1)

2

ln(2x 1)(2x 1)

(2x 1)

ln(2x 1)

Пример 256. y tg(x2 1) ln sin(x2 2x 1)

16

y

1

tg(x2 1) ln sin(x2

2x 1)

2

tg(x2 1) ln sin(x2 2x 1)

1

ґ

2

tg(x2

1) ln sin(x2

2x 1)

1

1

ґ

(x2 1)

sin(x2

2x 1)

2

(x

2

1)

sin(x

2

2x 1)

cos

2x

cos(x2

2x 1)

2

sin(x2

2x 1) (x

2x 1)

cos2 (x2

1)

2

2x 1)

2x

ctg(x2

2x 1) (2x 2)

x

(x 1)ctg(x2 2x 1)

cos2 (x2

1)

cos2

(x2

1)

2

tg(x2

1) ln sin(x2 2x 1)

tg(x2 1) ln sin(x2

2x 1)

Пример 257.

y ln(cos2

x

1 cos2 x)

1

1

2

2

cos

x

1 cos

x

ґ

y

cos

2

x

1 cos

2

x

cos

2

x

1 cos

2

x

1

1

ґ

2 cos x(cos x)

(1

cos 2 x)

ґ

2

1 cos2 x

cos2 x

1 cos2 x

1

1

ґ

2 cos x sin x

2 cos x(cos x)

ґ

2

1 cos2 x

cos 2

x

1 cos 2

x

ґ

2 cos x sin x

2 cos xsin x

sin 2x

1

1

2

cos2 x

1 cos2

1 cos2 x

x

2 1 cos2 x

Пример 258.

y sin3 7x arcctg 5x2

y (sin3 7x) arcctg5x2

sin3 7x(arcctg 5x2 ) 3sin2

7x(sin 7x) arcctg5x2

3

1

2

) 21sin

2

2

10xsin3

7x

sin

7x

(5x

(7x)cos(7x)arcctg 5x

4

1 25x

4

1

25x

Пример 259.

1

y cos 5

x

arctg x4

cos x

5

arctg x4

y

1

1

arctg x4 cos x

1

cos x5 arctg x4

cos x

5

5 (arctg x4 )

1

1

arctg x4

1

1

(x4 )

sin x5

x5

cos x5

8

1

x

4

1

1

4x3 cos x5

4x3 cos 5

x sin 5

xarctg x4

1 x 5 sin x5 arctg x4

1 x8

1 x8

5

55 x4

Пример 260.

y 5 x2

arcsin 3x3

17

(5

x2

)

arcsin 3x

3

5

x2

3

5

x2

2

arcsin 3 x

3

y

(arcsin 3 x )

ln 5( x

)

5 x2

3

x2

3

9x2 5 x2

(3x

)

2x5

ln 5 arcsin 3x

1 9x6

1 9x6

Пример 261. y log2 (x 7) arctg

x

(log2

(x 7))

arctg

x log

2( x 7)(arctg

x)

y

1

log2 (x 7)

arctg

log2 (x 7)

x

(x 7) ln 2

(x 7) arctg

x

1 x

(

x )

(x 7) ln 2

2

(1 x)

x

Пример 262. y ch3 (9x) arctg(5x 1)

3

3

1

(ch

ch

9x1 (5x 1)2

y

9x) arctg(5x 1)

(5x 1)

2

5ch3 9x

3ch

(9x)sh(9x )(9x ) arctg(5x

1)

1 (5x 1)2

27ch

2

(9x)sh(9x) arctg(5x 1)

5ch3

9x

25x2 10x

2

sin3 (5x 1)

Пример 263. y

lg(3x 2)

(sin3

(5x 1)) lg(3x 2) sin 3(5x 2)(lg(3 x 2))

y

lg2 (3x 2)

2

3

1

3sin

(5x 1)(sin(5x 1))

lg(3x 2) sin

(5 x 1)

(3x 2) ln10(3 x 2)

lg2 (3x 2)

15sin2 (5x 1) cos(5x 1) lg(3x 2) 3sin3 (5x 1)

(3x 2) ln10

lg2 (3x 2)

1

Пример 264. y

3

arctg 2x

(arctg 2x)3

sh2 x

sh2 x

1

1

2

2

3

2x

sh

3

2x

x)

arctg

x arctg

(sh

y

sh4 x

2

1

2

1

1

2

2

3 arctg

3 2x arctg 2x

sh2 x arctg 3

2x 2sh x(sh x) 3 arctg

3

2x

sh x

1 4x2

sh4 x

sh4 x

1

1

arctg3 2x 2sh x ch x

2

2arctg3 2x ch x

sh4 x

2

sh3 x

3sh2 x(1 4x2 )arctg 3 2x

18

																													x 3					1
Пример 265.											y 9				x 3							log			(2x 3)									9	log (2x 3)
																								5
															x 3																				5
																													x 3
																										1
				x			3			1
									9																x 3 9
													log5				(2x						3)						log5 (2x 3)
y
				x			3																		x 3
	1	x 3						8			x 3															x 3						1
									9																							9		(2x 3)
																	log5						(2x 3)
	9													3																				(2x 3) ln 5
		x 3									x															x 3
	1	x 3					8																													x 3			1	2
																																							9
							9 (x 3) (x 3) (x 3)(x 3)																								log5 (2x 3)
	9																			(x			3)2																	(2x 3) ln 5
		x 3																																		x 3
							8																									1
	1 (x 3)9												6													x 3									2
																		log5					(2x 3)									9
	9 (x 3)98										(x 3)2
																										x 3								(2x 3) ln 5
	x 3					1							2										2 log5 (2x 3)
						9
								(2x 3) ln 5																	8				10
	x 3																					3(x 3)9 (x 3) 9
	x 3					1							2											2 log5 (2x 3)
						9
								(2x 3) ln 5
																						3 9 (x 3)8 (x 3)10
	x 3

Пример 266. y x tgx

Прологарифмируем обе части равенства: ln y ln x tg x tg x ln x. Возьмем производную от обеих частей равенства: (ln y) ( tg x ln x) . Вычислим

(ln y) yy ,

1

tg x

( tg xln x)

( tg x) ln x ( tg x)(ln x)

ln x

cos2

x

x

Значит,

y

ln x

tg x

ln x

tg x

y y

y

cos

2

x

x

cos

2

x

x

Осталось подставить выражение y через x.

tg x

ln x

tg x

y x

.

cos

2

x

x

1

Пример 267. y x

x

1

1

Прологарифмируем обе части равенства: ln y ln xx

lny x lnx

19

Возьмем производную от обеих частей равенства:

y

1

1

y

1

ln x

ln x

(ln x)

2

y

x

y

x

2

x

x

Значит,

1

ln x

1 lnx

;

y

y

2

y

2

2

x

x

x

		1
			ln x
(ln y)
	x

x

1

1 ln x

x

1

2

(1 ln x) x

1

2

(1 ln x)

x

x

x

x

y

x2

Пример 268. y xln x

Прологарифмируем обе части равенства: ln y ln x ln x

Возьмем производную от обеих частей равенства

y

y

2 ln x

y

2 ln x(ln x)

y

x

Значит,

y

2 ln x

2xln x ln x

y

x

x

Пример 269. y (arctg x)ln x

Прологарифмируем обе части равенства: ln y ln x ln arctg x

Возьмем производную от обеих частей равенства
y		ln arctg x ln x(ln arctg x)		y		ln arctg x		ln x
				y		x	arctg x
y (ln x)

lny ln2 x

	1
	1 x2

ln x ln arctg x

ln x

Значит,

y (arctg x)

x

(1 x

2

) arctg x

Пример 270. y (cos x)x

Прологарифмируем обе части равенства: ln y ln(cos x)x

ln y x ln cos x

Возьмем производную от обеих частей равенства:

(ln y)

(x ln cos x)

y

ln cos x x(ln cos x)

ln cos

x

y

x

x cos x(cos x) ;

y

ln cos x x

sin x

ln cos x xtg x

y

cos x

Значит,

y y(ln cos x xtg x) (cos x) x(ln cos x xtg x)

Пример 271. y (sin x)ln x

Прологарифмируем обе части равенства:

ln y ln(sin x)ln x	ln y ln x ln sin x	(ln x ln sin x)
Возьмем производную от обеих частей равенства: (ln y)

20