Биофизика / 21_der_pr Примері решения производных

y

ln sin x ln x(ln sin x)

ln sin x

ln x cos x

x

sin x

y (ln x)

Отсюда

ln sin x

ln x cos x

(sin x)

ln x

ln sin x

ln x cos x

y

y

x

x

sin x

sin x

Пример 272. y (cos x)x2
Прологарифмируем обе части равенства:ln y ln(cos x)x2					ln y x2 ln cos x
					(x	2	ln cos x)
Возьмем производную от обеих частей равенства: (ln y)
y		2xln cos x x2	1	( sin x) 2xcos x x2 tg x
y			cos x

Значит,

y (cos x)x2 (2xln cos x x2 tg x)

Пример 273. y xx x

Прологарифмируем обе части равенства: ln y ln xxx xx ln x Опять прологарифмируем обе части равенства:

ln ln y ln(xx ln x) ln xx ln ln x x ln x ln ln x

Возьмем производные от левой и правой частей.

(ln ln y) (xln x ln ln x)

Вычислим

(ln ln y) ln1y (ln y) yln1 y y

(xln x ln ln x) (x ln x) (ln ln x) x ln x x(ln x)

	y	ln x 1	1
Значит,					. Следовательно
	y ln y			x ln x

	1
	ln x (ln x)			ln

	1		; осталось подставить выражения y и ln y
y y ln y ln x 1
	x ln x

y x

x

ln x ln x 1

1

x

ln

x ln x x

.

x x

x

x x x

2

x x x

1

x ln x

Пример 274. y (x x2 )x

ln y xln(x x

2

),

(x ln(x x

2

))

(ln y)

y

ln(x

x2 ) x

1

(1 2x) ln( x x2)

1 2x

y

x x2

1 x

2

1 2x

2

x

2

x

x 1

y

y ln(x x

) y 1 x

(x x

)

ln(x x

) x

(1 x )

(1 2x)

Пример 275.

y (x 3)3 (2x 3)2

(x 1)4

x 1	1
		xln x

через x:

21

Прологарифмируем обе части равенства: ln y ln

(x 1)3 (2x 3)2

,

(x 1)4

ln y ln(x 1)3 ln(2x 3)2 ln(x 1)4

ln y 3ln(x 1) 2 ln(2x 3) 4 ln(x 1)

Продифференцируем обе части равенства:

(ln y)

3ln(x 1) 2 ln(2x 3) 4 ln(x 1)

y

3

2

2

4

y

y

3

4

4

y

x 1

2x

3

x

1

2x

3

x 1

x 1

(x 1)3 (2x 3)2 3

4

4

y

(x 1)4

1

2x 3

x

x

1

1

(x 2)2

Пример 276. y

x 2

2

1

3 (x 1)2 (2x 1)

(x 1)3

(2x 1)3

1

Прологарифмируем обе части равенства: ln y ln

(x 2)

2

2

1

(x 1)3 (2x 1)3

ln y

1 ln( x 2)

2

ln( x 1)

1ln(2 x 1)

3

2

3

y

1

2

1

2

Продифференцируем обе части равенства:

3

y

2(x 2)

3(x 1)

2x 1

1

2

1

2

y

y

3(x 1)

3

2(x 2)

2x 1

1

2

2

x 2

y

2x 4

3x 2

6x

3

3 (x 1)2 (2x 1)

Пример 277. y (cth 3x)arcsin x

ln y ln(cth 3x)arcsin x arcsin x ln cth 3x

Продифференцируем обе части равенства.

(ln y) (arcsin x ln cth 3x)

(ln y)

y

y

(arcsin x ln cth 3x)

(arcsin x)

ln cth 3x arcsin x(ln cth 3x)

1

ln cth 3x

arcsin x

1

(cth 3x)

ln cth 3x

arcsin x

3

1 x2

cth 3x

1 x2

cth 3x

sh2 3x

y

ln cth 3x

3arcsin x

y

3arcsin x

y ln cth 3x

y

ch 3x

ch 3x sh

2

1 x2

2

1 x2

x

x

sh3x sh

22

ln cth 3x
y (cth 3x)arcsin x
	1 x2

6arcsin x sh6x

Пример 278.

y log4 (2x 3) arctg 2x

ln y ln log

4

(2x 3) arctg 2x arctg 2x ln log (2x 3)

4

Возьмем производную от обеих частей равенства:

(ln y) arctg 2x ln log4 (2x 3)

(ln y)

y

y

(arctg 2x ln(log4 (2x 3))) (arctg 2x) ln(log4 (2x 3))

arctg 2x ln(log4 (2x 3))

2

arctg 2x

ln(log4 (2x

3))

log4 (2x 3)

1

4x2

log4 (2x 3)

2ln(log4 (2x 3)

arctg 2x

1

(2x 3)

1 4x2

log4 (2x 3)

(2x 3)ln 4

2ln(log4 (2x 3))

2arctg 2x

1 4x2

(2x 3)ln 4 log4 (2x 3)

y

2ln(log4 (2x 3))

2arctg 2x

1 4x2

y

(2x 3)ln 4 log4 (2x 3)

y y

2ln(log4 (2x 3))

2arctg 2x

1 4x2

(2x 3)ln 4 log4 (2x

3)

2ln(log4 (2x 3))

2arctg 2x

arctg 2x

y

1 4x2

log4 (2x 3)

(2x 3)ln 4 log4 (2x 3)

Пример 279. Найдём производную функции, заданной неявно соотношением: tg yx 5x . Продифференцируем обе части заданного соотношения по переменной x:

y

tg

(5x)

x

1

1

y

y

y x yx

y x y

tg

x2

; (5x) 5;

2 y

2 y

2

2 y

x

cos

x

cos

x

cos

x

x

y

x

5x2 cos2

y

y x y

x

x

2

cos

2 y 5

y

x

.

x

Пример

280.

Найдём

производную

функции,

заданной неявно соотношением:

x

ln y arctg y .

23

Продифференцируем обе части по x:

(ln y)							x
			arctg
							y
y			1
						x
y				x	2
	1					y
				y	2

							y xy
x y xy
y2		x2						y2 x2
	1
		y	2

	y		xy
	y2 x2		y2 x2

1

x

y

y2

x2

xy

y

y2

y

y

y

y2 x2

y2 x2

y(y2 x2 )

y2 x2

y2 x2 xy

y

Пример 281. Функция

y(x) задана неявно:

y

2

x e

xy

. Продифференцируем по х обе части

y

равенства:

2

(y

x

x)

e

y

y

1

2yx y

2

x

y

2xy

2

x

e

y

e

y

y

y

x

x

2xy y

2

xy

1

1

e

y

y

y

x

x2

y

y

ex

1

y 2xy y

y2 y

ex

x

x2

y

y

2

1

y

y

e

x

1

ex

2

x

x2

y

y 2xy

y y

e

y

x

x2

y

e

x

2xy

x

Пример 282. Функция

y(x) задана неявно:

y

arctg x

. Продифференцируем по x обе

x

y

части равенства:

y

x

arctg

.

x

y

y

y x yx

y x y

x2

x2

x

1

y

2

xy

x

x

x y

y y x

arctg

x2

y2 x2

y2

y2 x2

y

y

1 y2

y

x

y x y

y y x

y y

y

x2

y2 x2

x

x2

y2 x2

y2 x2

24

y2 x2 x2

yx2 y(y2 x2 )

y

x2 (y2 x2 )

x(y2 x2 )

yx2

y(y2 x2 )

x(y2 x2 )

yx2 y3 yx2

y

x

2

(y

2

x

2

)

2

2x

2

2

2

)

y

x(y

2x

Пример 283. Функция y(x) задана неявно: ysin x Продифференцируем обе части равенства по x:

(ysin x) (cos(x y))

y sin x ycos x sin(x y)(1 y )

y sin x ycos x y sin(x y) sin(x y) y (sin x sin(x y)) ycos x sin(x y)

y ycos x sin(x y) sin(x y) sin x

y (y2 2x2 ) y x(y2 2x2 ) x

cos( x y) .

Пример 284. Функция y(x) задана неявно: x y ey arctg x 0 . Продифференцируем обе части равенства по x:

(x y ey arctg x) 0

1

(e

y

e

y

0

y

) arctg x

(arctg x)

1

y

arctg x

ey

0

1 x2

y

y e

ey

ey

1

y

1 x2

1 1 x2

arctg x)

1 ey arctg x

y

(1 e

y

Пример 285. Функция y(x) задана неявно: exy x2 y3

0

Продифференцируем обе части равенства по x:

(exy x2 y3 ) 0

e

xy

2

0

(xy)

2x 3y y

xy

2x

3y

2

0

(x y

xy )e

y

ye

xy

xy

2x

3y

2

y

0

y xe

xy

2

xy

2x yexy

y (xe

3y

) 2x ye

y

.

xexy 3y2

Пример 286. Функция y(x) задана неявно: xy x sin y 0. Дифференцируем по x:

(xy xsin y) 0

				0
x y xy		x sin y xcos y y					y sin y
	(x x cos y) y sin y
y					y			.
							x(1 cos y)

Найти первую и вторую производные заданных функций. Пример 287. y arcctg x

25

1

2

1

y

(1 x

)

1 x2

(1 x

2 1

(1 x

2 2

2

2x

y

)

)

(1 x

)

(1 x2 )2

Пример 288. y e x sin x

y

(e

x

x

(sin x)

e

x

sin x e

x

cos x

e

x

(cos x sin x)

) sin x e

y

(e

x

sin x) e

x

(cos x sin x)

e

x

(cos x sin x) e

x

( sin x cos x)

) (cos x

e x ( cos x sin x sin x cos x) e 2x ( 2cos x) 2e 2x cos x

Пример 289.																								y x									1 x2
																																																																		2x																															x			2
										1 x						2				x							1 x						2				1 x															2																											1											2
y				x																																																					x																													x
																																																														2 1 x													2																												2
																																																																																																1 x
																																																																																								x(1 2x2 )
																																																																		4x							1			x						2
														2													2																		2													2
																				1 x (1																				2x )										1 x																																								1 x
							(1 2x )																																																																																										2
y																												1 x2																																																					1 x2
			4x(1 x2 ) x(1 2x2 )																																					4x 4x3 x 2x3																																							3x 2x3
									(1 x2 ) 1 x2																																	(1 x2 ) 1 x2																														(1 x2 ) 1 x2
Пример 290.																			y										1																		12
																								3
																										9x 4																4 x3 10
																																																1																											4
																				1														3																										1
																				3																				10)								4														(9x 4)														3				(9x
y						(9x 4)																				12 (x																																		3																										4)
										1																5																																	9																								3
12										4		(x3					10)									4 (x3 10)																																																																				3x2
																																																		3 3						(9x 4)4																			4 (x3									10)5
												3																9x2																																		4																											5
																																											3(9x 4)																			3 9x2 (x3																			10)								4
						3 (9x 4)											4						4 (x3 10)																	5
																													7																																														5
													4																																									2								3																							2						3										5
																													3																																														4																										4
				3													(9x 4)														(9x																																		10)														9x								(x							10)
y													3																											4)										(9x ) (x
4(9x 4)															7																	10)													5															5																					9								10)
															3 9 18x(x3																														4 9x2															4			(x3 10)																		4 ( x3
																	7													3															5					45								3										9								2
36(9x 4)																	3 18 x( x														10)														4					4 ( x											10)							43 x
									36																18x																								135x2
			3																		4																						4 4
					(9x 4)7																		(x3 10)5																										(x3 10)9

1 2x2 1 x2

26

Пример 291. y

x

x

2 1

x

2

1) x(x

2

1)

(x

2

1) x2x

x

2

1

x

(x

y

2

2

2

1

(x

2

1)

2

2

2

x

(x

1)

(x

1)

2

2

2

2

(x

2

2

x

2

1

(x

1) (x

1)

(x

1)

1)

y

(x

2

1)

2

(x

2

1)

4

2x(x

2

1)

2

(x

2

1)2(x

2

1)(x

2

1)

2x(x

2

1)

2

2(x

2

1)(x

2

1)2x

(x2 1)4

(x2 1)4

2x(x2 1) 4x(x2 1)

4x(x2 1) 2x(x2 1)

4x3 4x 2x3 2x

2x3 6x

(x2 1)3

(x2 1)3

(x2 1)3

(x2 1)3

2t t

3

Пример 292. Функция задана параметрически

x

.

2t2

y

Вычислим сначала первую производную:

dy

dy

dy

4t

dt

dy

4t

dx

2 3t

2

; так как

;

, то dx

.

dx

dx

dt

dt

2 3t2

dt

Теперь вычислим вторую производную:

dy

dy

d

dx

d

2

y

d

dt

dx

dx2

dx

dx

dt

d

dy

2

) 4t(2

3t

2

)

4(2 3t

2

) 4t( 6t)

8

12t

2

24t

2

8 12t

2

dx

(4t) (2 3t

,

dt

(2 3t2 )2

(2 3t2 )2

(2 3t2 )2

(2 3t2 )2

dx

2 3t2

dt

d2 y

8 12t2

Значит,

2

.

dx

(2 3t

2 3

)

x ln cos 2t

Пример 293. Функция задана параметрически

sin2 2t

y

Сначала вычисляем:

dy

dt 2sin 2t(sin 2t)

2sin 2t cos 2t

2

4sin 2 t cos 2 t

dx

1

2sin 2t

dt cos 2t (cos 2t)

cos 2t

Значит,

27

dy

dy

4sin 2t cos 2t cos 2t 2 cos2 2t

dt

dx

dx

2sin 2t

dt

Вычислим теперь вторую производную:

d

dy

dy

dx

d

2

y

d

( 2 cos

2

4 cos 2t( sin 2t)2

.

dt

2

dx

2t)

4 cos

2t

dx2

2sin 2t

2sin 2t

dx

dx

dt

cos 2t

cos 2t

x t sin t

.

Пример 294. Функция задана параметрически

1 cost

Вычислим

y

dy sin t;

dx 1 cost;

dt

dt

dy

dy

sin t

dt

Значит, dx

.

dx

1 cos t

dt

Теперь вычислим вторую производную:

d

dy

dy

dx

d

2

y

d

dt

dx

(sin t) (1 cos t) sin t(1 cos t)

dx2

(1 cost)2 (1 cost)

dx

dx

dt

cos t cos 2 t sin

2 t

cos t(1 cos t) sin tsin t

cos t 1

1

3

(1

3

(1

3

2

(1 cos t)

cost)

cost)

(1 cos t)

y 4sin 2 t

Пример 295. Функция задана параметрически .

x 3cost

Первая производная равна:

dy

dy

dt

;

yx

dx

dx

dt

8

Находим

dy

8sin t cos t;

dx

3sin t

cos t

dt

dt

yx

3

Вторая производная равна:

d

2

y

d yx

dt

d yx

dx2

.

dx

dx

dt

28

Находим

8

8 sin t

8 . Значит,

d2 y

8

.

d yx

sin t;

d yx

3

dx2

9

dt

3

dx

3sint

9

3

8t

Пример 296. Функция задана параметрически

x t

.

y t5 2t

Первая производная равна:

dy

dy

5t4 2

dt

dx

2

dy

4

yx

3t2 8

, т.к.

3t

8,

5t

2.

dx

dx

dt

dt

dt

Вычислим вторую производную:

d

2

y

d yx

dt

d yx

dx2

yx

dx

dx

Сначала находим

dt

4

2

2

4

3

2

4

x

(5t

8)

(3t

2) 20t (3t

8)

6t(5t

2)

2) (3t

8) (5t

d y

(3t2 8)2

(3t2 8)2

dt

60t5 160t3 30t5 12t

30t5 160 t3

12 t

(3t2 8)2

(3t2 8)

2

dx

d2 y

30t5 160t3

12t

Т.к.

dt

3t2

8 , то

dx2

(3t2

8)3

.

Пример 297. Применяя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа к функции f (x) ex , вычислить значение ea с точностью до 0.001, а=0.63.

Решение. Формула Тейлора с					остаточным членом в форме Лагранжа для функции
f (x) ex имеет вид:
ex 1 x	x2	... xn	R , где Rn			xn 1		e x ,	0 1.
2!		n!	n			(n 1)!
				x2
Отсюда получаем ex 1 x					... xn .
			2!			n!

Так как х=0.63 принадлежит отрезку [0;1], то 0 x 1 и e x e 3 . Теперь можем оценить остаток Rn :

	R			xn 1		e x	3xn 1
	n			(n 1)!			(n 1)!

Для достижения заданной точности 0, 001 достаточно выполнения условия:

Rn 10 1

29

	Rn		0, 0001				3xn 1			0, 0001
							(n 1)!
x 0, 63					3 0, 63n 1			0, 0001
						(n 1)!

при n = 5: 3 0, 636 0, 00062 0, 0001 6!

при n = 6: 3 0, 637 0, 000067 0, 0001 7!

Имеем при n=6:

e0.63 1 0, 63	0, 632		0, 633		0, 634		0, 635		0, 636	1,877631 1,878 .
2		6		24		120		720

30