- •Лекция 1 Функции нескольких переменных
- •Функция двух переменных
- •Предел функции
- •Непрерывность функции двух переменных
- •Производные и дифференциалы функции нескольких переменных
- •Частные производные высших порядков
- •Дифференцируемость и полный дифференциал функции
- •Дифференциалы высших порядков
- •Производная сложной функции. Полная производная
- •8.Инвариантность формы полного дифференциала
- •Дифференцирование неявной функции
- •Производная по направлению
- •Градиент
- •Экстремум функции двух переменных
- •Необходимые и достаточные условия экстремума
- •Лекции №№2,3
- •II. Неопределенный интеграл
- •2. Свойства неопределенного интеграла
- •3. Таблица основных неопределенных интегралов
- •4. Основные методы интегрирования
- •5. Интегрирование рациональных функций.
- •6. Интегрирование тригонометрических функций
- •7. Интегрирование иррациональных функций
- •Лекция 4
- •III. Определенный интеграл
- •Определение определенного интеграла
- •Геометрический смысл определенного интеграла
- •3) Работа переменной силы
- •Формулы Ньютона-Лейбница
- •Основные свойства определенного интеграла
- •Вычисление определенного интеграла
- •Несобственные интегралы
- •Лекция 5
- •7. Применение определенных интегралов для расчета геометрических и физических величин различного рода
- •7.1. Вычисление площадей плоских фигур
- •7.2 Вычисление длины дуги плоской кривой
- •7.3 Вычисление объема тела
- •8. Приближенное вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формулы прямоугольников
- •8.2. Формула трапеций
- •8.3. Формула парабол (Симпсона)
- •Лекция 6,7
- •4. Кратные интегралы
- •4.1. Двойной интеграл. Основные понятия
- •4.2. Геометрический смысл двойного интеграла
- •4.3. Основные свойства двойного интеграла
- •4.4.Вычисление двойного интеграла
- •4.5. Приложения двойного интеграла
- •4.6. Тройной интеграл. Основные понятия
- •4.7. Вычисление тройного интеграла.
- •4.8. Приложения тройного интеграла
- •Лекция 8
- •V. Числовые ряды
- •5.1. Основные понятия
- •5.2. Необходимый признак сходимости числового ряда
- •5.3. Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
- •5.4. Признак Даламбера
- •5.5. Радикальный признак Коши
- •5.6. Интегральный признак Коши. Обобщенный гармонический ряд
- •5.7. Знакочередующиеся и знакопеременные ряды Признак Лейбница
- •Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
- •5.8. Абсолютная и условная сходимость числовых рядов
- •Лекция №9 Степенные ряды
- •1 Функциональные ряды
- •1.1 Основные понятия
- •2. Некоторые приложения степенных рядов
- •2.1. Приближенное вычисление значений функций
- •2.2. Приближенное вычисление определенных интегралов
- •Лекция №10
- •VII Ряды Фурье
- •7.1. Основные понятия
- •7.2. Тригонометрический ряд Фурье
- •7.3 Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Теорема Дирихле
- •7.4. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
- •7.5. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
- •Лекция 11.
- •VIII. Дифференциальные уравнения (д.У.)
- •8.1. Общие сведения на основании понятия о д.У.
- •8.2. Дифференциальное уравнение первого порядка
- •2. Метод Лагранжа
- •Лекция 12
- •8.3.Дифференциальные уравнения высших порядков
- •1.Решение путем понижения порядка уравнения.
- •2.Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.
- •8.4. Решение ду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •1.Решение лоду второго порядка с постоянными коэффициентами.
- •Лекция 13
- •2. Решение лоду n –го порядка с постоянными коэффициентами.
- •Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (лнду)
- •1.Структура общего решения лнду второго порядка.
- •2.Метод вариации произвольных постоянных.
- •3.Решение лнду второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида.
- •4.Решение лнду n- го порядка с постоянными коэффициентами и правой специальной частью.
- •Лекция 14
- •2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.
Дифференцируемость и полный дифференциал функции
Пусть Z= f(х;у) определена в некоторой окрестности точки М(х;у) полное приращение ∆Z=f(x+∆x,у+∆у)-f(x,y). Z= f(х;у) называется дифференцируемой в М(х;у), если ее полное приращение можно представить в виде: ∆Z=А∆х+В∆у+α∆х+β∆у, где α= α(∆х,∆у)→0 и β= β(∆х,∆у)→0 при ∆х→0, ∆у→0. Сумма двух первых слагаемых представляет собой главную часть приращения функции.Главная часть приращения функции, линейная относительно ∆х и ∆у, называется полным дифференциалом функции и обозначается символом dZ=A∆x+B∆y. ВыраженияA∆xиB∆yназываются частными дифференциалами. Для независимых переменных х и у полагают ∆x=dx, ∆y=dy. Поэтому dZ=Adx+Bdy.
Теорема 1.(необходимое условие дифференцирования функции). Если Z= f(х;у) дифференцируема в точке М(х;у), то она непрерывна в этой точке и имеет в ней частные производныеи, причем=А;=В.
Таким образом, можно записать dZ=dx+dyили dZ=dхZ+ dуZ.
Теорема 2.Если Z= f(х; у) имеет непрерывные частные производные Z′хи Z′ув точке М (х;у), то она дифференцируема в этой точке и ее полный дифференциал выражается формулой записаннойвыше.
Чтобы функция Z= f(х; у) была дифференцируема в точке, необходимо чтобы она имела в ней частные производные и достаточно чтобы она имела в точке непрерывные частные производные.
Арифметические свойства правила исчисления дифференциалов функции одной переменной сохраняются и в случае дифференциалов функции двух и более переменных.
Дифференциалы высших порядков
Полный дифференциал называется дифференциалом первого порядка. Пусть Z= f(х;у) имеет непрерывные частные производные второго порядка. Дифференциал второго порядка в этом случае определяется по формуле . Найдем ее d2Z= d(dx+dy)= (dx+dy)х′ dx+(dx+dy)у′ dу=(dx+dy) dx+(dx+dy)dу, отсюда d2Z=dx2+2dxdy+dy2. Символически это можно записать так: d2Z=()2Z. Аналогично можно получить формулу
d3Z= d (d2Z)==()3Z, а для dnZ=()nZ. Все эти соотношения справедливы лишь в случае, если переменные х и у функции Z= f(х;у) являются независимыми.
Производная сложной функции. Полная производная
Пусть Z= f(х;у) – функция двух переменных х и у, каждая из которых является функцией независимой переменной t х=х(t),у=у(t). В этом случае Z= f(х(t);у(t)) является сложной функцией одной независимой переменной t, а переменные х и у – являются промежуточными переменными.
Теорема. Если Z= f(х;у) дифференцируема в точке М(х,у) и х=х(t),у=у(t) – дифференцируемые функции независимой переменной t, то производная сложной функции Z(t )= f(х(t);у(t)) вычисляется по формуле .
Доказательство. Дадим независимой t приращение ∆t. Тогда х=х(t) и у=у(t) получат приращения ∆х и ∆у соответственно. Они в свою очередь вызовут приращение ∆ZфункцииZ. Так как Z= f(х;у) по условию дифференцируемав М(х,у), то ее полное приращение равно ∆Z=, где α→0 β →0 при ∆х→0 и ∆у→0. Разделим ∆Zна ∆t и перейдем к пределу ∆t→0, тогда ∆х→0 и ∆у→0 в силу непрерывности функций х=х(t); у=у(t) получаем:, т.е.. Ч.т.д.
8.Инвариантность формы полного дифференциала
Используя правила дифференцирования сложной функции, можно показать, что полный дифференциал обладает свойством инвариантности, т.е. сохраняет один и тот же вид, независимо от того являются ли аргументы независимыми переменными или функциями независимых переменных.
Пусть Z= f(х;у), где x,y– независимые переменные, тогда полный дифференциал (1ого порядка) имеет видdZ=
Рассмотрим сложную функцию Z= f(х; у), где x=x(u,),y=y(u,), т.е. функция
Z= f(x(u,),y(u,))=F(u,), гдеu,- независимые переменные. Тогда имеем:
dZ===()du+()d=
Выражения в скобках представляют собой полные дифференциалы dxиdyфункцииx=x(u,) иy=y(u,). Следовательно,dZ=