2.Системы линейных ду с постоянными коэффициентами.

Рассмотрим еще один способ решения нормальной системы уравнений (1) в случае, когда она представляет собой систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т .е. систему вида

Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями

(6)

Здесь все коэффициенты - постоянные.

Будем искать частное решение этой системы в виде

, где- постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы решение удовлетворяло нашей системе.Подставляя эти функции в систему и сокращая на множительполучим:

или(7)

Систему (7) можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными . Чтобы эта система имела не нулевое решение необходимо и достаточно, чтобы определитель системы был равен нулю.

Этот определитель является характеристическим уравнением системы (6)Раскрыв определитель, получим уравнение третьей степени, относительно К. Рассмотрим все возможные случаи:

1. Корни характеристического уравнения действительны и различны : . Для каждого корнянапишем систему (7)и определим коэффициенты(один из коэффициентов можно считать равным единице). Таким образом, получим:

Для корня частное решение системы (6):

Для корня

Для корня .

Можно показать, что эти функции образуют фундаментальную систему и поэтому общее решение системы (6) запишется в виде

Пример: Решить систему

Характеристическое уравнение имеет вид

или.

Частные решения системы ищем в виде

.

Найдем . Присистема (7) имеет вид

Последняя система имеет бесчисленное множество решений .Положив получими получим частные решения . Присистема (7) имеет вид. Положивполучим.Значит корнюсоответствуют частные решения. Общее решение системы запишется в виде.

2. Корни характеристического уравнения различны, но среди них есть комплексные

.Вид частных решений в этой ситуации определяют также как и в1).

Пример: Найти частное решение системы

Составляем и решаем характеристическое уравнение

Для получимотсюда

Частное решение системы . Дляполучим

Отсюда находим. Частное комплексное решение системы. В полученных решениях выделим действительнуюи мнимуючасти :

Корень приведет к тем же самым решениям.

Таким образом, общее решение системы примет вид

Выделим частное решение системы. При заданных начальных условиях получим систему уравнений для определения

Следовательно, искомое решение имеет вид

3. Характеристическое уравнение имеет коренькратности.Решение системы, соответствующее кратному корню, следует искать в виде:

Это решение зависит отпроизвольных постоянных. Постоянныеопределяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты черезmиз них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равными нулю. Получимm линейно независимых частных решений системы (6).

Пример:Решить систему уравнений

Составим характеристическое уравнение

Корню соответствует система

Полагая, находим. Получаем первое частное решение

. Двукратному корнюсоответствует решение вида. Подставляя это решение в исходную систему, получим:

После сокращения на и перегруппировки

Эти равенства выполняются лишь тогда, когда

Выразим все коэффициенты через два из них (m=2) , например А и В из второго уравненияB=F,тогда с учетом первогоD=B.Из четвертого уравнения находим

E=A-D, или Е=A-B. Из третьегоC=E-Bт.е.. КоэффициентыAиB– произвольные.

Полагая А=1,В=0, найдем : С=1,D=0, Е=1,F=0.

Полагая А=0,В=1, найдем : С=-2, D=1,E=-1,F=1.

Получим два линейно независимых частных решения, соответствующих двукратному корню .

.

И общее решение исходной системы примет вид