Elementy_teorii_grafov_2

жим поток '

i;j+5

= n

ij

.

2

(i 2 1; 5)

'

= 1.

0

; x

i

0i

3. На каждой дуге (x

= 1.

j+5

; z

(j 2 1; 5)ïîëîæèмпоток '

j+5;z

îñ îäèò 1

ñêíîé

способноñòè).

Значение ункции ' на каждой дóãå сети неотрицательно и не пре-

в вершинах(пропуx 0 2 1; 5 .

j=1

n

ij

обеспечиваåò íеразрывность потока

венство

'

= 1 = P5

1

P5

'i;j+5

=

= 'j+5;z

(j 2 1; 5) отвечает условию

i

;i=1

â

x

(j 2 1; 5).

Таким бразом, ункциявершинах' каждой вершèíå транспортной сети

неразрывности(кроме вх да ипотоквых да)

твечает у

овию неразрывности поток

è,

мальную величи

j+5

' = m. Мы покследу , что решению задачи о на-

значит, ' является потоком.

= m

ет, что поток имеет макси

Из равенства

P5

'j+5;z

j=1

äëÿ

значениях соответствуz ет решение задà÷è о наибольшем поток

построенной

трансп ðòíîé

ñåòè.

äà÷è

àæ

обратное:

àê

потоку ', являющемуся решением за-

наибольøåм потоке для указанной сети при условии ' = m,

пострПокить ðåøение задачи

поназна

. Äëÿ

æèìz n

=

'

(i 2 1; 5; j

2 1; 5) è покажем, что

так обрэтогоз ванная матрица

N = fn

g (i 2 1; 5; j 2 1; 5) являетсчåíèрешениеях

ì çàдачипоëîназначени-

i;j+5

ij

ij

ÿõ:

0 '

= 1 (i 2 1; 5; j 2 1; 5) ñë äó

1. Èç

неравенства0 n

1 (i

2 1; 5;

j 2 1; 5), которûå îòâå÷àþò

ij

i;j+5

i;j+5

требованию булевости матрицы N.

=

P5

nij (i 2 1; 5; j 2

1; 5)

2. Èç

равенств

'0i

= 1 =

P5

'i;j+5

3. Èç

'j+5;z

= 1 =

P5

'i;j+5

= nij

(j 2 1; 5) следу

, ÷òî

j=1

j=1

следует, ч о каждая строка матрицы N имеет рîâíо 1 единиöó.

i=1

каждый столбец матрицы N содержит ровно 1 единицу, и,етаким

образом,

атрица

N является матрицей назначений.

C. Алгоритì Форда-Фалкерсона решения задачи о наибольшем по-

токе состоит из 2 частей:

51

пропуóòèвыхскнойд=z,(xнайдетсяспособности)0; xi; xj+5äóãà,; z (.iäë2ÿ1;которой5; j 2 1;

поток5), ведущегоïî íåé èçравенвхода1 (ååx0

II. Увеличение пот ка

ìåòîê.

Для получения полного потокалгоритмо

следующий

1.

нулевые пропускные способнвыïîëстиняем

=кроме0, оторыеалгоритм:не ассмат-

Все дуги транспортной сети не

мечены,

äóã, êîòî ûå èìå

риваются. Назначается нулевой поток ' = 0 на к

äóãå.

2.

Ищем любой путь по

x;y

в выход

еченным дугам из вхаждойда x

3.

z. Если его нет, то перехнеподиì ê ï. 4 àëãî

èòìà.

0

Пропускная способн сть всех дуг пути

равна

1 и на дугах этого

пути увеличиваем поток

íà 1:

8 x; y) : (x; y) 2 ! ' = ' + 1:

Удаляем (отмечаем) все дуги пути, имеющие

акую пропу

x;y

x;y

-

и обнуляем (временно, в пределах части I

ма) пропускную способность всех дуг этого

пути. Перехалгоритскнуюдим

4.

способность,. 2.

анавливаем исходные пропускные способности дуг и пере-

Восстх дим к п. 5 (часть II

.

аблице 1, в которой

еализацию этой части алгалгоритма)ведем в

каждой д ги

енулев й пропускной способностью заводится

íûå

пропускные

способносгоритма

äóã

подписываются под каждойстолбец,дуг й.

Каждая строк

аблицы

отмечает путь отметкчертой

записью +1 в

и при выпол

èè

отмечается

над ней. Исхдля-

столбцах дуг

ïóòè.

Описание алгоритма пометок:

если они имели место.

5.

âñå

Стираем. 6

вершину x

пометкиой {+0}вершин,вы

ëíÿ

с повторени-

ï. 7, ïîê

0это возмо

. Åñëè

ïîмечена

вершина z,

Помечаемперех дим к

предыдущие. 8, а иначе перехжнодим к п. 9.

52

'

x;y

= 0 <

x;y

(поток по дуге меньше исх дной пропускной

y ïîìå-

7. Åñëèспособности),äëÿ äóãèòî(x;вершинуy) вершинаy помечаемx не помечена,пометк а вершинаf+xg.

÷åíà

è '

x;y

= 1 > 0 (поток по дуге ненулевой), то вершину x

помечаем пометкой f yg.

8. Если помечена

z, то нах дим марш ут прорыва (неко

ги могут прох диться в

обратном ориентации направле

ии), идущий извершинаx z по

обратным пометкам, начиная от верши-

торыеí z ( = (x0; xi

; : : : ; z), где каждая

кроме x0, имеет

ê

äóãå

k

0

пути, увеличивая еговершина,1, если дуг ориенти-

изменяем поток по

п метку предыдущей вершины этого пути),

дугаждойориеíòè

этогоâана в обрат ом направлении. Перех дим к п. 5.

9. Конец

алгоритма

полученный поток является

наибольшим.

ðîâ íà â

àï

лении маршрута), или уменьшая его

1, åñëè

еализацию этой части алгоритма ведем в таблице 2

â òàá-

ñ ðîê

(нумерацию

стрзавок продолжаем, делая ее общейчастичноаблицаждой1)

î

2

от помеченных в

вершиныстрок . Послå

ïî

лице 1. В табли

äèì ñò

бец для каждой

. Â ê

дугаммечаем

ðóò

прорыва,

в столбец +1,аблицы

1

ïî

метки

вершиныz изменяем

следующейпредыдущейстрок

ся поток по дуге, или записывая 1, если уменьшает

я потокпотокд ге

Ïî

сле завершения

алгоритмазаписываятаблице 1 зап

сываем резульувеличиваетрую

íûì çíà÷ íèÿì ýò

строки строим матрицу решения

çà-

дачиполученазíачениях, åсли выпаждойлненодугисловие ' = m = 5.

щую строку, суммируя для к

потокè

вместе с их знаками.

Åñëè çíà

поток

z

' < m = 5, то при решении задачи н и-

б льшем

чениемы получаемz

инима ьный разрез H, который дàåò

âîçìî

поток

строить узкое

место следующим образом:

1. Множностьеств

L = fij r 2 R;

(x ; x ; z) 2= Hg определяет группу

работникîâ (строки матрицы R), для которых не хватает работ

ij

0

j

(столбцов матрицы R, в которых стоят единицы для этих строк).

53

	(строкработ (столбцым трицы						матрицыR, в которыхR), äëÿстояткоторыхединицыíå äëÿхватаетýòèõработникстолбцов).
D. Таблица				1 широкая, разделим ее на части 1А (начало) 1В
(продолжåíèå).																			Таблица 1А
N 0;		0; 2 0; 3 0; 4 0; 5 ; 6 1; 8 2; 8 2; 10 3; 7 3; 8 3; 9
1	+1	+1								+1		+1
2			+1													+1
3
4									+1
5					+1							1
11										1	0		+1			1		0		0
												0
																			Таблица 1В
N 4; 6 4; 7 4; 8 5; 7 5; 9 5; 10 6; z 7; z 8; z 9; z 10; z
1											+1			+1
2												+1
3
4																+1
5	0	0	+1						+1									+1
11					4	0		5		7	8	9 10		z						Таблица 2
N	1	2	3						6
6					+0				+4	+4	+4
7	6	8	7
8												+2
9
10														+104			8	2		10
Маршрут прорыва, согласно																			; x		; z).
										аблице 2, = (x ; x							; x	; x
E. П лучен максимальный поток, так как '															z	= 5 = m. ешение
задачи î назначениях выражàåòñя следующей матрицей:
											54

N =

0

1

1

0

1

0

0

1

0

Пример 2. ешить задачу

назначе

ÿõ,

заданную следующей бу

лев й матри ей R возможностей

иков (строки)

ðàáîт (столбцы), сведением к задачеработíаибольшем потпокевыполнениюее реше-

íèåì:

1

1

1

R =

1

0

1

0

0

0

0

1

1

A. Корректность задачи о

назначениях

определяется следующими

условиями:

1

n = m число раб тников (n = 5) ра но числу работ (m = 5).

2. Äëÿ

ников число

которые они

в совокупн сти умеют выполнять, не меньше числа

îâ;

для любого дмножества работ

число работников,

оторые их

могут выполнять,

меньше числа работ. Эти у

работникпосред

ственно трудно

проверяемы поэтому если за ча

имеет реше-

ние, то условия

выполнены,

если нет, то найдетссловияузкое место

могут выполнять, а т кж

группа работ, для выполнения кото-

группа работников, для которых не хватает работ, которые они

рых работников не хв тает.

Ищется булева матрица назначений N, для которой:

1)

каждой строке

ит ровно 1 единица (назначение на работу, со

ответствующую столбцу),

которая соответствует такому же эле-

2)

менту матрицы R;

в каждом столбце стоит ровно 1 единица (назначение работни-

êà, ñîî

строке), которая соответствует такому же

элеменòветствующегоматрицы R.

55

1.

ê

èñ. 20

дем вершину x ;

W (i = 1; 2; 3; 4; 5) â

Длякаждой работы J (j =i1; 2; 3; 4; 5) введем

âåршину x

; ââåi-

2.

äем вхаждогосети x вых

z.

Âõ ä x

соединимработникаждой вершиной x (i = 1; 2; 3; 4; 5) дугой

0

j

j+5

пропускной способности 1.

i

3.

0

Соединим каждую вершину x

j+5

(j = 1; 2; 3; 4; 5) с выходом z

4.

дугой пропускной способности 1.

j =

Соединим вершину x

(i = 1; 2; 3; 4; 5) ñ âåðø íîé x

1; 2; 3; 4; 5) дугой пропускной

пособности 1, если r = 1

(ñîîò-

B

i

ij

j+5

ветственно матрице возможностей R).

C

Àíà

гично п имеру 1.

D. Таблица

1 øèðокая, поэтому разделим ее на части 1А (начало)

и 1В (продолжение).

56

N1

0+1;

0; 2 0; 3 0; 4 0; 5 +1; 6 1; 8 2; 7 2; 9 3; 6 4; 8 5; 9 5; 10

2

+1

+1

3

+1

+1

4

+1

+1

5

6; z

7; z

8; z

9; z

N

10; z

Таблица 1В

1

+1

+1

2

3

+1

4

+1

5

1

2 3

4

6

7

8

9 10 z

Таблица 2

N

5

6

+0

+3

7

6

8

+1

9

8

10

Процесс пометок остановился при непомеченной вершине z. З а

наибольшего потока 'z

< 5 = m.

задача

назначеíияхчение

E. Для нахождения узкого

ñòàПоэтомуах дим минимальный разр з как

множество дуг, идущих из

помеченíых вершин в непомеченные

âåð-

имеет решения.

H = f(0; 2);

(0; 5); (6; z); (8; z)g:

øèíû:

1. Множество L = f1; 3; 4g опр деляет группу раб тников (строки

матрицы R), для которых не

хватает работ

îлбцов матр цы

3,

4 могут вып

лнять только работы 1 и 3 (для этихработникиов

R,

которых сто

единицы для этих строк),(ст. е.

1,

íå

хватает

работ).

57

		могутвðèöûкоторRвыполн), äëÿñòîÿòкоторыхьединицытолькíå															работникихватаетäëÿ ýò õработникстолбцов),(строк2 и 5 (для .выполнения. рабоìàòðèöû2,ýòèõ4,R5,
		работ не хватает работников).
5.2 Пример задачи проектирования дискретного преобразо-
òîâ)		вателя построением сети из																														элементов
			ëÿ 8-							сумматор неотрицатеункциональныхэлементовце ûõ элеменчисе с
	Пример 3. азработать сеть из																																		f^;	;				g
ñ																																							-
			жно меньшей сложнос ью (числом
разрявозмоä м переносазрядного.
	A. Числа для такого сумматора представляются как 8-разрядные
числа в прямом ко е. Поэтому																					я 16 двоичных входных
по 8 для каждого числа-операндаимеетсx y: (x ; x ; : : : ; x ) и (y ; y ; : : : ; y ).
Вых дными разрядами являются 8 разрядов суммы z (z																																; z ; : : : ; z )
разрядного				числа. Таким образом, имеетс																				9 âûõîäíûõ сигнасигналовсум
																						7			6				0		7	7	6	6		0	0
1 разр переноса , если сумма выйдет за предел представ ения 8
	Диапазон				представления таких 8-разрядных чисел [0; 255 . Приве
маторд			: ( ; z		; z	; : : : ; z			).
				7	6			0
					суммирования.
лениипримерысложении столбиком:
1. x = 73; y = 153; z = x + y = 73 + 153 = 226. В двоичном представ-
						+						0			1		0		0			1				0	1
								0				1			0				1				0
															1		1		0			0					0
2. x		= 113;			y = 153;					z				= x + y						=		113	+			152	= 265. В двоичном
											z		7		z	6	z	5	z		4	z	z	2		z	z	0
																		58

+

1

1

1

1

0

0

1

1

0

0

1

0

0

0

1

0

z

7

z

6

z

5

z

4

z

3

z

2

z

1

z

0

ýòèõ ïðèìеров показывает, что сложение дв ичных

разрядов

оисходит справа налево. При эт м результатом

ñложения

Анализx y является разряд z

è,

возможно, разряд

. Поэто

ïðè

сложении

следующих разрядов x + y (i > 0) ну

ê ýòîé ñóì

добавлять разряд переноса

. Таким образом,переносамоæí

àòü, ÷òî

равен . Для этого п лагаем

= 0 è

= .i

Отсюда

получаем

0

0

0

i

i

0

i 1

+ y

+

считпри этом

мы всегда складываем 3 двоичных разряда x

i

i

i 1

считаем, что младший разряд этой суммы равен z , а старший разряд

i

1

7

ормулы поразрядногî сложения:

+ y

+

)=2

(i = 0; 1 : : :; 7);

z

i

= (x

i

+ y

i

+

i 1

)mod2;

i

= [(x

i

i

i 1

ãäå z

i

получается как сумма по модулю 2 (остаток от деления на 2), а

i

получается как целая часть полусуммы.

являютс буле-

B. Так как ункции z (x ; y ;

)

(x ; y ;

1)

выми (аргументы из 0, 1 и значения у кций из 0,

для получения

ДНФ или КНФ составим таблицу

истинности:

i

i 1

i

i

i

i 1

i

i

x y

i 1

z

i

i0i

0i

0 1

1

0

0

0

0

1

1 1

1

1

Найдем теперь ДНÔ ýòèõ

óíêöèé

êàê

ÑÄÍÔ:

z

= x

y

_

x

y

xy

x

y

;

i

i

i

i 1

i 1

i

i 1

i 1

i

i

i

i

59

C. Полученные ормулы для ункций z

ñî

жат соответ

äèìîственноуменьшить,17 14

÷òîáû

.íèÒçèàêòüîå

сложнîñòüiчислопроектируемойi операций необхè èç

ункцион льных

ýëементов

(и, следбольшоевательно,

дискретн

ãî

ñåòðîé

ñ âà

сумматора). операцийЭ можно сделать преобразованием

ормулы, но

гор здо проще

заметить,

что таблица истинности для ункции z

èìå-

åò çíàчения 1

òåõ

àõ, ãäå

из аргументов равен 1,

iàêæå

Функция, значенаргументыстрокоторойравныровно 1,

если какой-либо

аргумент

ðà-

строке, где

âñå

1.

акие-либо 2 других аргументравенáûëè ðàâíы 1, и, следчтобывательно, мож

âåí

1, выражается дèзъюнкцией

ргументов,1, необх

. å. x

y

. Äëÿ òîãî

чтобы тольк

1 аргумент был

ìî,

никакие из 2

других

аргументов не были равны 1. Это достигается

i

трицанием, что

юнкцию последних двух ормул: x y

x

y

i

(x

i 1

y

).

но выразить ормулой x y

x

y

. Поэтому надо взять

îíú-

Для окончателüíîé

i

i

ëû

i

äëÿ z

нужно добавить

дизъюнкцией

i 1

i

i

i

i 1

i i 1

и получаем îðìóëó:

i i 1

i

i

i 1

x

y

i 1

i

(x

y

) _ x

y

;

i

i

z

i

= x

y

i

x

i 1

y

i

i 1

i

i

i 1

i 1

котор

i

i

i

i

я содер

12 операций,

это значительно лучше ДНФ.

Àíà

замечанию для

ункции z

отмечаем, что ункция

равна

логично1 т. . ., когда либо все аргументы равны 1, либо ровно 2

i

= x

y

x

y

i

аргумента равны 1. Это выражается ормулой

i

i

i 1

i 1

,

i

i

i

оторая содержит 5 операций. Но если ее преобразовать, вынеся за

скобки из 2 последних конъюнкций

i 1

, то получим ормулу

= x

y

(x

)

;

i

i

i

_ y

i 1

i

i

акже входит

кот рая содержит уже 4 операции. Но в о муле для z

ак е выражение под зíаком операции

отрицания.

Поэтомуi

можно

упростить и эту ормулу:

y

) x

y

;

z

i

=

i

(x

i

i

i 1

i 1

7

i

i

которая требует вып

z

. Таким образом, использова-

ние последних 2-х îлнениярму для z

i

i

дает всего 11 операций вместо

первоначальных 17+14=31 операцопераций.

60