2.1. Основные теоретические положения, лежащие

В ОСНОВЕ РАСЧЕТА ПЕРЕДАТОЧНЫХ ФУНКЦИЙ АНАЛОГОВЫХ

УСТРОЙСТВ, И ПОСТРОЕНИЕ ИХ ЛАЧХ И ФЧХ

2.1.1. Основные определения. Операционный усилитель (ОУ) это усилитель постоянного тока с двумя входами (инвертирующим и неинвертирующим), удовлетворя­ющий (в идеальном варианте) следующим постулатам:

1) коэффициент усиления ОУ стремится к бесконечности ;

2) входное сопротивление ОУ стремится к бесконечности ;

3) выходное сопротивление ОУ стремится к нулю ;

4) если входное напряжение , то и выходное напряжение ;

5) полоса усиливаемых частот стремится к бесконечности ().

Очевидно, что на практике эти постулаты полностью не выполняются. Однако в большом числе практических применений они достаточно точно отражают свойства ОУ и значительно упрощают расчёт реальных схем.

Так как, согласно последнему постулату (),ОУ одинаково усиливает сигналы всего спектра входных частот, то требуемые частотные свойства (в частности, коэффициент усиления) реального преобразователя аналоговых сигналов можно получить введением дополнительных частотно зависимых звеньев. Эти звенья (см. рис. 2.1) могут быть включены либо последовательно во входную или выходную цепи ОУ, либо в цепь его обратной связи.

При описании частотных свойств преобразователя удобно пользоваться понятием его передаточной функции , фактически отражающей зависимость коэффициента передачи устройства от частоты входного сигнала.

Учитывая второй постулат (),можно полагать, что последовательное звено коррекции (см. рис. 2.1) работает по выходу в режиме холостого хода. В этом случае передаточную функцию всего устройства можно представить в виде произведения передаточных функций последовательного звена коррекциии операционного усилителя, охваченного частотно зависимой цепью отрицательной обратной связи (ООС) с передаточной фун­к­цией , т.е.

. (2.1)

Определим передаточные функции иотдельных звеньев пре­об­ра­зователя.

2.1.2. Вывод передаточной функции звена коррекции. Передаточ­­ную функцию можно получить либо из дифференциального уравнения звена, либо используя его операторную схему замещения.

Рассмотрим оба варианта.

Вариант 1. Допустим, задана цепь ЭЦ-1 (рис. 2.1.1) из таблицы 2.2.

Запишем для узла а уравнение по первому закону Кирхгофа: или

Перепишем полученное уравнение, разделив члены, содержащие переменные и

Переходя к изображениям временных функций f(t) и их производных при нулевых начальных условиях, получим:

Откуда передаточная функция рассматриваемого звена

где τ = RС − постоянная времени данного звена.

Вариант 2. Запишем выражение переда­точ­ной функция звена, представленного в опе­ра­торной форме (рис. 2.1.2), восп­ользовавшись правилом делителя напряжения,

Полученные в обоих вариантах выражения передаточной функции звена идентичны. Очевидно, что вывод функции значительно проще во втором варианте.

2.1.3. Вывод передаточной функции усилителя с ООС. Рас­смотрим ОУ (DA) (рис. 2.1.3) с коэффициентом усиления К₀, охваченный цепью последовательной отрицательной обратной свя­зи по напряжению с коэффициентом передачи

Так как фазы напряжения , поступа­ющего на инвертирующий вход ОУ, и выходного напряжения сдвинуты относитель­но друг друга на половину периода, то увеличение напряжения

приводит к уменьшению выходного напряжения

Известно, что ОУ усиливает разность напряжений, приложенных между его неинвертирующим и инвертирующим входами. Поэтому выходное напряжение ОУ в операторной (Лапласа) форме

Откуда передаточная функция ОУ с последовательной ООС по напряжению

(2.2)

П р и м е ч а н и е. В выражении (2.2) учтён пятый постулат ОУ о независимости его коэффициента усиления К₀ от частоты. Если необходимо учесть собственные частотные свойства ОУ, то в полученном выражении значение К₀ необходимо заменить реальной передаточной функцией К_ОУ(р) усилителя.

2.1.4. Получение выражения для ЛАЧХ преобразователя сигналов. Передаточную функцию преобразователя в общем случае можно представить в виде отношения двух многочленов, причем каждый из этих многочленов может быть записан в виде разложения по его собственным корням. Если корни многочленов действительные, то получим выражение:

(2.3)

Заменив в (2.3) оператор p оператором jω, где , получают комплексную передаточную функцию преобразователя :

в которой выделяют действительную и мнимуючасти. Характеристику, построенную в координатах и, принято называть амплитудно-фазовой частотной характеристикой (АФЧХ) преобразователя (устрой­ства). Однако, на практике большее распространение получили логарифмическая амплитудно-частотная (ЛАЧХ) и фазо-частотная (ФЧХ) характеристики, полученные в соответствии с выражениями:

(2.4)

(2.5)

Величина измеряется в децибелах[дБ] или в неперах [Нп], а в радианах[рад]. Заметим, что выражение (2.5) справедливо в случае, если

Используя свойства функций lg и arg, выражения (2.4) и (2.5) с учетом выражения (2.3) запишем в следующем виде:

(2.6)

(2.7)

Из выражений (2.6) и (2.7) следует, что интегральные ЛАЧХ и ФЧХ могут быть построены алгебраическим суммированием ЛАЧХ и ФЧХ составляющих многочленов коэффициента передачи преобразователя(см. (2.3)).

В качестве примера построим ЛАЧХ и ФЧХ трех преобразователей (звеньев) аналоговых сигналов с передаточными функциями вида:

, и

Представим передаточную функцию в виде произведения двух фун­­кцийисоответственно двух последовательно соединенных звеньев:

.

Найдём выражения ЛАЧХ и ФЧХ этих звеньев с передаточными функциями

и

Характеристики звена с передаточной функцией . Ко­м­плекс­ный коэффициент передачи этого звена

Чтобы избавиться от мнимой единицы в знаменателе, умножим числитель и знаменатель данного выражения на комплексно-сопряженное знаменателю число,

где и.

Модуль передаточной функции равен:

ЛАЧХ и ФЧХ звена:

,

Характеристики звена с передаточной функцией Запишем вы­ра­жения функций идля второго звена:

, , , ,

Характеристика звена с передаточной функцией .Запишем выражения функций и:

,

,

Характеристика звена с передаточной функцией Запишем выражения функций и:

,

,

,

2.1.5. Расчёт и построение ЛАЧХ и ФЧХ звеньев устройства. Полученные выражения позволяют построить ЛАЧХ и ФЧХ как звеньев, так и устройства в целом. Однако, на практике, вместо реальных ЛАЧХ, строят так называемые диа­грамм­ы Боде на двойной логарифмической сетке, являющимися кусочно-ли­нейными аппроксимациями реальных характеристик ЛАЧХ.

Для построения диаграмм Боде вычислим значения извеньев в нескольких характерных точках.

Передаточная функция .

При ω → 0 имеем: и ,

при ω = 1/τ₂, дБ и

рад,

при ω → ∞ имеем

и

Из выражения функции следует, что частота ω = 1/τ₂ является верхней границей полосы пропускания звена (рис. 2.1.4а). Напомним, что полосой пропускания четырехполюсника называют диапазон частот, в котором его коэффициент передачи уменьшается не ниже 0,707 своего максимального значения, т.е. уменьшается не более, чем на 3 дБ.

Анализ значений функции показывает, что она линейно падает на 20 дБ при изменении частоты в 10 раз. Поэтому при построении ЛАЧХ удобно использовать логарифмический масштаб частоты.

Отметим, что на частоте ω = 1/τ₂ коэффициент передачи устройства имеет значение, равное 0,707K₁, а фазовый сдвиг – значение -π/4, равное половине максимального фазового сдвига -π/2 (см. рис. 2.1.4б).

Передаточная функция . Определим значения ив характерных точках:

при ω → 0 имеем: и ,

при ω = 1/τ₁, дБ

и рад,

при ω → ∞, и .

Анализ значений функции звена показывает, что реальная характеристика на ча­­стоте, как и в предыдущем случае, отличается от асимптотической на 3 дБ (рис. 2.1.5а). При изменении частоты в 10 раз характеристика звена линейно увеличивается на20 дБ¸ а сдвиг фаз при ω → ∞ достигает своего максимального значения, равного π/2 (см. рис. 2.1.5б).

Передаточная функция . Найдем значения ив характерных точках:

при ω → 0 имеем: и ,

при ω = 1/τ₁, дБ, при ω → ∞, ,=.

Итак, характеристика рассматриваемого звена во всем диапазоне ча­стот ω имеет постоянный наклон20дБ/дек при сдвиге фаз между выходным и входным сигналами, равном (рис. 2.1.6). При этом характеристика пересекает ось частоты в точке (см. рис. 2.1.6а).

Передаточная функция Найдем значения ив характерных точках:

при ω → 0 имеем: и

при ω = 1/τ₄, дБ, при ω → ∞, ,--.

Итак, характеристика рассматриваемого звена во всем диапазоне частот ω имеет постоянный наклон-20дБ/дек при сдвиге фаз между выходным и входным сигналами, равном -(рис. 2.1.7). При этом характеристика пересекает ось частоты в точке (см. рис. 2.1.7а).

Из сопоставительного анализа передаточных функций и характеристик звеньев преобразователя аналоговых сигналов можно сделать несколько практически важных выводов:

1. Если передаточная функция звена содержит множитель τр + 1, то его ЛАЧХ на диаграмме Боде при ω > 1/τ представляется асимптотой с наклоном +20 дБ/дек, начинающейся на частоте ω = 1/τ, а ФЧХ на этой частоте имеет фазовый сдвиг между выходной и входной величинами, равный π/4.

2. Если передаточная функция звена содержит множитель 1/(τр + 1), то его ЛАЧХ на диаграмме Боде при ω > 1/τ представляется асимптотой с наклоном -20 дБ/дек, начинающейся на частоте ω = 1/τ, а ФЧХ на этой частоте имеет сдвиг фаз между выходным и входным сигналами, равный -π/4.

3. Максимальные сдвиги фаз между выходными и входными сигналами звеньев вида τр + 1 и 1/(τр + 1) равны +π/2 и -π/2.

4. Если числитель передаточной функции звена содержит множитель τр, то во всем диапазоне частот ЛАЧХ звена на диаграмме Боде представляется асимптотой с наклоном +20 дБ/дек (пересекающей ось logω в точке log(1/τ)), а сдвиг фаз между выходным и входным сигналами равен +π/2.

5. Если знаменатель передаточной функции звена содержит множитель τр, то его ЛАЧХ на диаграмме Боде во всем диапазоне частот представляется асимптотой с наклоном -20 дБ/дек (пересекающей ось lgω в точке lg(1/τ)), а фазовый сдвиг равен -π/2.

6. Если при разложении многочленов передато­чной фун­кции W_пр(p) преобразователя значения постоянных времени τ звеньев с передаточными функциями вида τр и 1/(τр) включены в постоянный коэффициент передачи К_пр = W_пр(0) преобразователя, то соответствующие асимптоты идеальных дифференцирующего с функцией W(p) = p и интегрирующего с функцией W(p) = 1/p звеньев диаграммы Боде пересекают ось абсцисс в точке 1 шкалы частот lgω (или в точке 0 шкалы частот ω).

7. Результирующие ЛАЧХ и ФЧХ преобразователя могут быть построены суммированием соответ­ствующих характеристик отдельных звеньев.