3.4. Преобразование чертежа способом замены плоскостей проекций.

Приведение прямых линий и плоских фигур в частные положения относительно плоскостей проекций в ходе решения задач нередко приводит к его значительному упрощению.

Способ замены плоскостей проекций заключается в том, что одна из основных плоскостей проекций (П₁ , П₂)заменяется дополнительной плоскостью проекций, подходящим образом расположенной относительно оригинала, но перпендикулярно остающейся плоскости проекций. При этом оригинал в новой системе плоскостей будет занимать частное положение.

3.4.1. Преобразование прямой.

Используя способ замены плоскостей проекции, прямую общего положения АВможно преобразовать в прямую уровня или прямую проецирующую (рис. 3.26).

Рис.3.26

Если выбрать дополнительную плоскость проекций П₃ параллельно прямой АВ, тогда прямая станет прямой уровня в системе П₁/П₃ , что позволит найти натуральную величину отрезка прямой. Выполним еще одно преобразование перпендикулярно к прямой АВ с дополнительной плоскостью П₄. Прямая АВ станет проецирующей в системе П₃/П₄.

3.4.2. Преобразование плоскости

Плоскость общего положения α(ABC)можно преобразовать в проецирующую, если выбрать дополнительную плоскостьП₃ перпендикулярно к любой прямой, принадлежащей плоскостиα. В качестве такой прямой выбирают

Рис.3.27

линию уровня плоскости (фронталь или горизонталь). Пусть П₃ f (x₁ f”), следовательно, и вся плоскостьαбудет перпендикулярной кП₃ (рис. 3.27).

Если выбрать дополнительную плоскость П₄ параллельно проецирующей плоскостиα, то можно получить натуральный вид плоской фигуры, лежащей в плоскостиα.

4. Последовательность выполнения домашней графической работы.

По заданным графическим изображениям поверхности и плоскости общего положения строят проекции поверхности и плоскости, увеличивая их изображения в два раза (рис. 4.1):

Работа выполняется в четыре этапа:

А. На первом этапеметодом замены плоскостей проекций преобразуем плоскость общего положения, заданную двумя пересекающимися прямыми, в проецирующую плоскость.

Обычно плоскость общего положения задается, либо пересекающимися горизонталью (h) и фронталью (f), либо пересекающимися произвольной прямой общего положения (a) и горизонталью (h) или фронталью (f). Чтобы преобразовать плоскость общего положения в проецирующую за одну замену, необходимо провести преобразования относительно либо горизонтали, либо – фронтали (см. п.3.4.2).

Последовательность выполнения преобразований следующая (см. рис. 4.2):

1. Обозначаем исходную систему координат – ось ОХ

(между горизонтальной и фронтальной проекциями заданных поверхности и плоскости) и плоскости проекций П₁иП_2.Положение оси регулируем с целью уменьшения построений.

2. Новую ось ОХ₁проводим перпендикулярно либо горизонтальной

проекции горизонтали (h^'), либо – фронтальной проекции фронтали (f^”). Обязательно нужно учитывать, что после замены плоскостей проекций,поверхность не должна поменять своего положения в пространстве. Например, если ось вращения конуса была перпендикулярнаП₁, то и после замены в новой системе плоскостей она должна остаться П₁. Следовательно, осьОХ должна задаватьсяhи новая система плоскостей будетП₁/П₃. Исключение составляет сфера, у которой нет такого требования.

3. На прямой общего положения (а) или фронтали (f) берем произвольную точкуК, которая позволит перенести эту прямую в новую систему координатОХ₁,П₁/П_3.

4. Проводим линии связи от фронтальной проекции точки К (К^”),центра поверхности и фронтальной проекции точки пересечения прямых, образующих плоскость, перпендикулярно осиОХ₁.

5. На продолжении линий связи относительно оси ОХ₁для точекК, центра поверхности и точки пересечения прямых плоскости откладываем значения координатZ для каждой из этих точек, взятые из исходной системы координатОХ,П₁/ П₂.

6. Соединив полученные точки К^’” и точку пересечения прямых для плоскости, получим в новой системе координатОХ₁,П₁/ П₃, положение секущей плоскости в виде проецирующей.

Рис. 4.2

7. Для того, чтобы перенести поверхность в новую систему координат, необходимо использовать координату Zпо высоте поверхности и координатыZточек, определяющих ее ширину.

8. В результате преобразований мы перешли в новую систему координат ОХ₁,П₁/ П₃, в которой заданная плоскость общего положения стала проецирующей (рис. 4.2).

Б. На втором этапепроводят построения проекций сечения

заданной поверхности проецирующей плоскостью в системе координат ОХ₁,П₁/П₃ (рис. 4.3). В зависимости от вида заданной поверхности и положения секущей плоскости могут быть получены различные виды сечений (см. п. 3.3.1.1, п. 3.3.2.1, п. 3.3.3.1). Последовательность построения сечений подробно представлена в разделах п. 3.3.1.1.1, п. 3.3.1.1.2, п. 3.3.1.1.3, а также в разделах п. 3.3.2.1, п.3.3.3.1.

На этом же этапе выполняют построение натуральной величины сечения, для чего также, используют метод замены плоскостей проекций

( рис 4.3). Новую ось ОХ₂проводят параллельно положению следа секущей плоскости в системе координатОХ₁ ,П₁/ П₃.

Рис. 4.3

Из каждой точки сечения проводят линии связи перпендикулярно оси ОХ₂, на которых откладывают, по обе стороны от осиОХ₂(вследствие симметричности сечения), значения координат точек относительно центральной оси горизонтальной проекции сечения, снятые в системе координатОХ₁ ,П₁ / П₃.

В. На третьем этапе выполняют построения проекций сечения в исходной системе координатОХП₁ / П₂. При выполнении построений в системе координатОХ₁ П₁ / П₃была получена горизонтальная проекция сечения. Остается построить фронтальную проекцию сечения в исходной системе координат.

Работа выполняется в следующей последовательности:

- необходимо провести из всех точек сечения (их горизонтальных проекций) линии связи перпендикулярно оси ОХ(рис. 4.4);

- обязательно необходимо определить точки, определяющие видимость сечения (К, L) . Эти точки располагаются на пересечении горизонтальной проекции линии сечения и горизонтальной проекции очерковых образующих (горизонтальная ось);

- на продолжении линий связи относительно оси ОХоткладываем значения координатOZ для каждой точки сечения, взятые в системе координатОХ₁ П₁ / П₃;

- соединяем значения точек АиВосевой линией (большая ось эллипса) и значения точекCиD(малая ось эллипса) (лишь в том случае, если сечением данной поверхности будет эллипс);

- выполняется коррекция положения большой и малой осей эллипса (только в том случае, если сечение данной поверхности – эллипс). Методика проведения коррекции положения большой и малой осей эллипса представлена в рабочей тетради (см. рабочая тетрадь стр. 54).

Рис. 4.4

Г. На четвертом этапеполученные значения всех точек сечения соединяем плавной кривой с учетом их видимости (рис. 4.5). Также определяем видимость секущей плоскости и заданной поверхности.

Рис. 4.5