2.3.2. Структурная группа "шатун - ползун"

Механизм, состоящий из входного звена OA и структурной группы типа "шатун-ползун" представлен на рис. 2.9, 2.10. Ось X неподвижной системы координат OXY направлена параллельно оси ползуна. Смещение l₃, показанное на рис. 2.9 будем считать положительным, а на рис. 2.10 – отрицательным.

Уравнение замкнутого векторного контура:

Проецируя его на оси неподвижной системы координат OXY, получим:

l₁ cos ₁ + l₂ cos ₂ + l₃ cos ₃ + l₄ cos ₄ = 0;

(2.17)

l₁ sin ₁ + l₂ sin ₂ + l₃ sin ₃ + l₄ sin ₄ = 0.

Угол ₄= 180^O = Const. Угол ₃ также не меняется, но зависит от направления смещения точки B: ₃ = 90^О на рис. 2.9, ₃ = 270^O на рис. 2.10. Обозначим: l₃^* = l₃ sin ₃, учитывая, что l₁cos ₁ = x_A, l₁sin ₁ = y_A – координаты входного шарнира, систему (2.17) запишем в виде:

x_A + l₂ cos ₂ – l₄ = 0;

(2.18)

y_A + l₂ sin ₂ + l₃^* = 0.

Так как при заданных кинематических параметрах движения входного звена угол ₁, а, следовательно, и x_A, y_A известны, то эта система легко решается относительно неизвестных ₂, l₄

₂ = –arcsin[( l₃^* + y_A )/ l₂ ] ;

(2.19)

l₄ = x_A + l₂ cos ₂.

Дифференцируя систему (2.18) по времени, получим:

v_Ax – l₂ ₂ sin ₂ – v_B = 0 ;

(2.20)

v_Ay + l₂ ₂ cos ₂ = 0.

где: v_Ax, v_Ay – проекции скорости входного шарнира A на оси НСК OXY.

Тогда угловая скорость шатуна и скорость ползуна:

₂ = –v_Ay /( l₂ cos ₂ ) ;

(2.21)

v_B = v_Ax – l₂ ₂ sin ₂ .

Дифференцируя (2.20) по времени, получим систему уравнений для определения ускорений:

где: _Ax, _Ay – проекции ускорения входного шарнира A на оси НСК OXY (см. уравнение (2.16).

Тогда угловое ускорение шатуна и ускорение ползуна:

(2.22)

2.3.3. Кулисные структурные группы

Механизмы двух модификаций, состоящие из входного звена OA и структурных групп с кулисами представлены на рис. 2.11, 2.12. Ось кулисы в общем случае может быть смещена как от шарнира A на величину l₂, так и от опоры B на величину b. Смещения на рисунках показаны положительными. Введем в рассмотрение вектор l₃^* из точки A в точку B, который соответствует положению кулисы при отсутствии смещений. Найдем сначала решение для этого случая (все величины, помеченные ниже звездочкой, относятся к случаю l₂ = b = 0).

Если занумеровать звенья так, как это показано на рис. 2.11, 2.12, то уравнение замкнутого векторного контура для обеих модификаций запишется одинаково:

Проецируя его на оси неподвижной системы координат OXY и учитывая, что ₄ = 180^О = Const, а l₁cos ₁ = x_A, l₁ sin ₁ = y_A – координаты входного шарнира A, получим:

x_A + l₃^* cos ₃^* – l₄ = 0;

(2.23)

y_A + l₃^* sin ₃^* = 0.

Из системы (2.23) находим:

(2.24)

Отметим, что при вычислении по формулам (2.24) результат l₃^* = 0 является признаком неработоспособности механизма если в процессе движения входное звено должно проходить положение (x_A = l₄ , y_A = 0).

Для определения угловой скорости кулисы ₃^* и скорости ползуна относительно кулисы v₃^* продифференцируем систему (2.23) по времени:

v_Ax + v₃^* cos ₃^* – l₃ ₃^* sin ₃^* = 0 ;

(2.25)

v_Ay + v₃^* sin ₃^* + l₃ ₃^* cos ₃^* = 0.

где: v_Ax, v_Ay – проекции скорости входного шарнира A (см. уравнения (2.20).

Система (2.25) линейна относительно ₃^*, v₃^*, т.е. легко разрешима, например, по формулам Крамера.

Дифференцируя (2.25) по времени, получим систему уравнений для определения углового ускорения кулисы ₃^* и ускорения ползуна относительно кулисы ₃^*:

_Ax+₃^* cos₃^* – 2v₃^* ₃^* sin₃^* – l₃^* ₃^* sin₃^* – l₃^* ₃^*2 cos₃^* = 0;

(2.26)

_Ay+₃^* sin₃^*+ 2v₃^* ₃^* cos₃^* + l₃^* ₃^* cos₃^* – l₃^*₃^*2 sin₃^*= 0.

где: _Ax, _Ay – проекции ускорения входного шарнира A на оси неподвижной системы координат OXY (см. уравнение (2.1).

Кинематические параметры движения кулисы при наличии смещений l₂, b (см. рис. 2.11, 2.12) получим через параметры движения вектора l₃^*, который повернут относительно вектора l₃ на угол :

 = arcsin((b – l₂ )/l₃^*); ₃ = ₃^* +  ; l₃ = l₃^* cos  . (2.27)

На рис. 2.11, 2.12 показаны положительные смещения l₂ и b.

Дифференцируем дважды по времени выражения для ₃ и l₃:

. ..

₃ = ₃^*+ ; ₃ = ₃^* + ;

.

v₃ = v₃^* cos  – l₃^*  sin  ; (2.28)

. .. .

₃ = ₃^* cos  – 2 v₃^*  sin  – l₃^*( sin  + ² cos ),

Необходимые для вычисления по формулам (2.28) производные от , определим последовательно дифференцируя первое из выражений (2.27):

(2.29)