ГЛАВА 2

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ

При описании физических свойств твердых тел, эффектов и явлений, на которых основана работа элементов МЭА, используются квантовомеханические представления. Поэтому изложение физических основ микроэлектроники без них невозможно.

Используемые ниже сведения из квантовой механики по своему объему незначительно выходят за рамки курса общей физики для высших учебных заведений. Однако, на наш взгляд, имеет смысл привести их в данном пособии в краткой, компактной форме и указать читателю соответствующую литературу для более точного и детального ознакомления с вопросом *6+.

2.1.Волновые свойства микрочастиц

Вэтой главе рассматриваются объекты микромира, и об этом следует помнить постоянно, поскольку там действуют свои законы, которые не проявляются и не имеют аналогов в макромире, где мы с вами живем.

Как известно, свет обладает и волновыми, и корпускулярными свойствами. В явлениях интерференции, дифракции, поляризации и других он ведет себя как волна с частотой ν, длиной λ и волновым вектором k = 2π/ λ.

Вфотоэффектах, эффекте Комптона и других свет ведет себя как поток частиц, имеющих энергию Е

Е = hν = ћω

(2.1)

и импульс

p = ћκ,

(2.2)

38

Частицы света называют фотонами.

В 1924 г. де Бройль предпринял попытку преодолеть создавшееся в физике кризисное состояние. Он предположил, что двойственность поведения, присущая свету, характерна и для других микрочастиц – электронов, протонов и т.д. Причем формулы, связывающие волновые и корпускулярные характеристики, оставались, в принципе, теми же, что и для фотонов:

ν = E/h,	(2.3)
λ = h/p = h/mυ,	(2.4)

где m – масса микрочастицы, υ – ее скорость.

Эти волны часто называют волнами де Бройля, а соотношения

(2.3), (2.4) – соотношениями де Бройля.

Но гипотеза де Бройля не давала ответа на вопрос, какой же физический смысл имеют гипотетические волны.

Как всякая гипотеза, она нуждалась в экспериментальной проверке. Такая проверка была проведена. Эксперимент заключался в том, что поток электронов проходил через тонкую золотую фольгу и падал на фотопластинку или люминесцентный экран. Дело в том, что золотая фольга обладает кристаллической структурой и играет роль дифракционной решетки. Электроны, проходящие через фольгу, сформировали на экране дифракционную картину. Такая картина играет роль визитной карточки волнового процесса. Обсчет параметров дифракционной картины, вычисление длин волн электронов показали хорошее соответствие соотношений де Бройля с экспериментом. Гипотеза прошла первую проверку. Впоследствии в экспериментах использовали отдельные электроны, протоны и другие частицы. Результаты экспериментов неизменно подтверждали гипотезу де Бройля.

Интересно, что такое подтверждение теории экспериментально осуществляется в электронной микроскопии и по сей день.

Еще одним косвенным подтверждением волновой природы микро-

частиц стали соотношения неопределенностей Гейзенберга.

В классической механике существует ряд задач о движении тела под действием известных сил. Решая такую задачу, мы определяем траекторию тела, т.е. его положение в пространстве в любой момент времени.

39

px ≥ h, py ≥ h, pz ≥ h,

y, z – неопределенности координат,

py, pz – неопределенности проекций импульса на оси;

Одновременно можно определить и импульс тела. В принципе, и координаты, и проекции импульса можно определить одновременно с любой точностью.

В 1927 г. Гейзенберг постулировал в противоречие с вышеизложен-

ным: в микромире существуют такие пары переменных, одновре-

менное определение которых возможно с ограниченной точностью.

Этот постулат Гейзенберга можно записать в виде нескольких неравенств.

x

y (2.5) z

где x, px,

E t ≥ h,

(2.6)

где E – неопределенность энергии микрочастицы,

t – временной интервал, где микрочастица обладает энергией E ± E. Из последнего соотношения следует, что неопределенность энергии может достигать существенного значения только в том случае, если время

пребывания микрочастицы в данном энергетическом состоянии мало. Анализируя соотношения (2.5), мы можем сделать выводы примени-

тельно к расположению и траекториям микрочастиц. Для микрочастиц не существует строго определенных координат или траекторий движения, а только области пространства, где эти микрочастицы могут находиться.

Наличием таких необычных, на наш взгляд, свойств микрочастицы обязаны своим волновым особенностям, поскольку импульс частицы зависит от длины ее волны. Например, если частица имеет определенный импульс, т.е. px = 0, то частице соответствует монохроматическая волна с фиксированной длиной. Эта волна распространена в пространстве в интервале от -∞ до ∞ (Δх→∞). Можно показать также, что у микрочастицы, обладающей определенной координатой х, px→∞, то есть импульс совершенно не определен. Обычно встречается промежуточный случай, т.е. микрочастице соответствует волновой пакет волн с различными длинами.

40

Отметим, что аналогов такого необычного поведения микрочастиц в макромире не наблюдается лишь потому, что масса микрочастицы очень мала и в макромире также не имеет аналогов.

2.2. Уравнение Шредингера. Волновая функция

Из вышеизложенного с очевидностью следует, что в микромире неприменимы законы классической механики. Ее место занимает квантовая механика – раздел теоретической физики, описывающий поведение микрочастиц.

Аналогом основного уравнения динамики для микромира является уравнение, постулированное Шредингером и носящее его имя. Для микрочастицы, находящейся в силовом поле и обладающей потенциальной энергией U(x, y, z, t), уравнение имеет следующий вид:

			2		2			2				2				U (x, y, z, t) ,	(2.7)
i						2				2				2
	t				x			y				z
			2m

где Ψ – волновая функция, в общем случае зависящая от координат и времени;

i – мнимая единица.

Волновая функция описывает поведение микрочастицы. Она является комплексной функцией, и физический смысл имеет не сама функция, а ее произведение на комплексно сопряженную функцию Ψ*. Такое произведение действительно и пропорционально вероятности того, что в момент t частица находится в элементе объема dV. Эта вероятность ω(x, y, z, t) определяется из выражения

w(x, y, z, t)dV = Ψ(x, y, z, t) Ψ*(x,y,z,t)dV.

(2.8)

В соответствии со смыслом волновой функции, она должна быть

непрерывной, однозначной и конечной во всех точках пространства, а

также иметь непрерывную первую производную.

Для волновой функции справедливо условие нормировки

*dV 1 ,	(2.9)
v

которое свидетельствует, что нахождение частицы в объеме V, если она находится в элементе этого объема, – событие достоверное.

41

В общем случае потенциальная энергия микрочастицы зависит от координат и времени. Однако существует ряд задач для полей стационарного характера. В этих практически важных случаях потенциальная энергия не зависит от времени. Тогда выражение для волновой функции можно представить в виде произведения

Ψ(x, y, z, t) = ψ(x, y, z)θ(t).

(2.10)

Для простоты выберем одномерный случай. Тогда можно записать

i (x, t)					2	2 (x, t) U (x)(x, t) ,					(2.11)
			t		2m	x2
Ψ(x, t) = ψ(x) θ(t).											(2.12)
Подставив (2.12) в (2.11) и разделив переменные, получим
	2 d 2 (x)			U (x) i			1 d (t) .				(2.13)
	2m dx2						(t)		dt

Левая часть равенства является функцией только x, правая часть зависит лишь от t. Это возможно только тогда, когда каждая часть равна одной и той же постоянной величине. Можно показать, что эта постоянная есть полная энергия частицы E. Приравняем левую и правую части к E и преобразуем их. Тогда получим два уравнения для одномерного стационарного случая

d 2				2m			(E U ) 0 ,	(2.14)
dx2				2
d					i	E .		(2.15)
dt

Последнее уравнение легко интегрируется и дает решение в виде

		iE t
n (t) exp		n		,	(2.16)

где En – одно из собственных значений энергии частицы.

Из формулы (2.16) видно, что функция θn(t) является гармонической с частотой νn = En/ћ.

Для того чтобы решить уравнение (2.14), необходимо определить вид функции потенциального поля U(x) и подставить его в (2.14). Тогда решение (2.13) будет иметь вид

42