- •Предисловие
- •Условные обозначения
- •Список сокращений
- •Введение
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 1 СТРУКТУРА И СВОЙСТВА ТВЕРДЫХ ТЕЛ
- •1.1. Равновесное расположение частиц в кристалле
- •1.2. Идеальные кристаллы. Решетки Бравэ
- •1.3. Нормальные колебания решетки. Фононы
- •1.4. Структура реальных кристаллов
- •1.5. Структурозависимые свойства
- •1.6. Жидкие кристаллы
- •1.7. Аморфное состояние
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 2 ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ МЕХАНИКИ
- •2.1. Волновые свойства микрочастиц
- •2.2. Уравнение Шредингера. Волновая функция
- •2.3. Свободный электрон. Фазовая и групповая скорости
- •2.4. Электрон в потенциальной яме
- •2.5. Туннелирование микрочастиц сквозь потенциальный барьер
- •2.6. Квантовый гармонический осциллятор
- •2.7. Водородоподобный атом. Постулат Паули
- •Контрольные вопросы и задания
- •ГЛАВА 3 ЭЛЕМЕНТЫ СТАТИСТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ
- •3.1. Термодинамическое и статистическое описание коллектива. Функция распределения
- •3.3. Функция распределения Максвелла-Больцмана Химический потенциал
- •3.4. Функция распределения Ферми-Дирака. Энергия Ферми
- •3.5. Функция распределения Бозе-Эйнштейна
- •Контрольные вопросы и задания
- •ГЛАВА 4 ЭЛЕМЕНТЫ ЗОННОЙ ТЕОРИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
- •4.1. Обобществление электронов в кристалле
- •4.3. Зоны Бриллюэна
- •4.4. Эффективная масса электрона
- •4.6. Примесные уровни
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 5 ЭЛЕКТРОПРОВОДНОСТЬ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
- •5.1. Проводимость и подвижность носителей
- •5.2. Механизмы рассеяния и подвижность носителей
- •5.4. Электропроводность полупроводников
- •5.5. Электропроводность металлов и сплавов
- •5.6. Сверхпроводимость
- •5.7. Основы теории Бардина – Купера – Шриффера
- •5.8. Эффекты Джозефсона
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 6 РАВНОВЕСНЫЕ И НЕРАВНОВЕСНЫЕ НОСИТЕЛИ ЗАРЯДА
- •6.1. Генерация и рекомбинация неравновесных носителей. Время жизни
- •6.2. Уравнения непрерывности
- •6.3. Фотоэлектрические явления в полупроводниках
- •6.4. Полупроводники в сильном электрическом поле
- •6.6. Эффект Ганна
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 7 Контактные явления
- •7.1. Работа выхода электрона. Контакт металл – металл
- •7.2. Контакт металл – полупроводник
- •7.3. Электронно-дырочный переход
- •7.4. Выпрямляющее действие p-n–перехода. Пробой
- •7.5. Гетеропереходы
- •7.6. Эффект Зеебека
- •7.7. Эффект Пельтье
- •7.8. Фотоэффект в p-n–переходе. Фотодиоды
- •7.9. Излучательные процессы в p-n–переходе. Светодиоды
- •7.10. Инжекционные полупроводниковые лазеры
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 8 ПОВЕРХНОСТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ
- •8.1. Поверхностные энергетические состояния
- •8.2. Зонная диаграмма и заряд в приповерхностном слое
- •8.3. Поверхностная проводимость
- •8.4. Эффект поля. Полевые транзисторы
- •8.5. Влияние состояния поверхности на работу полупроводниковых приборов
- •Контрольные вопросы и задания
- •9.1. Структура и свойства тонких пленок
- •9.2. Контакт металл-диэлектрик. M-Д-M–структура
- •9.3. Туннелирование сквозь тонкую диэлектрическую пленку
- •9.4. Токи надбарьерной инжекции электронов
- •9.5. Токи, ограниченные пространственным зарядом
- •9.6. Прохождение горячих электронов сквозь тонкие металлические пленки
- •9.7. Активные устройства на основе тонкопленочных структур
- •Контрольные вопросы и задания
- •Глава 10 ПЕРСПЕКТИВЫ РАЗВИТИЯ МИКРОЭЛЕКТРОНИКИ
- •10.1. Ограничения интегральной электроники
- •10.2. Функциональная электроника
- •10.3. Системы пониженной размерности. Наноэлектроника
- •10.4. Квантовые одно- и двумерные структуры
- •10.5. Квантовые точки. Одноэлектроника
- •Контрольные вопросы и задания
- •Заключение
- •Приложения
- •П.1. Фундаментальные физические постоянные
- •П.2. Свойства полупроводников
- •П.3. Некоторые единицы системы СИ
- •П.4. Внесистемные единицы, допускаемые к применению
- •П.5. Плотность некоторых твердых тел
- •Библиографический список
- •АЛФАВИТНО-Предметный указатель
- •ОГЛАВЛЕНИЕ
1.3. Нормальные колебания решетки. Фононы
Атомы, как известно, совершают тепловые колебания вокруг равновесных положений. Они существенно влияют на характер электрических, тепловых, оптических и других процессов в твердых телах.
Поскольку атомы твердого тела влияют друг на друга, аналитическое описание этого движения является крайне сложным, обычно рассматривают упрощенную модель колебаний. Вместо изучения колебательного движения отдельных атомов рассматривают коллективные колебания всего ансамбля атомов. Поскольку кристаллическая решетка обладает симметрией, а силы взаимодействия являются упругими, коллективные колебания рассматривают как упругие волны, распространяющиеся во всех направлениях по кристаллу. Эти волны отличаются длиной волны, фазой и поляризацией. Границы спектра упругих колебаний легко определить, пользуясь моделью кристаллической решетки, размеры которой –
L, а параметр решетки – а, тогда λmin = 2a, λmax = 2L.
В теории колебаний волновой процесс принято характеризовать
волновым вектором k, круговой частотой ω, фазовой ф и группо-
вой гр скоростями распространения волны. Можно записать величину
волнового вектора |
|
k 2 / , |
(1.5) |
фазовую скорость монохроматической волны |
|
ф = ω / k |
(1.6) |
и групповую скорость |
|
гр / k. |
(1.7) |
|
Напомним, что фазовая скорость представляет собой скорость перемещения в пространстве точки с заданной фазой, а групповая скорость – скорость набора волн, так называемого волнового пакета.
Решение основного уравнения динамики для колеблющегося атома
можно записать в виде уравнения бегущих волн |
|
||||||
ui Ai sin( i t ki xn ) , |
(1.8) |
||||||
где ui – смещение i-го атома, |
|
||||||
и уравнения |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
(k ) 2 |
f |
ak |
, |
(1.9) |
|||
m |
|
sin |
2 |
|
|
21
где m – масса атома,
f – коэффициент упругости.
Подставив последнее выражение в (1.6) и (1.7), получим
2 |
|
|
f |
|
ak |
, |
(1.10) |
||||||
ф |
k |
|
|
m |
|
|
sin |
2 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
гр а |
|
|
f |
|
|
ak |
. |
(1.11) |
|||||
|
|
m |
|
cos |
2 |
|
|
|
|||||
На рис. 1.4 показаны графики полученных зависимостей. |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ф |
гр |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
зв |
зв |
|
|
k |
|
k |
|
k |
|
a |
|
|
a |
|
a |
а) |
|
|
б) |
|
|
в) |
Рис. 1.4. Зависимость частоты колебаний (а), фазовой (б) и групповой (в) скоростей от волнового вектора
Анализ последних выражений показывает, что в случае длинных волн (к0) фазовая и групповая скорости обращаются в постоянную величину
|
|
|
a |
f |
|
|
, |
(1.12) |
гр |
|
зв |
||||||
ф |
|
|
m |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
т.е. скорость звука в кристалле.
Для самых коротких волн k = π/a и групповая скорость стремится к
|
2a |
|
f |
|
нулю, а фазовая скорость – к величине |
|
|
|
. |
|
m |
В области длинных волн кристалл можно рассматривать как непрерывную среду. Если бы это положение сохранялось во всем спектре, то зависимость ω(k) представляла бы прямую линию, а ф(k) и гр(k) были бы постоянными, как показывают пунктирые линии на рис. 1.4. Следо-
22
вательно, в области коротких волн кристалл уже нельзя рассматривать как непрерывную, упругую среду.
До сих пор мы рассматривали колебания в кристаллах, состоящих из одинаковых атомов. В кристаллах, состоящих из двух видов атомов, имеющих различные массы, а также в сложных решетках наблюдаются две ветви у графиков зависимости ω(k). На рис. 1.5, а представлены такие графики.
ω
2 |
1 |
1 |
2 |
|
|
/ a |
k |
а) |
б) |
Рис. 1.5. Акустические (1) и оптические (2) колебания решетки: а – графики зависимостей; б – колебания двухатомной цепочки
Колебания, отраженные кривой 1, называют акустическими, отраженные кривой 2 – оптическими. Случай акустических и оптических колебаний одномерной цепочки проиллюстрирован на рис. 1.5, б. Очевидно, что для цепочки атомов во втором случае (оптические колебания) тяжелые и легкие атомы колеблются в противофазе, что приводит к более высокой частоте колебаний легких атомов. Существует другая модель для описания тепловых колебаний кристаллической решетки. Она заключается в том, что энергию колебаний представляют в виде энергии квантовых гармонических осцилляторов (п. 2.7)
E = (n+1/2)hv, |
(1.13) |
где n = 0,1,2…,
h – постоянная Планка, v – частота колебаний.
23
Как известно, энергия квантового осциллятора квантована и квант энергии – hv. Аналогично фотонам, имеющим такую же энергию, квант колебаний кристаллической решетки называют фононом. Поле упругих колебаний решетки можно рассматривать как совокупность фононов. Необходимо отметить, что фонон входит в группу так называемых квазичастиц, к которой относятся магноны – кванты спиновых волн, дырки
– кванты положительного заряда. Квазичастицы ведут себя так же, как частицы: имеют энергию и импульс (квазиимпульс), однако отдельно от системы не существуют. С помощью этой модели можно наглядно описывать многие процессы: теплопроводность, электропроводность и т. д.
Однако вернемся к тепловым колебаниям кристаллической решетки и попытаемся объяснить природу теплового расширения твердых тел. Для этого обратимся к рис. 1.1 и изобразим экстремум графика в увеличенном масштабе (рис. 1.6).
U |
r0 ru |
r |
|
|
T4> T3> T2> T1
T3
T2
U 0 T1
Рис. 1.6. Тепловые колебания атома при различных температурах
На рисунке показаны тепловые колебания атома вокруг равновесного состояния. С ростом температуры амплитуда колебаний растет. Однако, в силу несимметричности функции U(r) относительно координаты r0 и гармоничности тепловых колебаний, положение равновесия смещается на ∆r1, ∆r2,…∆rn при повышении температуры. Таким образом, равновесное расстояние между частицами кристалла с температурой возрастает, что и приводит к тепловому расширению кристалла по известному закону
L = L0(1+αt), |
(1.14) |
где α – температурный коэффициент расширения, t – температура,
L0 – длина тела при 0ºС.
24