Raschet_osnovnykh_parametrov_poluprovodnikov

Министерство образования и науки Российской Федерации НОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

621.38	№ 4466
Р 248

РАСЧЕТ ОСНОВНЫХ ПАРАМЕТРОВ ПОЛУПРОВОДНИКОВ

Методические указания к выполнению расчетно-графической работы для студентов II курса факультета

радиотехники и электроники по направлениям «Конструирование и технология электронных средств», «Инфокоммуникационные технологии и системы связи»

НОВОСИБИРСК

2015

1

УДК 621.38:53(07)

Р248

Вработе даны варианты расчетно-графических заданий по дисциплинам «Физические основы микроэлектроники» и «Физические основы электроники». Рассмотрены примеры получения аппроксимационных зависимостей основных физических параметров полупроводников, таких как подвижности электронов и дырок при произвольных значениях температуры и концентрации примеси на основании экспериментальных результатов и известного вида зависимостей. Результаты расчетов, выполненных в среде MathCAD, сравниваются с литературными данными.

Методические указания основаны на наиболее достоверных фактических данных, имеющихся в научной литературе и Интернет источниках.

Составитель канд. техн. наук, доц. С.В. Дорогой

Рецензент канд. техн. наук, доц. В.С. Данилов

Работа подготовлена на кафедре КТРС

Новосибирский государственный технический университет, 2015

2

ВВЕДЕНИЕ

Знание основных физических параметров полупроводников и их зависимостей от различных факторов, например температуры, необходимо для расчета конкретных характеристик полупроводниковых приборов.

Из большого числа полупроводниковых материалов выбраны 8 полупроводников, имеющих максимальное распространение, а именно: кремний (Si), германий (Ge), арсенид галлия (GaAs), фосфид галлия

(GaP), три политипа карбида кремния (SiC-3C, SiC-4H, SiC-6H) и фос-

фид индия (InP).

Расчет параметров производится для примесных невырожденных полупроводников n- и p-типов проводимости. Соответствующие концентрации доноров и акцепторов приведены в задании. При решении практических задач часто бывает необходимо получить математическое выражение для произвольно изменяющейся функции по экспериментальным точкам. В общем виде сделать это непросто. Задача существенно упрощается, если известен вид аппроксимирующей функции. В работе предлагается сделать обработку экспериментальных зависи-

мостей n (T ), p (T ), n (Nd), p (Na ) по известному виду функций

и получить соответствующие аппроксимационные зависимости как функции одной переменной. Эти зависимости могут быть использованы как для расчета других параметров полупроводников, например электропроводности, так и характеристик элементов полупроводниковых приборов, например, p–n-перехода. Также получаемые зависимости допускают проведение над ними обычных математических операций, например, интегрирование или дифференцирование. Работа выполняется с использованием программы MathCAD.

3

1.ДВИЖЕНИЕ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА

ВКРИСТАЛЛЕ

Известно, что электроны и дырки в полупроводниках являются почти «свободными частицами», так как они не связаны с какими-то определенными узлами кристаллической решетки. Воздействие кристаллической решетки проявляется в том, что эффективная масса этих «свободных частиц» несколько отличается от массы свободного электрона. Исходя из законов статистической механики, можно утверждать, что электроны и дырки имеют тепловую энергию, характерную для классических свободных частиц: на каждую степень свободы приходится kT/2 единиц энергии, где k – постоянная Больцмана, а Т – абсолютная температура. Это означает, что электроны в кристалле не покоятся, а перемещаются со случайными скоростями. Среднеквадратическое значение тепловой скорости электронов приближенно связано с температурой уравнением

	m V 2	3kT	,		(1)
	n th	2
	2
где	mn – эффективная масса электронов в зоне проводимости;				Vth	–
тепловая скорость электронов. Для кремния mn = 0.26 me				(где	me	–
масса покоя свободного электрона). Расчет по уравнению (1)					дает
V	= 2,3 · 107 см/с при Т = 300 К. Можно представить, что электроны
th				различных
движутся хаотически через кристаллическую решетку в

направлениях, сталкиваясь друг с другом и с решеткой. При тепловом равновесии движение системы электронов полностью беспорядочно, так что результирующий ток в любом направлении равен нулю. Столкновения с решеткой приводят к обмену энергией между электронами и атомными ядрами, образующими решетку. Интервал времени между столкновениями, усредненный по всей популяции электронов,

обозначается как cn и называется средним временем рассеяния для электронов. Это рассмотрение может быть применено в отсутствие

4

	внешнего поля, приложенного к кристаллу, находящемуся в тепловом
	равновесии.
	Пусть к кристаллу приложено слабое электрическое поле φ. В те-
	чение времени между элементарными актами рассеяния (столкновени-
	ями) электроны ускоряются вдоль направления поля. На рис. 1, а схе-
	матично показано движение или дрейф электрона в кристаллической
	решетке, к которой приложено слабое электрическое поле. Отметим,
	что движение, обусловленное полем, представляет собой небольшое
	возмущение хаотической	тепловой скорости. Поэтому	cn , среднее
	время рассеяния электронов, не меняется заметным образом под влия-
	нием поля.
	E	φ
	Энергия электронов	а
			EC
			EF
	дырок	б	EV
		Координата	X
	Энергия
	Рис. 1. Траектория электрона в кристалле под воздействием
	внешнего электрического поля φ (а); перемещение элек-
	трона по энергетической диаграмме E(x), указывающее на
	потерю электроном энергии при столкновениях (б), где
	EС – дно зоны проводимости; EV – потолок валентной
	зоны;	EF – уровень Ферми
		5

На рис. 1, б движение электрона в приложенном слабом поле схематично представлено на зонной диаграмме E(x). Постоянное приложенное поле приводит к линейному изменению энергетических уровней в кристалле. Электроны (которые двигаются вниз на диаграмме энергетических уровней) стремятся перемещаться вправо, что соответствует полю, направленному против оси x. Электроны обмениваются энергией при столкновениях с решеткой и переходят по направлению к своему термически равновесному положению. Если поле мало, то энергия, передаваемая решетке, тоже мала, и при прохождении тока не происходит заметного нагрева решетки. Наклон энергетических зон и потери энергии, связанные с соударениями с решеткой, на рис. 1, б преувеличены, чтобы можно было показать процесс схематически. В действительности энергия, теряемая при каждом соударении, много меньше средней тепловой энергии электронов. Электрон, находящийся в состоянии покоя в зоне проводимости, будет располагаться у дна зо-

ны EC . Среднее значение кинетической энергии при тепловом равновесии для всех электронов составляет E EC 3kT / 2 , или около

0.04 эВ при 300 К. Эта величина составляет менее 4 % ширины запрещенной зоны.

Результирующая скорость электронов в направлении приложенного электрического поля называется дрейфовой скоростью Vdn . Она

может быть найдена, если приравнять импульсF n , приложенный к

электрону за время его свободного пробега между столкновениями, количеству движения, приобретаемому электроном за тот же период. Это равенство справедливо, так как в результате того, что все количество движения, накопленное между столкновениями, передается при столкновениях решетке, достигается установившееся состояние. Сила, действующая на электрон в электрическом поле, равна F= – qφ, а при-

обретенное количество движения равноmnVdn . Поэтому

q n mnVdn		(2)
или
V q n .		(3)
dn	mn
Уравнение (3) устанавливает, что дрейфовая скорость электро-
нов Vd пропорциональна напряженности поля и		что коэффициент

6

пропорциональности зависит от среднего времени рассеяния и эффективной массы квазисвободного электрона. Этот коэффициент пропорциональности является важным свойством электрона. Он называется подвижностью и обозначается

	n	q n	.	(4)
		mn

Знак минус в уравнении (3) связан с противоположностью направлений дрейфовой скорости и напряженности электрического поля.

Перепишем уравнение (3) в виде

Vdn n .

(5)

Таким образом, подвижность описывает степень влияния приложенного поля на дрейфовую скорость электрона.

Совершенно аналогичные рассуждения применимы к дыркам. Дырка с нулевой кинетической энергией находится у потолка валент-

ной зоныEV , ее кинетическая энергия измеряется величиной(EV – Е) .

Если край зоны наклонен, то дырка на диаграмме энергетических зон электрона движется вверх. Подвижность дырок определяется как

p q cp / mp .

При наличии нескольких механизмов рассеяния определяющим является механизм, которому соответствует наименьшее время рассеяния. Суммарную подвижность как результат одновременного действия каждого i-го механизма рассеяния можно записать в виде

1		1	.	(6)
	i	i

Механизмы рассеяния, влияющие на подвижность свободных носителей, различным образом зависят от температуры. Так, например, рассеяние ионизированными примесями становится менее эффективным по мере повышения температуры, так как уменьшается время взаимодействия носителей заряда с ионами. Рассеяние на колебаниях решетки (соударения с фононами) при более высоких температурах становится более эффективным. По этой причине при пониженных температурах с увеличением температуры наблюдается характерный рост подвижности (так как преобладает рассеяние на ионах примесей), то-

7

гда как при более высоких температурах подвижность падает (так как преобладают соударения с фононами). Эти конкурирующие механизмы приводят к тому, что на кривой температурной зависимости подвижности имеется характерный максимум, как это видно из экспериментальных данных, приведенных на рис. 1. В максимуме подвижности два механизма температурной зависимости сбалансированы, и наблюдается минимальная температурная чувствительность подвижности.

С увеличением концентрации примесей при постоянной температуре подвижность падает в силу увеличения числа рассеивающих центров. Следует помнить, что концентрация носителей заряда зависит от разности концентраций двух типов легирующих примесей ( Na Nd ),

рассеяние же зависит от суммы концентраций ионизированных приме-

сей ( Na Nd ).

К основным физическим параметрам полупроводников, подлежащих определению, относятся следующие.

1.mdn , mdp – эффективные массы плотности состояний электронов

взоне проводимости и дырок в валентной зоне.

2.NC f (T ) – эффективная плотность состояний в зоне проводимо-

сти.

3.NV f (T ) – эффективная плотность состояний в валентной зоне.

4.ni f (T ) – собственная концентрация носителей заряда.

5.Eg f (T) – ширина запрещенной зоны полупроводника.

6. n1 f (T , Nd1 const),

n f (T 300 К, Nd ),

p1 f (T, Nd1

const), p f (T 300 К, Nd ) – подвижности электронов и дырок.

7.Концентрации примесей Nd, Na – указываются преподавателем. Если не удается найти экспериментальные зависимости для подвижности при заданных значениях концентрации примеси или температуры, то следует использовать наиболее близкие данные.

8.i (T ) – удельное электрическое сопротивление собственного

полупроводника.

9. Положение уровня Ферми в примесном полупроводнике относительно разрешенных зон ( EC EF или EF EV ) в заданном диапа-

зоне температур. Использовать допущение полной ионизации примесей, полупроводник невырожденный.

8

10. Положение уровня Ферми в примесном полупроводнике относительно разрешенных зон ( EC EF , EF EV ) при фиксированной

температуре (Т = 300 К) для заданных значений Nd и Na.

11. Изменение положения уровня Ферми в собственном полупроводнике при увеличении температуры относительно середины запрещенной зоны ( Ei ).

12.Температура начала собственной проводимости для полупроводника с заданной концентрацией (ni (T ) Nd или pi (T ) Na)) .

13.Отношение подвижности электронов к подвижности дырок при фиксированном значении температуры (Т = 300 К) в зависимости от

концентрации примеси. Задать диапазон концентрации Nd и Na в соответствии с экспериментальными зависимостями n (Nd ), p (Na ) .

14. Зависимость удельного электрического сопротивления примесного полупроводника (n- и p-типа) от концентрации примеси ( Nd и

Na соответственно) при постоянной температуре (Т0 = 300 К). Задать изменение концентраций Nd и Na , как в п. 12.

15. Dn f (T), Dp f (T) – коэффициенты диффузии электронов и дырок в зависимости от температуры.

2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ И СООТНОШЕНИЯ

Эффективная плотность			2 kTm						3
состояний в зоне прово-	NC (T ) 2								2	(7)
димости						dn
				h2
Эффективная плотность			2 kTm						3
состояний в валентной									2
зоне	N (T ) 2					dp				(8)
					2
	V			h
Температурная зависи-						AT 2
мость ширины запре-	Eg (T ) Eg0									(9)
щенной зоны						T B
	9

Продолжение таблицы

Собственная концентра-

E

(T )

1

ция носителей заряда

g

2

(10)

в полупроводнике

n (T )

N

C

(T )N

exp(T )

kT

i

V

Температурная зависи-

1

1

p

мость энергии Ферми

EF (T )

2

(EC EV )

2

kT ln

n

(11)

3

m

4

kT ln

dn

m

dp

Температурная зависи-

3

m

мость энергии Ферми

E

(T )

E

kT ln

,

dn

для собственного полу-

Fi

i

4

m

(12)

проводника

dp

E 1 (E

где

E

)

i

2

C

V

Концентрационная зави-

imax

imin

симость подвижности

min

электронов и дырок

i (N ) i

, i = n, p

N

i

(13)

1

Nig

N = Na + Nd – суммарная концентрация

примесей

Температурная зависи-

мость подвижности

i (T ) constT , 1.5...2.5 i = n, p

электронов и дырок

(14)

в области средних тем-

ператур

Удельное электрическое

1

сопротивление соб-

i (T )

(15)

qni (T ) n (T ) p (T )

ственного полупровод-

ника

Концентрация свобод-

E

E

F

ных электронов в зоне

n(T ) NC (T )exp

C

(16)

проводимости

kT

Концентрация свобод-

p(T ) N

(T )exp

EF EV

ных дырок в валентной

(17)

зоне

V

kT

10