§ 6. Передаточные функции линейных систем.

Рассмотрим линейную систему, находящуюся под влиянием задающего g(t) и возмущающегоf(t) воздействий (рис 6.1).

Рисунок 6.1 Структурная схема САР.

Передаточная функция регулятора:

ПФ объекта по регулирующему воздействию:

ПФ - ия объекта по возмущающему воздействию:

Операторное уравнение динамики объекта:

(1)

С учетом 1 структурная схема (рисунок 6.1) может быть представлена в виде (рис. 6.2).

Рисунок 6.2 Упрощённая структурная схема

Если разорвать главную обратную связь и положить F(р)=0, то получим ПФ разомкнутой системы по задающему воздействию:

При этом структурная схема ( рис 6.2) упрощается (рис 6.3).

Рисунок 6.3 Структурная схема САР

Если разорвать главную обратную связь, то при , получим ПФ разомкнутой системы по возмущающему воздействию:

Рассмотрим теперь замкнутую систему (рисунок 6.3).

Передаточная функция замкнутой системы по задающему воздействию(при F(p)=0):

Ф(p)

Учитывая, что

где N(p)- характеристический полином разомкнутой системы;

D(p)- характеристический полином замкнутой системы.

Рассмотрим возможные ПФ замкнутой системы. На основе схемы (рис. 6.3) составим сигнальный граф, где отобразим параметры системы .

Рисунок 6.4 Сигнальный граф САР

При , получим ПФ- замкнутой системы по возмущающему воздействию:

.

По формуле Мэзона имеем:

;;;.

.

По полученным ПФ можно записать операторное уравнение относительно регулируемой величины:

.

Если в качестве выходной величины рассматривать сигнал ошибки , а в качестве входной - сигнал задающего воздействияполучим передаточную функцию замкнутой системы по ошибке от задающего воздействия.

Из рисунка 6.4 следует:

;;

.

Найдем связь между и:

.

Учитывая, что возмущение также влияет на отклонение регулируемой величины, а, следовательно, и на сигнал ошибки, то определим ПФ замкнутой системы по ошибке от возмущающего воздействия:

.

Из рисунка 6.4:

;;

.

Таким образом, результирующая ошибка системы имеет две составляющие:

.

§7 Временные характеристики линейных звеньев

В реальных условиях входные сигналы имеют произвольный характер. Для исследования динамических свойств звеньев (систем) следует выбирать такие типовые сигналы, которые по возможности наиболее близко отражали бы наиболее существенные особенности реальных сигналов. Кроме того, для сравнения отдельных элементов и систем между собой их также следует подвергать однотипным воздействиям. К числу наиболее часто применяемых типовых сигналов относятся:

- единичная ступенчатая функция 1(t);

- единичная импульсная функция ;

- гармоническая функция .

Временной характеристикой звена (системы) по какому-либо внешнему воздействию называют закон изменения выходной величины звена при изменении внешнего воздействия по определенному закону и при условии, что до приложения внешнего воздействия звено находилось в покое (нулевые начальные условия).

1. Реакцию звена на воздействия в виде единичной ступенчатой функции при нулевых начальных условиях называютпереходной функцией (рис. 7.1).

Графическое изображение переходной функции называют переходной характеристикой.

x

t

0

1

h(t)

t

Рисунок 7.1 Переходные характеристики линейных систем

Единичная ступенчатая функция определяется следующими условиями:

.

Согласно определению ПФ изображение выходного сигнала:

.

Учитывая, что ,

,

.

2. Реакция звена на воздействие в виде единичной импульсной функции при нулевых начальных условиях называетсявесовой или импульсной переходной функцией (рис 7.2).

Графическое изображение функции называетсяимпульсной переходной характеристикой.

x(t)

t

-δ(t)

ω(t)

t

0

Рисунок 7.2 Импульсная переходная характеристика

Единичная импульсная функция или дельта-функция представляет собой импульс бесконечно большой амплитуды и бесконечно малой длительности (рис. 7.2а).

;

Математически дельта - функцию можно представить как производную от единичной ступенчатой функции:

,

отсюда следует

Учитывая, что входной сигнал или,

Переходная и импульснаясвязаны соотношением:

или

Обе временные характеристики иявляются динамическими характеристиками и также полностью описывают свойства звена как ДУ и ПФ.