ГЛАВА-2-06.13

dx

Замена

dt

sin t

x

x sin t

tgt C

C

C.

cos2t

cost

1 x2

(1 x2 )3

dx costdt

Ответ:

dx

x

C.

(1

x2 )3

1 x2

Примеры для самостоятельного решения

x3dx

1. 5 x8

ex dx

2. 5 4ex

3. tg3 xdx

4. x3 2 x2 dx 5. x5 xdx

xdx

6. x4 1

xdx

7. 1 x

e2 x dx

8. e x 1

9. xdxln x

sin 2xdx 10. 2 cos2 x

dx

11. x 2 3

ex

12. e2 x 1 dx

13.		x 3				dx
	x		x	2

dx

14. x 3 ln 2 x

ee2 x

15.1 e x dx

16.1 2sin x cosxdx

x1

17.1 2x 1 dxx

18.

x

dx

1 3

2

x

x

1

19.

e

dx

x

e

1

dx

20.

x 1 3

x

3x 1

dx

21.

1 2x

22.

e x 1 dx

23.

dx

x

2x 1

24.

x

dx

5

4x

89

																																																																		Ответы
																					x4																																																																		2 x
1.										1									ln															5						C ; 2.														1			ln				4ex 5								C								; 3.							tg							ln											cos x								C ;
																					x4																															4																																2
		8												5																				5
																					5									2																					3
								2 x2																																	2 x2																											10																		3							2																		5 C ;
4.																																																									C ; 5.																							5 x																								5 x
														5																												3																																																			5
																																																																					3
	ln						x2														x4					1									C																											2
6.																																										; 7.																					2 ln											x 1								C ; 8. e																		x			ln					e				x		1				C ;
														2																																								x 1
9. ln						ln x												C ; 10.																		2									cos2							x 2 C ; 11. 2																												x 2 6 ln																							x 2 3												C ;
																																																																																						x					2						C ;
12.		ln								ex												e2x 1															C ; 13.															2						x 2 3													2arctg
																																																																																						2
																																																																																																		1 2 sin x 3
								3																ln			x					C ; 15.																																																				16.																																		C ;
14.														arctg																																				2 ln										ex				1			ex C ;
		3																																																																																																					3
																										3
																						3																									2 2																																																	6 6									5		4 6												3
										2x 1																											2x 1																																																																			x
17.																																																									ln								2x 1 1														C ;							18.																																x
														6																												4																																																													5
																																										36
																																																		x																																	x C ;
																																																															19. 2 ln											ex 1
186										x 21arctg6																											x																			C ;
																																											3 x									1
																																																																			3
																																																											1 2x										5								1 2x										C ;
20.		66									x 6arctg6																										x C ; 21.
																																																																2
																																																																	ln																1 2
																																		ex 1 1																																																																					2
											ex 1 ln																																							C ; 23.
22.		2																																																																			2x 1																																													C				;
																																		ex 1 1																																																												2x									1 1
																							3
24.										5 4x																					5								5 4x											C .
														24																								8

§ 4. Интегрирование по частям

Метод интегрирования по частям основан на следующей теореме.

Теорема 1. Пусть функции u = u(x) и v = v(x) дифференцируемы на некотором интервале (a;b). Пусть на интервале (a;b) функция v(x) u'(x) имеет первообразную. Тогда на интервале (a;b) функция u(x) v'(x) также имеет первообразную. При этом справедливо равенство:

u(x)v (x)dx u(x) v(x) v(x)u (x)dx .

Замечание 1. Определение дифференциала и свойства инвариантности его формы позволяют переписать формулу интегрирования по частям в более короткой форме:

90

udv u v v du .

Замечание 2. Для успешного вычисления интеграла необходимо разумно разбить подынтегральное выражение на два множителя u(x) и dv(x) так, чтобы интеграл v du оказался легко интегрируемым.

Большая часть интегралов, берущихся с помощью метода интегрирования по частям, может быть разбита на следующие три группы:

1) К первой группе относятся интегралы, у которых подынтегральная функция содержит в качестве множителя одну из следующих функций:

ln x; arcsin x; arccos x; arctg x; arcctg x; ln2x; ln (x); arcsin2x;…

при условии, что оставшаяся часть подынтегральной функции представляет собой производную известной функции.

Тогда за функцию u(x) берут соответствующую из перечисленных. 2) Ко второй группе относятся интегралы вида:

(ax b)n cosαxdx , (ax b)n sin αxdx ,

(ax b)eαxdx , (ax b)n Aαxdx ,

где a, b, , n, A – некоторые постоянные числа, A > 0, n N.

При этом в качестве u(x) следует брать (ax +b)n и интегрировать по частям

nраз.

3)К третьей группе относятся интегралы вида:

edx cos βxdx , eαx sin βxdx ,	Aα x cos β xdx ,
Aαx sin βxdx , sin(ln x)dx ,	cos(ln x)dx ,

где , , A – постоянные числа, A > 0, A ≠ 1.

Такие интегралы берутся двукратным интегрированием по частям при любом выборе u(x). Это приводит к линейному уравнению относительно предложенного интеграла, откуда его и находят.

Примеры с решениями Пример 1. Найти интеграл x2 arctgxdx

Решение.

dv x

2

x3

x3

x2 arctgxdx

u arctg x;

d x

arctgx

du

dx

; v

x3

3

3

1 x2

3

x

3

1

x

3

x3

x

2

1

x

3

arctgx

dx x3 x |

arctgx

1 x2

3

3

x

3

x

			dx
		1 x2
1								x
			x							dx
3						x	2	1

91

	x3		1		xdx				1		xdx								x3							x2				1			1				d(x2 1)
		arctgx																			arctgx
	3		3						3		x	2		1				3																				x	2	1
																										6 3 2
	x3	arctgx	x2				1	ln | x2				1| C
	3		6			6
		Ответ: x2 arctg xdx															x3			arctgx					x2					1		ln | x2							1| C
																														6
																3										6
		Пример 2. Найти интеграл arcsin xdx
		Решение.
			u arcsin x										du						dx																1							1
arcsin xdx						dv dx												1 x2						x arcsin x														1		x2		2 d 1 x2
																																			2
															v x

x arcsin x 1 x2 C.

Ответ: arcsin xdx x arcsin x 1 x2 C.

Пример 3. Найти интеграл x sin xdx

Решение.

	u x		du dx		x cos x cos xdx x cos x sin x C.
x sin xdx
dv sin xdx			v cos x

Ответ: x sin xdx x cos x sin x C.

Пример 4. Найти интеграл cos xdx

Решение.

x t

cos

2

u t

du dt

2(t sin t sin tdt)

2

xdx x t

2 t costdt dv costdt

v sin t

dx 2tdt

2(t sin t cost) C 2( x sin

x cos

x ) C.

Ответ: cos xdx 2(x sin x cos x) C.

Пример 5. Найти интеграл x2 exdx

Решение.

92

x2

u x

2

du 2xdx

x2 ex

2x exdx x2ex 2

xexdx

exdx

v ex

dv exdx

u x du dx

dv exdx v ex x2ex 2(xex exdx) x2ex 2xex 2ex C.

Ответ: x2 exdx x2ex 2xex 2ex C.

Пример 6. Найти интеграл ex cos 2xdx

Решение.

u ex

du exdx

1

e

x

cos 2xdx

1

e

x

sin 2x

dv cos 2xdx

v

sin 2x

2

2

		u ex			du	e			x	dx							1
													1		x	sin 2x				1		x
														e							e
					v	1
								cos 2x					2				2			2
	dv sin 2xdx
						2
	1	ex sin 2x	1	ex cos 2x					1	ex cos 2xdx
	2		4						4

Далее необходимо решить уравнение:

	1	ex sin 2xdx
	2
			1
			2
cos 2x					ex cos 2xdx

ex cos2xdx 12 ex sin 2x 14 ex cos2x 14 ex cos2xdx.

Пусть ex cos 2xdx J , тогда уравнение запишется в виде:

J 12 ex sin 2x 14 ex cos 2x 14 J

54 J 12 ex sin 2x 14 ex cos 2x

J 15 (2sin 2x cos2x)ex .

Ответ:		ex cos2xdx			1	(2sin 2x cos2x)ex C .
					5
Пример 7. Найти интеграл cos(ln x)dx
Решение.
	u cos(ln x)			du			sin(ln x)	dx
cos(ln x)dx		dv dx					x		x cos(ln x) sin(ln x)dx
						v x

93

	u sin(ln x)			du	cos(ln x)	dx
		dv dx			x		x cos(ln x) xsin(ln x) cos(ln x)dx	.
					v x

Пусть cos(ln x)dx I , тогда получаем уравнение вида:

I x cos(ln x) x sin(ln x) I

2I x(cos(ln x) sin(ln x))

I 2x (cos(ln x) sin(ln x)) .

Ответ: cos(ln x)dx 2x (cos(ln x) sin(ln x)) C .

Примеры для самостоятельного решения

1. x sin 3xdx

2. lnx2x dx

3. arctgxdx

4. arcsin x dx

x 1

5. ln x2 1 dx

1

6. x arccosx dx

7. x2 1 e 2 x dx

8. 3x 7 x dx

9. e x cos 2x dx

x cos x

10. sin 3 x dx

11. arctgxdx

12. x arcsin xdx

13. x arctg xdx

14. 25x sin 25xdx

arcsin x

15. x 2 dx

16.x 2 sin xdx

17.x cos2 xdx

18.arccosxdx

19.x ln x 1 dx

20.xarctgx dx

x21

21. cos2 ln x dx

22.

ln

2 x

dx

x3

3x 5 e

x

dx

23.

2

24.

2x2 4 5 x dx

25.

e3x sin xdx

26.

sin ln x dx

27.

arctg

x

dx

x

28.

eax cosbxdx

ln x

29. x 1 2 dx

94

arctg

dx

30.

2x 1

Ответы

1.

1

x cos3x

1

sin 3x C ;

2.

1

ln x 1 C ; 3.

xarctgx

1

ln x2

1 C ;

9

x

3

2

x ln x2 1 2x 2arctgx C ;

4. 2

x 1 arcsin x 4

1 x C ; 5.

x 2

1

1

1

2 x

1

6.

arccos

x

2 1 C ;

7.

e

x 2

x

C

;

2

x

2

2

2

3x

1

2

x

x

8.

7

x

C ; 9.

e

x sin

2 cos

C ;

5

2

2

ln 3

ln 3

x

1

ctgx C ; 11. xarctg

10.

x

x arctg x C ;

2sin2 x

2

x2

1

1

C ; 13.

x2

arctgx

x

1

arctgx C ;

12.

arcsin x

arcsin x

x

1 x2

4

4

2

2

2

2

25x 1

ln 25

14.

sin 25x cos 25x C ;

625 ln2 25

25

15.

arcsin x

1

ln

1 x 2

1

C

; 16. x2

cosx 2x sin x 2 cos x C ;

x

2

1 x 2

1

1

2

1

17.

x

x sin 2x

cos 2x C ;

18. x arccosx

1 x2

C ;

4

2

19.

x 2

ln x 1

1

x 2

1

x

1

ln

x 1

C ;

2

4

2

2

x

cos 2 ln x 2sin 2 ln x C ;

20.

1 x2 arctgx ln

x

x2 1

C ; 21.

5

2

ln 2

x 4 ln x 8 C ; 23.

2e

x

3x 11 C ;

22.

2

x

2 5 x

2x

2

e3x

3sin x cos x C ;

24.

x2

2

C ; 25.

ln 5

ln 5

ln2 5

10

x

sin ln x

cos ln x C ; 27.

26.

2

xarctg

x ln

x 1

C ;

2

ax

a

b e

sin bx

cos bx

ln x

28.

b

C ; 29.

ln x ln

x 1

C ;

a2 b2

x

1

30. x arctg 2x 1 12 2x 1 C .

95

§ 5. Интегрирование рациональных дробей

Разложение рациональной дроби на сумму простых дробей

Определение 1. Рациональной дробью называется отношение двух многочленов:

P (x)		c	0	xm c xm 1	... c	m
m				1
Qn (x)		b0 xn b1xn 1			... bn

Определение 2. Рациональная дробь называется правильной, если m < n. В противном случае (если m n) она называется неправильной.

Определение 3. Простыми рациональными дробями называются дроби следующих четырех типов:

A

(A, a

const, A, a R) ,

I .

x a

A

( A, a, k const, A, a R, k N , k

2) ,

II.

(x a)k

Mx F

(M , F, p, q const, p2 4q

0, M , F, p, q R)

III.

,

x2 px q

Mx F

(M , F, p, q, k const, p2

4q 0, M , f , p, q R, k N, k 2)

IV.

(x2 px q)k

Теорема 1. Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы целой части (многочлена) и правильной рациональной дроби.

Теорема 2. Любую правильную рациональную дробь можно единственным образом представить в виде суммы конечного числа простых рациональных дробей.

Pm (x)

Разложение правильной рациональной дроби Qn (x) (m<n) на сумму простых

дробей можно выполнить по следующей схеме:

Найти корни многочлена Qn(x) и представить его в виде произведения простых множителей:

Q (x) b (x a )ki1

....(x a

)kr (x2

p x q )l1

.... (x2

p

x q

)ls

,

n

0

1

r

1

1

s

s

где ai a j ,

1 i, j r

p 2

4q 0, ( p ;q ) ( p ;q

j

)

,

1 i; j S

i

i

i i

i

ki N ,

1 i r

li N ,

1 i S

Записать разложение дроби с неопределѐнными коэффициентами:

Pm (x)

A11

...

A1k1

...

Ar1

...

Ark r

M n x F11

Qn (x)

(x a )k1

(x a1)

(x a

r

)k2

(x ar )

(x2 p x q )l1

1

1

1

96

M1l

x F1l

M

s1

x F

M sl

s

x Fsl

s

1

1

...

s1

...

(x2 p1x q1)

(x2 ps x qs )ls

(x2 ps x qs )

Определить коэффициенты

A11,...Ark2 , M11,...M sls , F11,...Fsls ,

суммарное число которых равно n, методом неопределѐнных коэффициентов. Для этого необходимо всѐ разложение привести к общему знаменателю и приравнять числитель полученной дроби к Pm(x). Приравнивая в этих многочленах коэффициенты при одинаковых степенях x, получим систему из n линейных уравнений с n неизвестными. Эта система имеет единственное решение – искомые коэффициенты.

Интегрирование простых дробей

Задача интегрирования рациональной дроби сводится к интегрированию простых дробей четырѐх типов.

I тип.

II тип.

(k

III тип.

A

dx A

d(x a)

A ln | x a | C

x a

x a

A

dx A

d(x a)

A (x a) k d(x a)

A(x a) k 1

C

A

C

(x a)

k

(x a)

k

k 1

(k 1)(x a)

k 1

N, k 2)

Замена

Mx F

Mx F

dx

p

dx

x

t

X

2

px q

p

2

p2

2

x

q

p

2

4

x t

2

; dx

dt

p

M t

F

Mt

p

dt

2

dt

dt F M

p2

p2

2

p 2

t 2

q

t 2

q

t 2

q

4

4

4

p

2

d t 2

q

p

M

4

F

M

t

2

arctg

2

2

p

p

2

p

2

t 2 q

q

q

4

4

4

97

M

p

2

F M

p

t

2

ln

t 2

q

arctg

C

2

4

p

2

p

2

q

q

4

4

F M

p

x

p

M

ln | x2

px q |

2

arctg

2

C

2

q

p 2

q

p2

4

4

Интегрирование дроби IV типа проводится аналогично интегрированию дроби III типа.

Итак, любая рациональная дробь интегрируема. Для этого необходимо выполнить следующие шаги:

1) Выделить целую часть дроби, если дробь является неправильной, т.е. представить в виде:

Pm (x) Tm n (x) Qn (x)

где Tm–n(x) и Rr(x) – многочлены степени r < n).

Rr (x) Qn (x) ,

m–n и r соответственно (причѐм

2) Разложить правильную рациональную дробь

дробей.

Rr (x) на сумму простых

Qn (x)

3) Вычислить интегралы от многочлена Tm–n(x) и каждой из простых дробей, полученных на шаге 2).

Примеры с решениями

x4 1

Пример 1. Найти интеграл x3 x2 dx

Решение.

x4 1

1) Дробь x3 x2 – неправильная рациональная дробь. Выделим еѐ целую часть:

		x4 1				|	x3	x2
		x	4	x	3
							x 1

x3 1

x3 x2

x2 1

Поэтому можно записать:

x4 1				x 1	x2 1
									.
x	3	x	2		x	3	x	2

98