ГЛАВА-1-06.13

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Российский химико-технологический университет имени Д. И. Менделеева

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ И ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

(ПРИМЕРЫ И ЗАДАЧИ)

Утверждено Редакционным советом университета в качестве учебного пособия

Москва

2013

УДК 517 (075) ББК 22.161.1 Д50

Авторы: Е. Г. Рудаковская, О. В. Аверина, C. М. Воронов, Т. Н. Старшова, Т. В. Хлынова, Т. В. Ригер

Рецензенты:

Доктор физико-математических наук, профессор Российского химикотехнологического университета имени Д. И. Менделеева

В. М. Аристов

Доктор технических наук, профессор Российского химико-технологического университета имени Д. И. Менделеева

Л. С. Гордеев

Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной пере-

Д50 менной (примеры и задачи): учеб. пособие / Е. Г. Рудаковская, О. В. Аверина, С. М. Воронов, Т. Н. Старшова, Т. В. Хлынова, Т. В. Ригер; под ред. Е. Г. Рудаковской. – М. : РХТУ им. Д. И. Менделеева, 2013. – 132 с.

ISBN 978-5-7237-1114-3

Пособие представляет курс практических занятий по математическому анализу, проводимых кафедрой высшей математики РХТУ им. Д. И. Менделеева.

Охватывает следующие разделы курса математического анализа: теория пределов, дифференциальное исчисление функций одной переменной, интегральное исчисление функций одной переменной. В каждом параграфе изложены теоретические основы, необходимые для решения практических задач, примеры с подобранным решением, задачи для самостоятельного решения с ответами. Большое внимание уделено разбору примеров по изучаемым темам, имеющим прикладное значение для других дисциплин.

Предназначено для студентов I курса всех факультетов и колледжей РХТУ им. Д. И. Менделеева.

УДК 517 (075)

ББК 22.161.1

ISBN 978-5-7237-1114-3	© Российский химико-технологический
	университет им. Д. И. Менделеева, 2013

2

Оглавление

Глава 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной….………4

§1. Предел функции. Вычисление предела функции с помощью алгебраических преобразований…………………………………………………………..……….4

§2. Вычисление предела функции с использованием замечательных пределов………………………………………………………………………....10

§3. Производная функции одной переменной (определение, геометрический смысл)…………………………………………………..………………………..13

§4. Дифференцирование по формулам, правила дифференцирования

……………………………………………………………..………………..……19

§5. Производная сложной функции………………………………………..….23

§6. Дифференцирование функций, заданных неявно…………………..…….27 §7. Дифференцирование функций, заданных параметрически………….…..33

§8. Дифференциал функции……………………………………………..…….37

§9. Производные и дифференциалы высших порядков…………………..….42 §10. Раскрытие неопределѐнностей. Правило Лопиталя……………..………49

§11. Возрастание и убывание функции. Экстремумы функции…………..…56

§12. Наименьшее и наибольшее значение функции, непрерывной на отрезке……………………………………………………………………......61

§13. Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба………...65

§14. Асимптоты графика функции………………………………………….…68

§15. Исследование функции и построение еѐ графика…………………..…...71

Глава 2. Интегральное исчисление функции одной переменной .................…..79

§1. Первообразная функция и неопределенный интеграл......................…….79 §2. Интегрирование посредством разложения подынтегральной функции на слагаемые…………………………………………………………….………85 §3. Интегрирование подстановкой …………………………………….……...87 §4. Интегрирование по частям……………………………………..…………..90 §5. Интегрирование рациональных дробей………………………………..….96 §6. Интегрирование тригонометрических выражений…………………..….102 §7. Интегрирование некоторых видов иррациональных выражений….…...107

§8. Определѐнный интеграл……………………..…………………………....112 §9. Приложения определенного интеграла……………………..……….......118

§10. Несобственные интегралы…………………………..……………….......126

3

ГЛАВА 1. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§1. Предел функции. Вычисление предела функции с помощью алгебраических преобразований

Пусть функция		y f (x) определена в некоторой окрестности точке x0 ,
кроме, быть может, самой точки x0 .
Определение	1.	Число A называется	пределом (по Коши) функции
y f (x) в точке	x0	(или при x x0 ), если	для любого числа > 0 найдѐтся

отвечающее ему положительное число такое, что для всех значений,

удовлетворяющих

условию

0

x x0

δ ,

справедливо

неравенство:

f (x) A

ε . При этом записывают:

lim f (x) A(или f (x) А при x x0 ).

x x0

Примеры с решениями

Пример 1. Используя определения, доказать, что функция

f (x) 3x 1

в

точке x 2 имеет предел, равный 5, т.е. lim(3x 1) 5 .

x 2

Решение. Возьмѐм любое >0 . Задача состоит в том, чтобы для этого

найти такое > 0,

при котором из неравенства

0

x 2

δ

следовало бы

неравенство

(3x 1) 5

ε .

Преобразуя

последнее неравенство, получаем

3(x 2)

ε , или

x 2

. Отсюда видно, если взять ,

то для всех x ,

3

3

удовлетворяющих неравенству

x 2

δ , выполняется требуемое неравенство

f (x) 5

ε . Это и означает, что lim(3x 1) 5 .

x 2

Предел функции на бесконечности

Определение 2.

Число

A называется

пределом функции

y f (x) при

x ( x или x ), если для любого положительного числа ε существует отвечающее ему положительное число M такое, что для всех x ,

удовлетворяющих неравенству						x		M	( x M или	x M ), выполняется
неравенство:		f (x) A		ε .
При этом записывают:
lim f (x) A (lim f (x) A или lim f (x) A).
x				x					x

4

Односторонние пределы

Бывают случаи, когда способ

приближения аргумента

x к x0

существенно влияет на значение предела функции. Поэтому вводят понятие

односторонних пределов.

Определение 3. Число A называется правым (левым) пределом функции

y f (x) в точке

x , если для любого положительного числа ε существует

отвечающее

ему

положительное число δ

такое, что при

x (x0 ; x0 δ)

(x (x0

δ; x0 )) x0

, выполняется неравенство:

f (x) A

.

При этом записывают:

lim

f (x) A для правогопредела ,

lim

f (x) A для левого предела.

x x0 0

x x0 0

Свойства конечных пределов

Пусть существуют конечные пределы

lim

f (x) A, lim g(x) B, тогда

x x0

x x0

справедливы следующие равенства:

1.

lim

( f (x) g(x))

lim

f (x) lim

g(x) A B;

x x0

x x0

x x0

2.

lim

(C f (x)) C

lim

f (x) C A, где C const

x x0

x x0

3.

lim

( f (x) g(x))

lim f (x)

lim g(x) AB;

x x0

x x0

x x0

f (x)

lim

f (x)

A

4.

lim

x x0

, где B 0;

x x0

g(x)

lim g(x)

B

x x0

5.

lim

( f (x))k

( lim

f (x))k ,

где k R;

x x0

x x0

6. lim ( f (x)) ( lim

f (x)), если непрерывная функция.

x x

0

x x0

При вычислении пределов функций можно использовать понятие

эквивалентности.

Определение

4.

Если

в некоторой окрестности точки x0

определены

функции

f (x)

,

g(x)

,

h(x)

такие,

что,

f (x) g(x) h(x)

lim h(x) 1

,

то функции

, x x0

f (x)

и g(x)

называются эквивалентами при x x0 .

При этом записывают: f (x) ~ g(x) .

Примеры эквивалентных функций при x 0 :

sin x ~ x

arcsin x ~ x

ex

1 ~ x

tgx~x

arctgx~x

ln(1 x) ~ x

5

Некоторые методы вычисления пределов

1. Случай отсутствия неопределѐнности

Если при подстановке предельного значения аргумента в функцию получается определѐнное число, то оно и является значением предела.

Пример 2. Вычислить предел:

lim (3x2 5x 2)

x 1

Решение. lim (3x2 5x 2) 3 1 5 1 2 6

x 1

Ответ: 6.

Пример 3. Вычислить предел:

lim

1 sin x

x 1 cos2x

2

1 sin(

Решение.

lim

1 sin x

2 )

1 1

1

1 cos 2x

1 cos(

2

1 ( 1)

x 2

)

2

Ответ: 1.

Пример 4. Вычислить предел:

lim

x2 2x

x2 4x 4

x 2

Решение.

lim

x2 2x

4 4

8

x

2

x 2

4x 4

4

8 4 0

Ответ: .

Если в результате формальной подстановки в функцию предельного значения аргумента предел переходит в выражение типа:

0 , , 0 , 1 , 00 , 0 ,

0

то говорят, что под знаком предела неопределѐнность.

В этом случае нужно раскрыть неопределѐнность: тождественными преобразованиями «убирают» неопределѐнность, если это возможно, и вычисляют предел.

0

2. Случай неопределѐнности вида 0

	lim	f (x)		0
Если в пределе			приходим к неопределѐнности вида			, то
		g(x)
	x x0		0

необходимо в числителе и знаменателе дроби выделить сомножитель (x x0 ), сократить на него и вычислить предел.

6

Пример 5. Вычислить предел:
lim	5x2	13x 6
	3x2	2x 8
x 2
		0
Решение. Имеем неопределѐнность вида					. Для еѐ раскрытия разложим
		0

числитель и знаменатель дроби на множители и сократим на общий множитель

(x 2) (вспомним, что

ax2 bx c a(x x )( x x

2

) , где

x , x

2

– корни

1

1

уравнения ax2 bx c 0 ).

lim

5x2

13x 6

0

lim

(x 2)(5x 3)

lim

5x 3

7

0, 7

2

x 2 3x

2x 8

x 2 (x 2)(3x 4)

x 2

3x 4

10

0

Ответ: 0,7.

0

Раскрытие неопределѐнности вида

с иррациональностями

0

Рассмотрим на примере.

Пример 6. Вычислить предел:

lim

x 1 3

x 10

x 10

0

Решение. Имеем

неопределѐнность

вида

.

Домножим

числитель и

0

знаменатель дроби, предел которой мы ищем, на выражение x 1 3 , сопряжѐнное числителю.

lim

x 1 3

0

lim

(

x 1 3)(

x 1 3)

x 10

(x

10)(

x 1 3)

x 10

0

x 10

lim

x 10

lim

1

1

1

3 3

x 10

(x 10)(

x 1 3)

x 10

x 1 3

6

Ответ: 16 .

Для пределов подобного вида способ домножения на сопряжѐнное выражение является типичным.

3. Случай неопределѐнности вида

Для раскрытия исходной неопределѐнности нужно разделить числитель и знаменатель дроби на переменную x в наибольшей степени, которая входит в данную дробь, учитывая, что величина обратная бесконечно большой есть бесконечно малая величина.

7

Пример 7. Вычислить предел:

lim	6x4	2x3 5
x 7x4 3x2 7x
Решение. Имеем неопределѐнность		вида			. Разделим числитель и

знаменатель дроби на x 4 .

lim

x

6x4 2x3 5
7x		3x	2	7x
	4
					6		2				5
		lim					x				x4
		x			7		3				7
							x2					x3

					6x4					2x3					5
lim					x4						x4				x4
					7x4					3x2					7x
	x
					x4						x4				x4
		6	0			0						6
	7		0			0					7

Ответ: 76 .

В общем случае можно использовать правило:

m

m 1

, m n

Pm (x)

am x

am 1 x

a0

lim

lim

0, m n

n

x x0 Qn (x)

bn x

bn 1 x

n 1

b0

x x0

am

, m n

b

4. Случай неопределѐнностей вида: 0 ,

n

0

Эти неопределѐнности сводятся к неопределѐнностям вида , 0

одним из следующих способов:

а) приведение дробей к общему знаменателю, б) преобразование функции к виду дроби,

в) избавление от иррациональности (домножение на сопряжѐнное выражение числителя и знаменателя дроби).

Пример 8. Вычислить предел:

lim ( x2

x

Решение.

		x) lim
lim (	x2 4x
x		x

4x x)

( x2 4x x)(x2 4x x) ( x2 4x x)

8

lim

x2

4x x2

lim

4x

lim

x

4x x

x

4x x

x

2

x

2

x

lim

4

4

2

x

1

4

1

1 1

x

Ответ: 2.

4x

x2 4xx2 xxx2

Примеры для самостоятельного решения

Вычислить пределы:

1.1. lim

x2

5

1.2. lim

(x2 5x 2)

x 4

3x

4

x 4

1.3. lim

x2

49

1.4. lim

x2

5x 6

x

7

x 3

x 7

x 3

1.5. lim

2x2 x 1

1.6. lim

x2

14 x 32

2 5x 3

x2 6x 8

x

1

2x

x 2

2

1.7. lim

(1 x)3 (1 3x)

1.8. lim

x2 1

x2 3x3

2 x 1

x 0

x 1 2x

1.9. lim

x3

x2 3x 3

1.10. lim

8x2 1

x 1 2x3 2x2 x 1

x

1

6x2 5x 1

2

1.11. lim

1 2x 3

1.12. lim

x 25 5

x 4

x2 2x

x

4

x 0

1.13. lim

x 13 2 x 1

1.14. lim

2x 3 3

x2 9

x 2 1

x 3

x 3

1.15. lim

3 1 x 3 3x 1

1.16. lim

3 x 6 2

6x

x3 8

x 0

x 2

1.17. lim

x2 3x 1

1.18. lim

5x3 4x 8

x 2x2 4

x 8x2 6x3 1

1.19.

lim

6x4 8x 3

1.20. lim

5x3 7x

4x2 5x

x

x 2 6x5

2

1)

50

(x 2)

5

1.21.

lim

(x

1.22.lim

1

5 3x2 4

x (x 1)100

x

4x

9

						6x(x2 8)
1.23. lim		2x2	3x		1.24. lim
						5x2 7
x 3 x3 2x2					x

					2x2 6x 4
1.25. lim																									1.26. lim							4 16x8 2x 1
		x							9x4 8																													x2 8
																														x
								1										4																			x3
1.27. lim																									1.28. lim																x
						x		2								2
		x 2													x			4																				3
																														x x							2
1.29.			lim						x	2															1.30.					lim								x	2			2x 2										x		2		2x
												5 x																																															3
		x																												x
1.31.			lim						9x			2	1												1.32.					lim								x	2			4						x		2
																		3x																																	3x 1
		x																												x
1.33.			lim										x		2	x									1.34.					lim							1 x					2
						x																	1																						x
		x																												x
1.35.			lim							x2 5x															1.36.					lim								x2 3x
		x 5 0 x2 10 x 25																												x 3 0 x2 6x 9
1.37.			lim							x2 5x															1.38.					lim								x2 3x
		x 5 0 x2 10 x 25																												x 3 0 x2 6x 9
																													Ответы
1.1.	21		. 1.2. – 2. 1.3. 14. 1.4. 1. 1.5.																									3	. 1.6. –9. 1.7. 3. 1.8.																			2		. 1.9.					4		. 1.10. 6.
																											7																				3							3
8
1.11.		1	. 1.12.					1				1.13.								1			1.14.		2		. 1.15.						1		. 1.16.									1		. 1.17.						1		. 1.18.					5		. 1.19. ∞.
		3						20												16					3						9											144										2							6

1.20. 0. 1.21. 1. 1.22. 14 . 1.23. 2 . 1.24. ∞. 1.25. 23 . 1.26. 2. 1.27. 14 . 1.28. 0.

1.29. 0. 1.30. 2. 1.31. 0. 1.32. 1,5. 1.33. –∞. 1.34. +∞. 1.35. +∞. 1.36. +∞. 1.37. –∞. 1.38. –∞.

§2. Вычисление предела функции с использованием замечательных пределов

Первым замечательным пределом называется предел вида:

lim sin x 1.

x 0 x

Примеры с решениями Пример 1. Вычислить предел:

lim sin ax 1

x 0 x

10