Lektsii_po_algebre_i_geometrii_Chast1_3
.pdf1) для x, y Y , x y Y |
(т.е. Y вместе с любыми двумя своими элементами содержит их |
произведение); |
|
2) для x Y , x−1 Y (т.е. |
Y вместе с каждым элементом содержит и обратный для него). |
Теперь мы рассмотрим некоторые бинарные алгебры с двумя заданными операциями. Определение. Алгебра (Х, · , + ) с двумя бинарными операциями называется кольцом, если
(Х,+) образует коммутативную группу, (Х, · ) – образует полугруппу и операция умножения “·” является дистрибутивной относительно операции сложения “+“, т.е. выполняются условия:
(x + y) z = x z + y z , и x ( y + z) = x y + x z .
Замечание. Порядок выполнения операций в алгебре (Х, · , + ) определяется с помощью скобок, однако принято считать, что при отсутствии таковых операция “·” имеет приоритетное значение по сравнению с операцией “+“.
Пример 6. Рассмотрим группу ({а}, · ) из примера 2, тогда, если мы определим операцию “+”, в {а}, полагая а + а = а · а, то получим алгебру ({а},+ , · ) – одноэлементное кольцо.
Пример 7. Множество целых чисел, с обычными операциями сложения и умножения (Z, + , · ) – является кольцом.
Пример 7. Положим Kf - множество всех числовых функций из множества Х в R . Определим сумму функций f + g = γ Kf следующим образом: γ(x) = (f+g)(x)= f (x)+g(x); и произведение
функций f · g= λ K f : λ(x) = (f · g)(x)=f(x) · g(x) для каждого x X.
Тогда алгебра (К, + , · ) является кольцом.
Действительно, определим нулевую функцию 0(х)=0 для x X , тогда она является
нейтральным элементом в множестве Kf |
относительно операции“+“. ; для любой функции f Kf |
функция (-f), определяемая: для x X, |
(-f)(x) = - f(x) – обратная относительно операции “+”, |
следовательно (Kf, + ) – коммутативная группа. Ассоциативность операции “·” и дистрибутивность её относительно “+” следуют из свойств сложения и умножения в R.
Определение. Алгебру (P, + , · ) называют полем, если выполняются следующие условия:
1)(P,+, · ) - кольцо.
2)(P\{o},· ) - является коммутативной группой, где 0 – это нейтральный элемент относительно операции “+”. Нейтральный элемент в поле (или кольце) относительно операции “·” обозначают 1 и называют единицей поля (кольца), а 0 – нулём поля (кольца).
Примерами полей могут служить: поле действительных чисел, а также поле (Q ,+, ·) – рациональных чисел. Заметим, что кольцо (Z, + , · ) не является полем.
Приведём некоторые свойства колец и полей.
Пусть (К,+, · ) – произвольное кольцо, тогда справедливы следующие равенства:
1) a · 0=0 · a=0 для а К.
Доказательство. a·0=a·(0+0)=a·0+a·0. Прибавим к обеим частям равенства -(а·0) – обратный для (а·0) по отношению к операции “+”, тогда, используя ассоциативность, получим:0=a·0+0=a·0, аналогично 0·a=(0+0)·a=0·a+0·a, и прибавляя к обеим частям -(0·а) получим 0=0·a+0, и следовательно 0=0·a.
2) -(a·в)=(-a)·в=a(-в) для а, в К.
Доказательство. Докажем, что -(a·в)=(-a)в. Действительно, в силу дистрибутивности (-a)·в+a·в=((-a)+a) ·в=0·в=0 по свойству 1, и следовательно (-a)·в=-(a·в) в силу единственности обратного элемента для a·в. Аналогично доказывается, что –(a ·в)=a ·(-в).
3) Определим разность элементов a-в следующим образом: a-в=a+(-в). Тогда, для а,в,с К справедливо равенство: (a-в)·c=a·c-в·c.
Действительно, (a-в)·c=(a+(-в)) ·c=a·c+(-в)·c=a·c+(-(в·c))=a·c-в·c.
Исключительно важную роль в современной математике играют булевы алгебры. Определение. Бинарная алгебра (В, + , · ) называется булевой алгеброй, если выполняются
следующие условия:
1)Операции “+”, “·” - коммутативны: для a,в B, a+в = в+a, a ·в = в ·a.
2)Операции дистрибутивны относительно друг друга: для a,в,c B (a+в)·c = a·c+в·c,
(a ·в)+c = (a+c)·(в+c).
3)! 0 B такой, что a+0 = a для a B;
! 1 B такой, что a ·1 = a для a B; - условие существования и единственности нулевого и единичного элементов.
4) Для ( a B) ( ! а′ B) такой, что a · а′=0 ; a+ а′ =1 (закон исключённого третьего). Пример 8. Пусть Х – непустое множество. Обозначим 2Х - множество всех подмножеств множества Х. Тогда алгебра (2Х , ,∩) является булевой. Здесь в роли операции “+”
рассматривается операция объединения, а в роли операции “·” – операция пересечения двух множеств. Тогда нулём служит пустое множество, единицей – само множество Х, для каждого
У 2Х ,У′ = Х \ У.
Пример 9. Пусть В – множество всевозможных формул алгебры высказываний. Тогда, отождествляя равносильные формулы, мы получим булеву алгебру (B,V ,&), здесь дизъюнкция
служит операцией сложения “+”, а конъюнкция – операцией умножения “·”, роль нуля играет тождественно ложное, а роль единицы – тождественно истинное высказывания, для формулы А формула A′ совпадает с ¬A .
Более наглядно данную же алгебру представляет следующий пример.
Пример 10. Положим B={a,b}. Определим операции “+” и “·” в {a,b} следующим образом
a+a = a, |
a·в = a, |
a+в = в, |
a·a = a, |
в+a = в , |
в·a = a, |
в+в = в, |
в·в = в. |
Тогда ({a,b}, + , · ) – булева алгебра, где 0=а, 1=в, а′=в и в′=а. Определение. Пусть задана булева алгебра
(1)(B, + , · ).
Для данной булевой алгебры мы рассмотрим другую структуру
(2) ( B′, , (·)), где a в = a·в, a(·)в = a+в, и В= В′. Заметим, что алгебра (2) также является булевой алгеброй, она называется двойственной к исходной алгебре (1). Нетрудно
видеть, |
что |
′ |
=1, |
′ |
= 0 |
(где 0 |
′ |
и |
′ |
ноль и единица алгебры (2)). Заметим также, что |
|
0 |
1 |
|
1 |
- |
|||||||
алгебра |
(1) |
является |
двойственной |
для |
алгебры (2), т.е. двойственная для двойственной |
алгебры совпадает с исходной.
Отметим некоторые свойства булевых алгебр.
1.Двойственность. Если справедлива некоторая формула для произвольной булевой алгебры, то будет справедлива и двойственная ей формула, т.е. формула, которая получается из исходной заменой операции “+” на “·”, ”·” на “+”, 0 на 1, и 1 на 0. Данное свойство позволяет удваивать число формул.
2.a·a = a (а+а = а – двойственная) – идемпотентность.
Доказательство. a·a = a·a+0 = a·a+a· а′ |
= a·(a+ а′) = a·1 = a. |
|
||
3. a·0 = 0, (а + 1 = 1) – подавление. |
|
|
|
|
Доказательство. a·0 = a·0+0 = a·0+a· а′ |
= a· (0+ а′) = a· а′ =0. |
|
||
4. Ассоциативность: (a·в)·c = a·(в·c), ((a+в)+c = a+(в+c)). |
|
|||
Доказательство. |
Положим (а·в)·с = |
х , a·(в·c) = y , тогда a+x=a+(a·в)·c) = (a+a·в)·(a+c) = |
||
(a·1+a·в)·(a+c) = |
a·1·(a+c) = a·a+a·c |
= a·1+a·c = a·(1+·c) =a·1=a. Также а+y = a+a·(в·с) = |
||
а·1+а·(в·с) = а·(1+в·с) = а·1 = а, и, следовательно, a+x = a+y. |
|
|||
Заметим далее, что |
|
|
|
|
а′+x = а′+(a·в)·c = ( а′+a·в)·( а′+c) = ( а′+a)·( а′+в)·( а′+c) = ( а′+b)·( а′+c) = а′+ в·c |
||||
а′+y = а′+a·(в·c) = ( а′+a)·( а′+в·c) = а′+в·c, и таким образом а′+x = а′+y |
||||
Рассмотрим полученную систему |
a + x = a + y |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
a′+ x = a′+ y . |
а′+x) = (a+y)·( а′+y), |
|
Перемножая соответственно левые и правые части, получим: (a+x)·( |
||||
тогда a· а′+x=a· а′+y, откуда и следует, что x = y. |
|
|||
5. Обращение: |
(a·в)′= а′+ в′, ((a+в)′= а′· в′). |
|
||
Доказательство. |
( а′+ в′)·(a·в) = а′·(a·в)+ в′·(a·в) =( а′·a) ·в+( в′·в) ·a |
= 0·в+0·a =0. Заметим, |
далее, что ( а′+ в′)+(a·в) = а′+( в′+a·в)= а′+( в′+a)·( в′+в) = а′+ в′+a=( а′+a) + в′ = в′+1 = 1, тогда, в силу закона исключения третьего, а′+ в′= (a·в)′.
6.Закон поглощения: a·(a+в) = а , (a+a·в = a).
Доказательство. a·(a+в) = a·a+a·в = a·1+a·в = a· (1+в) = a
7.Склейка: (a+в)·(a+ в′) = a+в· в′= a+0 = a,
(a·в)+(a· в′) = a.
8. ( а′ )′ = а – закон двойного дополнения.
9.0′ =1,
1′ = 0 .
10.a + a′ в = а + в и а (а′+в) = а в – законы частичного поглощения.
§5. Комплексные числа
5.1. Поле комплексных чисел
Рассмотрим R2 = R×R = {(x,y)}|x,y R} - декартов квадрат множества действительных чисел R. Напомним, что упорядоченные пары считаются равными: (x1,y1)=(x2,y2) Ù [(x1=x2) (y1=y2)]. Определим в R2 операцию сложения “+” упорядоченных пар следующим образом:
(x1,y1)+(x2,y2)=(x1+x2,y1+y2).
Эта операция является ассоциативной и коммутативной в силу ассоциативности и коммутативности обычной операции сложения в множестве действительных чисел. Здесь существует нейтральный элемент (0,0)=O. Обозначим R2 = С. Отметим, что для каждого z C существует обратный (относительно операции сложения ”+”): если z = (x,y), то -(x,y) = (-x,-y)
Действительно, (x,y)+(-x,-y)=(0,0)=О. Таким образом (С, + ) – является коммутативной группой.
Введём операцию умножения “·” упорядоченных пар в множестве С полагая
(x1,y1)·(x2,y2) = (x1x2 -y1y2,x1y2+y1x2).
Заметим, что определённая таким образом операция умножения обладает следующими свойствами:
1)Коммутативность: (x1,y1)·(x2,y2)=(x2,y2)·(x1,y1) – следует из свойств умножения действительных чисел;
2)((x1,y1)·(x2,y2))·(x3,y3)=(x1,y1)·((x2,y2)·(x3,y3)) – ассоциативность. Действительно, (z1·z2)·z3 =
(x1x2-y1y2, x1y2+y1x2)·(x3,y3) = (x1x2x3-y1y2x3-x1y2y3-y1x2y3; x1y3x2-y1y2y3+x1y2x3+ y1x2x3) = (x1(x2x3-y2y3)- y1(x2y3+y2x3) = x1(y3x2+y2x3)+y1(x2x3-y2y3)) = (x1y1)(x2x3-y2y3, x2y3+y2x3) = (x1,y1)((x2,y2)(x3,y3))=z1·(z2·z3)
3) (1,0) – нейтральный элемент относительно операции “·”, так как (x,y)·(1,0) = (x,y). Будем обозначать пару (1, 0) = 1
4) Пусть (x,y)≠(0,0) – отличный от нуля элемент С. Тогда существует элемент
|
|
x |
|
|
|
− y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
− y |
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
C , |
|
и |
произведение |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
x |
|
|
,0 |
|
= (1,0)=1, |
|||||||||||||||
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||||||||
|
+ y |
x |
+ y |
|
|
|
|
+ y |
x |
+ y |
2 (x, y)= |
+ y |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
− y |
|
|
= (x, y) |
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
следовательно |
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
, и таким образом (С/{0}, · ) является коммутативной |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
+ y |
x |
+ y |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
группой.
Отметим, что операция умножения в (C, + , · ) дистрибутивна относительно сложения, т.е.
((x1,y1)+(x2,y2))(x3,y3) = (x1,y1)(x3,y3)+(x2,y2)(x3,y3) для xi,yi R, i =1,3 . Действительно:
(x1+x2, y1+y2)(x3,y3) = (x1x3+x2x3-y1y3-y2y3, x1y3+x2y3+y1x3+y2x3)((x1x3-y1y3)+(x2x3-y2y3), (x1y3+y1x3)+ (x2y3+y2x3)) = (x1,y1)(x3,y3)+(x2,y2)(x3,y3).
Значит (C, + , · ) является полем, назовем данную алгебраическую структуру полем комплексных чисел. Покажем, что в этом поле уравнение z2 = -1 имеет решение. Действительно,
если положим z=(0,1), то z2=(-1,0)=-(1,0)= -1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выделим в множестве С множество пар R′, |
у которых вторая компонента – |
нулевая, |
т.е. |
||||||||||
R′={(x,0)|x R}. Договоримся данную пару (0,1) обозначать i, т.е. i=(0,1). |
′ |
|
′ |
|
′ |
|
′ |
|
′ |
||||
Операции “+” и “·” будут определены в |
R |
′ |
, |
т.е. для z, z |
R |
|
|
|
|||||
|
|
|
z z , z + z |
|
R . |
||||||||
Действительно (x,0)+(y,0)=(x+y,0) R′, и (x,0)·(y,0) |
= |
(x·y,0). Отметим, |
что О R′, |
и 1 R′, |
|||||||||
следовательно ( R′, + , · ) является полем, в то же время - подполем поля (С, + , · ). |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим множество действительных чисел R и отображение f : f(x)=(x,0) – множества R на R′. f – является взаимнооднозначным отображением множества R на R′, причём это отображение задаёт соответствие, сохраняющееся при операциях “+” и “·“, т.е., если x -> (x,0), y -> (y,0), то x+y -> (x+y,0), и x·y -> (x·y,0), или f(x+y)=f(x)+f(y)=(x,0)+(y,0), f(x·y)=f(x)·f(y)=(x,0)·(y,0).
Такие соответствия называются изоморфизмами алгебр, и изоморфные алгебраические структуры отождествляются. Следовательно, мы можем считать, что R – подполе C, поскольку R и R′ – изоморфны. При данном изоморфизме паре (а,0) R′ соответствует а R , в частности паре (0,0) соответствует 0.
Любое комплексное число z=(a,b) можно представить следующим образом: z=(a,0)+(в,0)·(0,1). Тогда, отождествляя в силу вышесказанного пару (а,0) с действительным числом а и пару (в,0) с
действительным |
числом |
в, |
получим |
алгебраическую |
форму записи комплексного числа: |
|
z = a + в i , причём тогда |
0 i = 0 в силу свойств кольца (и непосредственно из определения |
|||||
данной операции). |
|
|
|
|
|
|
Заметим, что тот же самый результат мы можем получить, если |
поставим в соответствие |
|||||
каждому z=(а,в) |
выражение вида z′=a+в·i, и определим в множестве C′таких выражений (т.е. |
|||||
C′ ={z′ = a + в i | а, в R }) |
операции |
сложения и |
умножения |
следующим образом: |
(a+в·i)+(c+d·i)=(a+c)+(в+d)·i; (a+в·i)·(c+d·i)=(ac-вd)+(ad+вc) ·I . В таком случае, мы получим поле ( C′, + , · ), изоморфное полю (С, + , · ) в силу определения операций в C′.
Запись комплексного числа в алгебраической форме позволяет нам пользоваться всеми свойствами операций + и · в множестве R действительных чисел (коммутативностью, ассоциативностью, дистрибутивностью и т.д.). Таким образом, например, при умножении комплексных чисел в алгебраической форме, мы можем действовать привычным для нас образом:
если |
z = a + в i |
|
и |
z |
2 |
= c + d i , |
то, отождествляя i2 = −1 + 0 i = −1, |
получаем |
||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
z z |
2 |
= (a + в i) (c + d i) = ac + ad i + bc i + bd i2 = ac − bd + (ad + bc) i . |
|
При |
делении |
|||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z1 |
|
a + b i |
|
||||
комплексных чисел в алгебраической форме поступают следующим образом: |
= |
= |
||||||||||||||||
z2 |
|
|||||||||||||||||
|
(a + b i)(c − d i) |
|
|
ac + bd + (bc − ad ) i |
= ac + bd + |
(bc − ad ) |
|
|
c + d i |
|||||||||
= |
|
= |
i . |
|
|
|
|
|
||||||||||
(c + d i)(c − d i) |
|
c2 + d 2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
c2 + d 2 |
c2 + d 2 |
|
|
|
|
|
5.2. Геометрическая интерпретация поля комплексных чисел.
У
М(х,у)
γ
О
Х Х
Рассмотрим прямоугольную декартову систему координат на плоскости ХОY. Тогда каждому комплексному числу z = x + y i мы можем поставить в соответствие точку плоскости М(x,y) c
данными координатами. Заметим, что установленное таким образом соответствие между комплексными числами и точками плоскости является взаимнооднозначным. Существует взаимнооднозначное соответствие между точками плоскости и радиус-векторами данных точек
(точке М соответствует вектор ОМ ), и таким образом устанавливается взаимнооднозначное соответствие между комплексными числами и радиус-векторами точек плоскости, соответствующих данным числам. При данном соответствии множеству R действительных чисел соответствует множество точек оси ОХ.
Каждый вектор ОМ характеризуется длинной и направлением. Полагая r – длина вектора, а γ - угол, образуемый данным вектором ОМ с положительным направлением оси ОХ,
(отсчитываемый против часовой стрелки), мы получим полярную систему координат на плоскости, когда каждой точке плоскости М с координатами (х,у) (и, соответственно, радиус-
вектору ОМ данной точки), соответствует упорядоченная пара действительных чисел ( r,γ ), причем декартовы координаты точки связаны с полярными следующим образом: x = r cosγ , y = r sinγ .
Таким образом, |
используя полярную |
систему |
координат, |
каждое |
комплексное число |
||||||||||||
z = x + y i |
мы |
|
можем |
|
представить |
|
следующим |
|
|
образом: |
|||||||
z = x + y i = r cosγ |
+ (r sinγ ) i = r(cosγ +i sinγ ) . Данное |
представление называется |
|||||||||||||||
тригонометрической формой комплексного числа. При этом длина вектора |
|
|
|
|
|
|
, |
||||||||||
|
|
|
|
|
ОМ |
||||||||||||
соответствующего числу |
z , |
называется модулем комплексного числа z и обозначается |
|
|
z |
|
, а угол |
||||||||||
|
|
||||||||||||||||
γ - аргументом числа |
z , |
и обозначается |
Argz . |
Отметим, что модуль комплексного числа |
|||||||||||||
определен однозначно, и |
z = х2 + у2 |
, а аргументынет, они отличаются друг от друга на 2πk , |
|||||||||||||||
где k - любое целое число, |
т.е. если |
γ = Argz , то |
γ + 2πk |
также будет аргументом z . Если |
|||||||||||||
−π < Argz ≤ π , |
то |
он |
обозначается |
arg z , и называется |
главным |
значением |
аргумента |
||||||||||
комплексного числа z. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.3. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме
Пусть z1 = x1+i·y1= r1· (cosγ1 + i ·sinγ1 ); z2 = x2+i·y2= r2· (cosγ2 + i ·sinγ2 ).
Тогда z1·z2=r1·r2(cosγ1·cosγ2+i·(sinγ2·cosγ1+cosγ2·sinγ1)+i·i·sinγ1sinγ2)=r1·r2(cos(γ1+γ2)+i·sin(γ1+γ2)).
Таким образом, при умножении двух комплексных чисел в тригонометрической форме, их модули перемножаются, а аргументы складываются. Данное свойство распространяется на произведение любого конечного числа комплексных чисел, и позволяет легко находить степень комплексного
числа zn при n N . |
|
|
|
|
|
zn=rn ·(cosnγ + i· sinnγ); это |
|||||||||||||
|
|
|
|
Если z=r·(cosγ + i· sinγ), то из выше сказанного следует, что |
|||||||||||||||
равенство называется формулой Муавра. Введём в С |
операцию деления на ненулевые элементы, |
||||||||||||||||||
полагая |
|
|
z1 |
= z1 z 2−1 , |
тогда, поскольку |
1=1·(cos0 |
+ |
i·sin0) |
и |
z2=r2·(cosγ2+i·sinγ2), |
и |
то |
|||||||
|
|
z 2 |
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z |
−1 |
= |
|
|
(cos(-γ ) +i·sin(-γ )) в силу единственности обратного элемента для данного в группе, и |
|||||||||||||
|
2 |
|
|
r1 |
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
z1 |
|
= |
r1 |
|
(cos(γ1 - γ2) |
+ i·sin(γ1 - γ2)), |
таким образом, |
при |
делении комплексных |
чисел |
в |
|||||||
|
z |
2 |
|
r |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
тригонометрической форме, модуль первого делится на модуль второго, а аргумент второго вычитается из аргумента первого.
|
|
|
Далее мы рассмотрим вопрос извлечения корня n-й степени из комплексного числа z при |
|||||||||||||||
n N . |
Мы будем полагать z′ = n z , |
если справедливо равенство (z′)n |
= z . Если число z в |
|||||||||||||||
тригонометрической форме имеет вид |
z = r (cosγ + i sin γ ) |
и |
z′ = r′ (cosγ ′+i sin γ ′), то по |
|||||||||||||||
формуле |
Муавра |
(r′)n (cos n γ ′+i sin n γ ′)= r (cosγ +i sin γ ), |
откуда, в силу |
|||||||||||||||
единственности представления, |
|
(r′)n = r , cos n γ ′ = cosγ , |
sin n γ ′ = sin γ , следовательно, |
|||||||||||||||
r′ = n r , и n γ′ = γ + 2πk , k Z , отсюда |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
γ + 2πk |
|
|
n |
|
n |
|
γ + π |
|
γ |
+ 2πk |
|
|
|||
γ |
′ |
= |
|
n |
|
, и таким образом, |
z = |
r (cos |
2 k |
+i sin |
),где k=0,…,n-1. |
|||||||
|
|
|
|
n |
|
n |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Действительно, заметим, что (n z)k=n =(n z)k=0 , (n z )k =n+1 =(n z )k =1 ,…, (n z )k =2 n−1 =(n z )k =n−1 , и т.д.
Таким образом, придавая k значения от 0 до n-1, мы получим n различных корней, которые геометрически будут лежать на окружности радиуса r′ = n r , и отличаться каждый от соседнего
на угол 2nπ . При всех остальных целых k мы будем попадать в эти уже построенные точки.
5.4. Комплексно-сопряженные числа
Если z = x + y i – комплексное число, то число z = x − y i =x называют сопряжённым
для z.
Отметим некоторые свойства сопряжённых чисел:
1)z = z ;
2)комплексные числа z и z расположены симметрично относительно оси ОХ;
3)arg z = −arg z ;
4)z z = z 2 ;
5)z1 ± z2 = z1 ± z2 ;
6)z1 z2 = z1 z2 ;
7)z1 = z1 . z2 z2
Доказательство данных свойств не представляет затруднений и носит технический характер.
5.5. Корни из единицы
Поскольку
1 =1(cos0 +isin 0) , то для любого n N
n |
|
n |
|
0 + πκ |
|
0 + |
πκ |
|
|
|
1 = |
|
1(cos |
2 |
|
+isin |
2 |
), где |
|
|
|
n |
|
n |
|
||||
κ = 0,n −1 |
|
- все корни из единицы, т.е. ε j = (n 1)k = j−1 , j =1,2,..., n . |
|||||||
|
Пусть ε1,ε2,...,εn |
Заметим, что данные корни лежат на окружности единичного радиуса и делят её на п равных частей. Отсюда следует, что все эти корни можно разбить на пары сопряжённых чисел.
Отметим также, что для любого комплексного числа z все его корни n-ой степени могут быть получены при умножении любого одного из его корней z′ = n z на все корни n-й степени из единицы: ε1,...,εn . Действительно, из вышесказанного следует, что корни из единицы ε1,...,εn
лежат на окружности единичного радиуса через угол 2nπ , и, следовательно, произведение
выбранного корня z′ на них также даст нам такое же расположение полученных чисел, только на окружности радиусом n r , где r = z . Таким образом, мы получаем п различных комплексных
чисел. Заметим, что все эти произведения являются корнями п-й степени из z, поскольку
(z′ ε j )n = (z′)n ε nj = z 1 = z .
Отметим, что все корни п-й степени из z, также как и корни из единицы, разбиваются на пары сопряжённых чисел.
5.6. Показательная форма комплексного числа.
Рассмотрим комплексное число z в тригонометрической форме z = r (cosγ + i sin γ ) и
обозначим еiγ = (cosγ + i sin γ ). Тогда число z можно записать в виде: z = rеiγ , данный вид
называется показательной формой комплексного числа z. Исходя из свойств операций умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме, мы получим справедливость
следующих равенств: zn = rn еi(nγ ) ; если z |
= r еiγ1 |
и |
z |
2 |
= r еiγ2 |
, то z |
z |
2 |
= r r еi(γ1 +γ 2 ) |
, а |
|||||
z1 |
|
|
1 |
1 |
|
|
2 |
1 |
|
1 |
2 |
|
|||
= r r еi(γ1 −γ 2 ) |
, и таким образом еiγ обладает известными нам свойствами показательной |
||||||||||||||
|
|||||||||||||||
z2 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
функции. Отметим также, что корни из комплексного числа z в показательной форме имеют вид:
γ +2πк
n z = n r е n , где k=0,…,n-1.
ГЛАВА 2
СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.
§6. Определители и их свойства.
6.1. Определители второго и третьего порядков.
Рассмотрим систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными
a1x + a2 y = c1b1x + b2 y = c2
где ai , bi и сi элементы некоторого поля (P, +, · ). Договоримся элементы поля Р называть в дальнейшем числами. Умножим обе части первого уравнения на b1 и вычтем из него соответствующие части второго, умноженные на a1, тогда получим равенство:
(a2b1 −a1b2 )y = b1c1 −a1c2 .
Аналогично, умножая первое уравнение на b2 и вычитая из него второе, умноженное на a2, |
|||||||||||||||||
получим равенство: |
|
(a1b2 |
− a2b1 )x = c1b2 − c2a2 . Положим a1b2 −a2b1 = ∆, тогда, если ∆ ≠ 0, то, |
||||||||||||||
если мы определим операцию деления в (P, +,·), естественным образом полагая, что |
с |
= cd −1 (при |
|||||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
= b2c1 −a2c2 |
|
y = a1c2 −b1c1 |
|
|
|
d |
|||||||||
d ≠ 0), то получим x |
, |
, где ∆ = a 1 b 2 |
− a 2 b 1 . |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
∆ |
|
|
|
|
|
|
Обозначим: c b |
2 |
− a |
2 |
c |
2 |
= ∆ |
1 |
, |
a c |
2 |
−c b = ∆ |
2 |
, тогда x = ∆1 , y = ∆2 . |
|
|
||
1 |
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
∆ |
∆ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Последние равенства называются формулами Крамера.
Решение данной системы уравнений с двумя неизвестными естественным образом приводит нас к определению матрицы и определителя второго порядка.
Определение. Квадратную таблицу, состоящую из двух строк и столбцов элементов поля Р
a |
a |
|
11 |
12 |
|
A = |
|
|
a21 |
a22 |
мы назовём квадратной матрицей второго порядка над полем Р.
Определителем квадратной матрицы А второго порядка называют число, полученное следующим образом:
A= a11a12 = a11a22 − a12a21 a21a22
Сучётом данного определения отметим, что величины ∆, ∆1 , ∆2 , участвующие в приведённых формулах Крамера, совпадают с определителями второго порядка:
∆ = |
a1 |
a2 |
, ∆1 = |
c1 |
a2 |
, ∆2 |
= |
a1 |
c1 |
, |
|
b1 |
b2 |
|
c2 |
b2 |
|
|
b1 |
c2 |
|
где ∆1 получается из ∆ заменой первого столбика на столбик из свободных членов c1 , c2 , а ∆2 - заменой второго столбика в ∆ на указанный столбец.
Определение. Пусть |
|
|
|
a |
a |
a |
|
11 |
12 |
13 |
|
A = a21 |
a22 |
a23 |
|
|
a32 |
a33 |
|
a31 |
|
– квадратная матрица третьего порядка над полем P. Определителем квадратной матрицы А
третьего |
|
порядка |
называют |
число, |
полученное |
следующим |
образом: |
|||||
|
|
|
|
a11 |
a12 |
a13 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
A |
|
= |
a21 |
a22 |
a23 |
= a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a13 a21 a32 − a13 a22 a31 − a11 a23 a32 − a12 a21 a33 |
|||||
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
a31 |
a32 |
a33 |
|
|
|
|
|
|
Формулы Крамера справедливы также и для системы трёх линейных уравнений с тремя неизвестными:
a11 x + a12 y + a13 z = c1a 21 x + a 21 y + a 23 z = c 2a31 x + a 32 y + a33 z = c3
Пусть ∆ = A ≠ 0 , тогда данная система имеет единственное решение, которое находится по
формулам:
x = ∆∆1 , y = ∆∆2 , z = ∆∆3 ,
Где ∆i получается из определителя ∆ путём замены i-го столбика на столбик из свободных членов с1,с2,с3, i =1,3 . Данное утверждение будет нами доказано в дальнейшем.
6.2. Определитель n-го порядка.
Рассмотрим множество P первых n натуральных чисел: P = {1,2,..., n}. Если все эти числа записать в определенном порядке так, чтобы они не повторялись, то получим упорядоченную n – ку, являющейся элементом n – ой декартовой степени множества P, например (1,2,..,n) Pn - упорядоченная n-ка, причём напомним, что, например, (2,1,..., n) ≠ (1,2,..., n) .
Любая такая упорядоченная n-ка будет называется перестановкой.
Выясним сколько всего перестановок из элементов Р существует: на первом месте может быть любое из n чисел, на втором (при выбранном первом) – любое из оставшихся n-1 и т.д. Таким образом, количество всех различных вариантов выбора элементов составляет произведение n!=1·2 ….. (n-1)·n (n факториал), следовательно, количество всех возможных перестановок первых n чисел равно n!
Рассмотрим произвольную перестановку (α1, α2, … , αn). Будем говорить, что пара (αi, αj) образует инверсию, если i < j , но αi > αj. Будем говорить, что перестановка четная, если в ней содержится четное число инверсий, и нечетная в противном случае.
Транспозицией будем называть перемену местами двух элементов перестановки.
Теорема. Одна транспозиция меняет чётность перестановки.
Доказательство. Рассмотрим перестановку (α1, … ,αi, … , αj, … , αn). Совершим транспозицию двух элементов: поменяем местами αi и αj. Если эти элементы соседние, то утверждение следует из того, что инверсии выбранных элементов с остальными элементами остаются такими же, а расположение их относительно друг друга меняется.
Пусть ј = і+ĸ, и ĸ≠1.
После транспозиции элементов αi и αj мы получим перестановку (α1,… ,αj,… , αi,,… , αn). Здесь, все оставшиеся элементы (кроме αi и αj) будут составлять между собой те же инверсии, что и раньше. Данную перестановку можно также получить следующим образом: в исходной
перестановке меняем местами α і с |
α і+1, затем α і с α і+2, и |
т.д., …, и наконец αі с |
αj. Всего |
||||||
при |
этом |
мы |
совершим |
к |
транспозиций, |
и |
получим |
перестановку |
|
(α1 ,K,αi +1 , |
αi + 2 , |
L αi + k ,αi ,K,αn ). |
Сделав затем (к - 1) транспозиций |
элемента αi+k с |
|||||
предыдущими, мы получим требуемую |
перестановку, где элементы |
α і и |
α ј |
меняются |
|||||
местами(относительно исходной). |
|
|
|
|
|
|
Таким образом, требуемую перестановку можно получить, совершив (2k - 1) транспозиций соседних элементов. Полученная перестановка, следовательно, имеет другую четность, нежели исходная, и предложение доказано.
Определение. Пусть Р ={1,2, ..., |
|
n}. Взаимнооднозначное отображение φ множества Р на |
||||||||
себя называется подстановкой n-ой степени. Всякую подстановку можно записать в виде: |
||||||||||
(*) |
|
|
α |
1 |
L |
|
α |
n |
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
ϕ(α1 ) |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
L ϕ(αn ) |
|
|||||||
или, в каноническом виде: |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
(1) |
|
|
1 |
|
2 |
L |
|
, |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
β1 |
β2 |
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
βn |
|
где (α1, … , αn) - любая перестановка элементов из множества Р, а (φ(α1),…, φ(αn)) – тоже перестановка, состоящая из образов элементов верхней перестановки при данном отображении φ, причем βi = ϕ(i) при всех i =1,2,…,n.
Подстановка называется четной, если четности верхней и нижней перестановок, образующих ее, совпадают, и нечетной в противном случае. Подстановку вида (*) очевидно можно привести за конечное число транспозиций одновременно верхних и нижних соответствующих друг другу элементов к каноническому виду (1). Четности подстановок (*) и (1) совпадают, поскольку каждая такая транспозиция меняет одновременно четность верхней и нижней перестановок, составляющих подстановку, поэтому данное определение четности и нечетности подстановки является корректным.
Заметим, что множество всех подстановок n-ой степени образует группу преобразований множества P, а все четные подстановки в ней образуют подгруппу.
Определение. Прямоугольную таблицу, состоящую из n-строк и m-столбцов, элементами которой являются элементы некоторого поля Р, мы будем называть матрицей размерности n×m на полем Р.
a |
11 |
a |
12 |
L |
a |
|
|
|
|
|
|
|
1m |
||
А= a21 |
a22 |
L a2 m |
|||||
|
L |
L |
L |
L |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
an 2 |
|
|
|
|
an1 |
L anm |
Каждый элемент аіј матрицы А имеет два индекса: первый индекс указывает номер строки, а второй - номер столбца, в котором находится данный элемент. Будем данную матрицу А обозначать также:
А=(аіј)n×m, и А=[аіј]n×m.
Замечание. В дальнейшем мы рассматриваем матрицы и определители над полем действительных чисел, но все рассуждения и результаты без ограниченной общности переносятся на случай любого другого поля.
Если число строк и столбцов матрицы А совпадает и равно n, то матрица А называется
квадратной матрицей n-ого порядка.
Определение. Пусть матрица А – это квадратная матрица n-ого порядка. Определителем матрицы А называется сумма всевозможных произведений элементов матрицы А, стоящих в различных строках и столбцах, взятых со знаком “+” или “-” в зависимости от четности подстановки, образуемой индексами элементов произведения.
Данное определение справедливо и для определителя 1-ого порядка. Таким образом, обозначая определитель матрицы А как |А|, получим, что
A = ∑(−1)δ a1α1 a2α2 ... anαn ,
где δ=1, если перестановка (α1, …, αn) – нечетная, и δ=0, если перестановка (α1, . . .,αn)- четная. Каждое слагаемое указанной суммы мы будем называть членом определителя |А|. Заметим, что число различных членов определителя равно n!.
6.3. Свойства определителей.
Свойство 1. Если в определителе существует строчка (столбец) состоящая из одних нулей, то данный определитель равен нулю.
Определение. Матрица А'= (aij′ )m×n называется транспонированной матрицей для матрицы
А=(аіј)n×m и обозначается Ат, если для любых индексов і=1,m и ј=1,n выполняется условие а'іј=
ајі.
Столбцами матрицы А' являются соответствующие строки матрицы А, а строчками матрицы А' – соответствующие столбцы матрицы А.
Например, если А= 1 |
2 |
3 |
|
|
Ат= |
1 |
4 |
|
||
, то |
|
2 |
5 |
. |
||||||
|
4 |
5 |
6 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
3 |
6 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Заметим, что (Ат)т = А.
Свойство 2. При транспонировании матрицы её определитель не меняется.