Lektsii_po_algebre_i_geometrii_Chast1_3

Тогда, если мы возьмем строчки					определителя М, то заметим, что каждаяиз них
	e′
		, …,	e	′
	i
1			ir

является частью строки основной матрицы, следовательно получим, что и для них справедливо

равенство: α1ei′1 +... +αr ei′r = 0 .

Значит, между строчками минора М существует линейная зависимость, следовательно М=0, что противоречит нашему условию выбора минора M.

Значит, система строк ei1 ,..,eir матрицы А является линейно независимой.

2) Докажем, что любая из строк матрицы А может быть представлена в виде линейной

комбинации данных линейно независимых строк

e

i1 ,..,

eir

.

Пусть 1 ≤ j ≤ n, к ≠ i1, i2 … ir, и 1 ≤ k ≤ m.Тогда для каждого такого индекса k, и каждого

a

1 j

a2 j

такого j, рассмотрим строчку ek

= (ak1ak 2

...akn ) , и столбец

матрицы А.

...

amj

Добавляя к минору М соответствующие (т.е стоящие в строчках i1 ,K, ir , k , и столбцах j1 ,K, jr , j ) элементы данных столбика и строчки , получим определитель (r+1)-го порядка

ai j

ai j

2

…ai

j

r

ai j

1

1

1

1

1

ai

2

j

ai

2

j

2

…ai

2

j

r

ai

2

j

M ′ =

1

.

……....…………………

ai

r

j

ai

j

…ai

j

r

ai

r

j

1

r

2

r

akj

ak j

2

…ak j

r

ak j

1

Отметим, что M ′ = 0, т.к. если j ≠ j1 , j2 ,...,

jr , то M ′ является минором (r+1)-го порядка

матрицы А, в случае же, если индекс j принимает одно из значений j1, j2, j3 ,…, jr, M ′ не будет являться минором матрицы А, но он все равно будет равен нулю, поскольку содержит тогда два одинаковых столбца.

Рассмотрим

разложение,

определителя

M ′

по

последнему

столбику:

M

′

= ai

′

′

j +...

+ ai

j

′

j + ai

′

′

j

- алгебраические дополнения элементов

j Ai j + ai

2

j Ai

2

Ai

k

j Ai

k

j , где Ai

1

1

r

r

s

(r+1)-го столбца в определителе M ′.

Заметим, что

числа

′

j

не

зависят

от индекса j, и следовательно являются

Ais

постоянными одновременно для всех j=

. Заметим также, что A´k j = (-1)2(r + 1) M ≠ 0.

1, n

Отсюда следует, что аk j = α1′ ai

j

+ α2′ ai

j + … + αr′ ai

j , где коэффициенты αs′= −

Ai′s j

,

1

2

r

Akj′

(s =

не зависят от j,

поэтому, придавая j

значения от 1 до n, мы пробегаем все элементы

1,2)

строчки с номером к всей матрицы А, что

означает, что

строчка

k является

линейной

e

комбинацией указанных строк

e

1 ,

e

2, ………,

e

r с коэффициентами α1, α2 ,…, αr . Теорема доказана

полностью.

Следствие. Определитель квадратной матрицы А n-ого порядка равен нулю тогда и только тогда, когда между ее строчками (столбцами) существует линейная зависимость.

Доказательство. Если строки матрицы А линейно зависимы, то ее определитель будет равен нулю по свойству 10.

Обратно, если определитель |А| равен нулю, то отсюда следует, что rg(A)<n (n – порядок матрицы).

Пусть rg(A) = r, тогда в |A| существуют r линейно независимых строк, и по теореме о базисном

миноре найдется строчка e матрицы А, не входящая в указанную систему строк, которая может быть представлена в виде линейной комбинации этих r линейно независимых строк.

Это значит, что данная строчка e может быть представлена в виде линейной комбинации всех других строк матрицы А , а тогда все строчки матрицы А являются линейно зависимыми.

Замечание. Если ранг матрицы A равен r, то любой ее, отличный от нуля минор порядка r называется базисным. Отметим, что из приведенного доказательства теоремы следует, что любые строчки и столбцы матрицы, образующие ее базисный минор, обладают свойствами, указанными в формулировке теоремы.

§10. Решение систем линейных уравнений.

10.1. Совместность системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему m линейных уравнений с n-неизвестными

a

11

x

1

+ a

12

x

2

+ … + a

1n

x

n

= b

,

1

(1)

a

21

x1 + a 22

x2

+ … + a 2n

xn = b2 ,

……………………………….

x1 + a m2 x2 + … + a mn

xn = bm .

a m1

Как и ранее, матрицу

А, составленную из коэффициентов при неизвестных x1 , x2 ,..., xn :

a

11

a

12

…a

1n

А =

a

21 a22 …a2n

.……...……..

am1 am 2 …amn

будем называть матрицей системы (1),

матрицу Ар,

полученную добавлением к матрице А

столбика свободных членов:

a

a

… a

b

11

12

1n

1

Ар =

a21 a22 … a2n

b2

,

………………….

am 2 … amn

am1

bm

назовём расширенной

матрицей системы (1).

х

b

1

1

х2

,

B =

b2

Положим X =

, тогда система (1) может быть представлена в виде

..

..

х

n

b

m

(1)′

A X = B .

Данное равенство называется матричной формой записи системы (1).

Теорема (Кронекера – Капелли). Система (1) совместна тогда и только тогда, когда ранги матрицы системы и расширенной матрицы системы совпадают.

Доказательство.

Необходимость. Пусть система (1) совместна, тогда существует набор значений переменных x01, x02 … x0n , который удовлетворяет всем уравнениям системы (1). Используя операции умножения столбцов на числа и сложения столбцов, получим тогда, что будет справедливо равенство

a

a

a

b

11

12

1n

1

a

21

0

a

22

0

a

2n

0

b

x 1

+

x 2

+ … +

x n

=

,

..

..

..

..

a

m1

a

m2

a

b

mn

m

и таким образом последний столбик матрицы Ар является линейной комбинацией всех остальных столбиков. Тогда, если мы к последнему столбику матрицы Ар прибавим первый, умноженный на (-x01), второй умноженный на (-x02), и т.д…, и, наконец, n-й, умноженный на (-x0n), то в

полученной матрице A′p последним столбцом станет нулевой столбик, т.е. A′p имеет вид:

a		11	a	12	… a	1n	0
A′p = a21			a 22 … a 2n				0	.
	…………………
			a m2 … a mn 0
a m1

Поскольку добавление к матрице нулевого столбика не увеличит её ранг, то следовательно rg( A′p ) и rg(A) совпадают. С другой стороны, по теореме о элементарных преобразованиях,

rg( A′p )=rg(Aр), и следовательно rg(A)=rg(Ap).

Достаточность. Пусть ранги основной матрицы А и расширенной матрицы Ар системы (1) совпадают. Покажем, что она совместна (двумя способами).

1. Пусть ранги данных матриц совпадают и равны r, тогда для матрицы A существует базисный минор порядка r, который расположен в строках и столбцах матрицы А; этот минор является базисным и для Ар, тогда, по замечанию к теореме о базисном миноре, последний столбик матрицы Ар представляется в виде линейной комбинации столбиков матрицы А, входящих в этот минор.

Пусть это будут столбики с номерами j1, j2 …jr, тогда

a1j1			a1j2			a1jr			b
									1
a2j1			a2j2			a2jr			b2
			α1+			α2+…+			αr =	.
..			..			..			..
a	mj1		a	mj2		a			b
							mjr		m

Добавим в левую сторону этого равенства все остальные столбики матрицы А, умножив их на 0. Тогда получим, что набор коэффициентов α1 ,…, αn из левой части полученного равенства будет являться решением системы (1), следовательно система (1)-совместна.

2. Пусть rg(A) совпадает с rg(Ap), тогда у данных матриц существует общий базисный минор. Рассмотрим этот общий базисный минор порядка r, без ограничения общности мы можем считать, что он находится в верхнем левом углу.

Этого мы можем добиться перестановкой строк и столбцов расширенной матрицы, что соответствует тому, что в исходной системе уравнений будут переставлены уравнения (при перестановке строк) и будут переименовываться (или переставляться) неизвестные при

перестановке столбцов. В результате полученная при этом матрица A′p с верхним базисным минором будет определять систему, равносильную исходной:

	a'		a' … a'	.	a'	…a'	b'
	11		12 1r		1r +1	1n	1
	a'21		a'22 … a'2r		. a'2r+1 …a'2n		b'2
′
	……………………………………….....
Ap =	a'r1		a'r2 … a'rr		. a'rr+1 … a'rn		b'r	.
	.…………………. .………………….....
			a'm2 …a'mr		a'mr+1 …a'm		b'm
	a'm1

	b′
При этом последний столбик	1		остается на своем месте, но могут поменяться местами
	...
	bm′

его элементы. В матрице A′p все строчки, начиная с (r+1)-й, являются линейной комбинацией

первых r строчек по теореме о базисном миноре, следовательно, для системы уравнений, определяемой матрицей A′p , каждое уравнение, начиная с (r+1)-го, является линейной

комбинацией первых r уравнений. Это значит, что все оставшиеся уравнения, начиная с (r+1)-го, являются следствием первых r уравнений, т.е. каждое решение первых r уравнений является и решением для остальных. Тогда решение полученной системы сводится к решению системы первых r-уравнений. Возьмем первые r уравнений, и в левой их части оставим только члены, содержащие первые r неизвестных (возможно переименованных), назовём их базисными. Оставшиеся члены переносим в правую часть. Придадим всем оставшимся переменным (назовём их свободными) произвольные значения. Тогда, при этих значениях свободных переменных получаем столбик из свободных членов в правой части системы уравнений, но данная система уравнений с данным полученным столбиком имеет решение, причем единственное, которое находится по формулам Крамера, в силу того, что определитель матрицы полученной системы отличается от нуля.

Придавая свободным переменным другие значения, мы будем получать другие решения, при этом возможны следующие варианты:

r = n (т.е. числу неизвестных), n - r =0, тогда система имеет единственное решение;

r < n, число свободных неизвестных равно n − r ≠ 0 . В этом случае, придавая свободным неизвестным всевозможные значения, мы получаем бесконечное множество решений. Теорема доказана.

10.2. Метод Гаусса.

Рассмотрим систему (1). Тогда, если мы к некоторой строчке расширенной матрицы Ap данной системы прибавим некоторую другую строчку, умноженную на число, или поменяем местами строчки или столбики (кроме последнего), то это будет равносильно тому, что в системе уравнений мы проделываем такие же операции с самими уравнениями, а это приводит к тому, что полученная система будет равносильна исходной, т.е. они будут иметь одни и те же решения.

Поэтому мы будем производить преобразования расширенной матрицы Ap .

Проводя указанные выше элементарные преобразования, мы приводим матрицу Ap к

трапециидальному или треугольному виду, т.е. к такому виду, когда все элементы, стоящие ниже главной диагонали - нулевые, а стоящие на главной диагонали – ненулевые (до появления оставшихся нулевых строк). Для этого мы зафиксируем первую строку таким образом, чтобы

элемент a11	был отличен от нуля, и к каждой строке с номером j =							2, m	прибавим первую,
				a	j1
умноженную	на		− a				. Тогда мы получим матрицу, у которой в первом столбике ниже
					11

элемента a11 будут расположены нули. Затем, сделав если нужно перестановку столбиков так, чтобы во второй строке второй элемент был отличен от нуля, мы, проводя аналогичные

преобразования, приведём матрицу к такому виду,				′	во втором столбике будут
	когда ниже a22
							a′
расположены нули, прибавляя к каждой j-ой строке	j = 3, m					−	j 2		, и
				вторую, умноженную на			′
							a22

т.д., … , до завершения этого процесса.

Вид полученной матрицы позволяет нам ответить на вопросы:

1)о совместности системы;

2)о количестве решений;

3)найти все решения.

Пусть ранг исходной матрицы А равен r. Тогда в результате преобразований мы получим матрицу A′p :

	a'		a'	a' ...	a'		…	a'	b'
		11	12	13		r		1n	1
		0	a'22	a'23 ...	a'2r		…	a'2n	b'2
		0	0	a'33 ...	a'3r		…	a'3n	b'3
A′p
	= .…………………. .…………………............ .
		0	0	... ...	a'rr		…	a'rn	b'r
		.…………………. .…………………............
		0	0	0 ...	0 ...			0	b'm
В данной матрице	A′p	все	строки,	находящиеся ниже					строки	r, состоят из нулей (за
исключением, быть может, последнего элемента					b′j ). Это следует из того, что ранги матриц А и
A′(получаемой из A′p отбрасыванием последнего столбика) равны r,										следовательно все строки
′
матрицы A , начиная с (r+1)-й должны быть нулевыми.

Если (r+1)-я или нижестоящая строчка содержит ненулевой элемент b′j , то система уравнений, соответствующая матрице A′p (а значит и исходная) будут несовместны по теореме

Кронекера-Каппелли. Если же это не так, то оставляя базисные переменные в левой части, а свободные перенося в правую, мы получим из последнего уравнения xr′, затем из предпоследнего

xr′−1 и т.д., поднимаясь вверх до x1′, выражая таким образом базисные неизвестные через

свободные. Придавая свободным переменным (в случае их существования) всевозможные значения, получаем множество решений системы (1).

Пример. Рассмотрим систему уравнений

x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 4,

x1 - x 2 + x 3 - x 4 = 0,

3 x1 - x 2 + 3 x 3 - x 4 = 4

Тогда, производя указанные преобразования, получим

1 1 1 1

4

1 1 1 1

4

1 1 1 1

4

1

−1 1

−1

0

0 −

2 0 − 2

− 4

0 2 0 2

4

,

Ap=

~

~

3

−1 3

−1

4

0 −

4 0 − 4

− 8

0 0 0 0

0

следовательно, rg(A)=rg(Ap)=2. Полученная матрица соответствует системе

x 2

+ x 4

= 2

+ x 2 + x 3 + x 4 = 4

x1

Из первого уравнения выражаем x2

= 2 − x4 = 0 , тогда, подставляя найденное выражение x2 во

второе уравнение получим x1 + x3 + 2 = 4 , таким образом, мы получим систему

x1 = 2 − x3 ,x2 = 2 − x4

где x3 и x4 - свободные переменные, которым мы можем придавать любые значения.

			2	− c
			2	1
Тогда	столбцы вида			− c2		, где с1,с2	R, образуют множество всех решений данной
				c
				1
				c2
системы.
Пример.	Рассмотрим систему уравнений

x1 + x2 + x3 + x4 = 4x1 − x2 + x3 −x 4 = 03x1 − x2 + 3x3 − x4 = 6

Аналогичным образом преобразуя расширенную матрицу данной системы, получим

1		1	1	1		4		1 1 1				1		4		1 1			1	1		4
	1	−1	1	−1		0			0	− 2	0	− 2		− 4			0	− 2 0		− 2		− 4		,
								~								~
	3 −1		3	−1		6			0	− 4	0	− 4		− 6			0	0	0	0		2

следовательно ранг расширенной матрицы равен 3, а основной 2, значит система несовместна. Рассмотрим уравнение AX=B, где A – квадратная обратимая матрица, и умножение матрицы

А на матрицу Х определено, B – заданная матрица.	Умножая обе части уравнения на A−1 ,
получим (в силу ассоциативности произведения) (A −1	A ) X = A −1 B , E X = A−1 B , и

X = A−1 B . Аналогично	для уравнения X A = B , X (A A−1 )= B A−1 , следовательно
X E = B A−1 , и X = B A−1 .
Замечание. Отметим,	что равенства E X = X , и Y E = Y справедливы всегда, когда эти

произведения определены, при этом X и Y – необязательно должны являться квадратными матрицами.

§11. Системы линейных однородных уравнений.

Рассмотрим систему (1) с нулевой правой частью, обозначим ее(1′) .

	a11 x1 + a12 x2		+ ... + a1n xn = 0
′		+ a22 x2	+ ... + a2n xn = 0
	a21 x1
(1 )	LLLLLLLLLLLL
		+ am 2 x2 + ... + amn xn = 0
	am1 x1

Такая система называется системой линейных однородных уравнений.

В матричной форме система (1′) может быть записана следующим образом: A X = O , где А - матрица системы (1′) , а O - нулевой столбик свободных членов.

Очевидно, что система (1′) всегда совместна, у неё существует тривиальное решение

0 O = 0 .

...0

На вопрос о существовании нетривиальных решений данной системы отвечает следующая теорема.

Теорема. Система (1′) имеет нетривиальные решения тогда и только тогда, когда ранг

матрицы системы меньше числа неизвестных (т.е. r<n).

Доказательство. Если n=r , то из доказательства теоремы Кронекера-Капелли следует, что система (1′) имеет единственное решение (следовательно, тривиальное), откуда и следует, что

если существует нетривиальное решение, то ранг r должен быть меньше n.

Обратно, пусть r<n, тогда, применяя метод Гаусса, мы получим n – r свободных неизвестных и, следовательно, решений будет бесконечно много. Теорема доказана.

Следствие. Система однородных линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных, имеет нетривиальное решение тогда и только тогда, когда определитель матрицы данной системы будет равен нулю.

(1′)

x1(1)

x2(1)

Напомним, что линейной комбинацией столбиков X1= L и

xn(1)

x1( 2)

x2( 2)

X2= L

xn( 2)

с

коэффициентами α и β мы называем столбик, состоящий из элементов, которые являются

линейной комбинацией соответствующих компонент:			+	βx1
		αx1
		(1)		( 2)
		αх2(1)	+	βх2( 2)
αX 1 + βX 2 =
		αxn(1)	L		.
			+ βxn( 2)

Аналогично определяется линейная комбинация любой конечной системы столбиков одинаковой размерности. Напомним также, что система столбиков X1,…, Xк (размерности n) будет называться линейно зависимой, если существует их нетривиальная нулевая линейная комбинация:

т.е. найдутся числа α1,…,αk , где хотя бы одно αi≠0, такие, что α1X1 + α2X2+…+ αkXk = Ō, и линейно независимой в противном случае.

Определение. Линейно независимая система столбцов размерности n : X1, X2, …, Xk, состоящая из решений системы уравнений , называется фундаментальной системой решений системы (1´),

если каждое решение системы (1′) можно представить в виде линейных комбинаций столбцов данной системы.

Теорема. Пусть ранг r матрицы системы (1′) меньше числа неизвестных n. Тогда система линейных однородных уравнений (1′) обладает фундаментальной системой решений, состоящей из n – r членов.

Доказательство. Рассмотрим систему (1′) . Пусть матрица данной системы имеет ранг равный r,

и предположим, что базисный минор матрицы этой системы расположен в верхнем левом углу. Если это не так, то мы можем добиться данного расположения перестановкой местами строк и столбцов (и, возможно, переименование неизвестных).

Тогда, перенося свободные неизвестные в правую часть, получим систему:

a11′ x1 + ... + a'1r xr = b'1 −a1′r+1 xr +1 − ... − a'1n xn
	+ ... + а2′r хr = b2′ − a2′r+1 xr+1 − ... − a2′n xn
а21′ х1		,
LLLLLLLLLLLLLLLLLLL
	′	xn
a'r1 x1 + ... + a'rr xr = b'1 −arr +1 xr +1 −... − a'rn

являющуюся равносильной для (1′) . Придавая свободным неизвестным определенные значения, построим фундаментальную систему решений данной (а значит, и исходной) системы.

xr +1 =1
		= 0		′
xr +2			,
1) Положим				тогда получим решение X1 системы (1 ) , соответствующее
...........
	xn	= 0

(1)

x1

x

(1)

xr +1 = 0

2

...

x

(1)

xr +2 =1

данному

набору свободных неизвестных:

X 1

r

. Далее, полагая

........... ,

получим

=

1

...........

0

xn = 0

...

0

(2)

x1

x2(2)

...

решение

X 2

(2)

, и т.д.,…, продолжая этот процесс передвижения единицы вниз на

= xr

0

1

...

0

получим n -

r

′

одну

позицию,

мы

решений

последнее

решение

системы (1 ) , где

(n −r )

x1

x2(n −r )

...

X n −r

x(n −r )

Нетрудно увидеть,

что полученная система столбцов X1 , X 2 ,...., X n−r -

=

r

.

0

0

...

1

линейно независима. Действительно, если α1X1 + α2X2+…+ αn-rXn-r = Ō, то отсюда следует, что

α	1		0
				0
α	2					в силу покомпонентного равенства (начиная с (r + 1) -ой позиции), и,
			=
...			...
				0
αn−r

следовательно, все αi = 0			′
	, для i =1, n − r . Таким образом мы показали, что система (1 )
обладает системой, состоящей из (n − r) линейно независимых решений.

2) Покажем, что каждое решение системы (1′) можно представить в виде линейной комбинации столбиков найденной системы. Сначала отметим, что если X1 , X 2 ,...., X k - решение однородной системы (1′) , то любая их линейная комбинация α1 X1 +α2 X 2 +.... +αk X k также

является решением данной системы в силу выполнимости в таком случае равенства

A(α1 X1 +α2 X 2 +.... +αk X k )		= α1 AX1 +α2 AX 2		+.... +αk AX k =		О		.
	x
	1
Пусть теперь	x2							′
	X =		- произвольное решение системы (1 ) . Тогда положим
	...
	xn
X ′ = xr +1 X1 + xr +2 X 2 +... + xn X n−r , где xi				для i =			- компоненты решения Х, а
					r +1, n

X1 , X 2 ,...., X n−r - найденная выше линейно независимая система решений.

По вышеуказанному замечанию X			′		′
				является решением системы (1 ) . Но решения Х и
X ′ обладают одним и тем же набором свободных переменных, а,					следовательно, они
равны. Теорема доказана.				′
Определение. Общим решением системы (1 ) мы будем называть совокупность решений
		n−r
данной системы вида:		= ∑αi X i , где X1 , X 2 ,...., X n−r - фундаментальная система решений
	X
′		i=1
	,....,αn−r - произвольные числа.
системы (1 ) , а α1 ,α2

Из последней теоремы следует, что каждое решение Х системы (1′) будет получаться

из общего решения X данной системы при некотором конкретном наборе значений

α1 ,α2 ,....,αn−r .

Взаключении докажем теорему, которая позволяет описать все решения совместной системы линейных неоднородных уравнений.

Теорема. Все решения совместной системы линейных неоднородных уравнений (1), при условии, что ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, можно представить в

~

~

- это некоторое (произвольным образом выбранное) «частное»

виде X = X + X , где X

′

решение системы (1), а

X

- общее решение однородной системы (1 ) , соответствующей

системе (1).

~

Доказательство.

Пусть Х –

произвольное решение системы (1). Если

X - некоторое

«частное» решение данной

системы,

~

будут

являться

решением

системы

′

то X − X

(1 ) .

Действительно,

поскольку

тогда

~

= В,

то

~

~

АХ = AX

A( X − X ) = AX − AX = B − B = O .

Следовательно,

если

X1, X 2 ,..., X n −r -

фундаментальная

система

решений

системы

(1´),

соответствующей

системе

(1),

то

найдутся

такие

α1,α2,...,αn −r ,

что

~

~

+α2X 2 +... +αn −r X n −r

для

X − X =α1X1 +α2X 2

+... +αn −r X n −r , и таким образом X = X +α1X1

некоторого набора α1,α2,...,αn −r . Таким образом мы показали, что каждое решении системы (1)

~

+ X . Верно и обратное утверждение, т.е. выражения

представляется в указанном виде: X = X

~

+ X при любых наборах коэффициентов

линейных комбинаций будут являться

вида X

~

~

решениями системы (1) в силу равенства: A( X + X ) = AX + AX = B +O = B . Теорема доказана.