(1)Понятие непрерывности функции.Свойства непрерывных функций.

Определение 1:

Функция называется непрерывной в точкеотносительно множества, если

Замечание 1:

Если в точке функция непрерывна, то в силу свойств предела она однозначна, поэтому в дальнейшем непрерывные функции будем считать однозначными.

Замечание 2:

Если понятно относительно какого множества непрерывность, то это множество не указываем.

Определение 2:

Функция называется непрерывной в точкеотносительно множества, если

Замечание:

В данном случае не обязательно требовать, чтобы , т.к. привыполняется автоматически.

Определение 3:

Функция называется непрерывной в точкеотносительно

множества , если

Пусть , обозначим,тогда

тогда по определению 1 функция непрерывна в точке относительно, когда

,

Если функция непрерывна в каждой точке множества , то говорят, что функция непрерывна на множестве

Свойства функций:

1) Общие свойства

1 св.) Пусть непрерывна в точкеотносительно множества,, тогданепрерывна в точкео тносительно множества

Доказательство:

2 св.) непрерывна в точкеотносительно множестваравносильно непрерывности функции в точкеотносительно

Доказательство:

По §3.4 св. 5

3 св.) Пусть ,, тогда непрерывность относительноравносильна непрерывности в точкекак относительно, так и

Замечание:

Если точка в св. 3 является предельной только для одного из множестви, то непрерывность относительноравносильна непрерывности относительно именно в этой точке.

4 св.) (предельный переход под знаком непрерывности функции)

1. Если непрерывна в точкеотносительно,

2. ,

тогда или

Следствие:

(теорема о непрерывности сложной функции)

1. Если непрерывна в точкеотносительно множества,,

2. непрерывна в точке,,

тогда непрерывна в точкеотносительно множества

5 св.) Если непрерывна в точкеотносительно множества,тоже непрерывная функция в точкеотносительно множества

Доказательство:

По §3.7 следствие теоремы о двух милиционерах

6 св.) (непрерывность результатов арифметических действий на непрерывных функциях)

Если инепрерывны в точкеотносительно множества, то:непрерывны в точке, относительно множества

(следует из §3.6 и определения непрерывности)

Следствие:

Многочлен и дробно-рациональные функции непрерывны во всех точках своей области определения.

Доказательство:

непрерывна непрерывеннепрерывен. Т.к. каждый многочлен – непрерывная функциятоже непрерывна

2) Односторонняя непрерывность

Определение:

называется непрерывной в точке относительно множествасправа (слева), еслинепрерывна в точкеотносительно множества

Теорема:

Пусть , тогда для того чтобы функция была непрерывна в точкеотносительно, необходимо и достаточно чтобы она была непрерывна в точкеи справа и слева

Доказательство:

По §3.4, св. 6

3) Непрерывность монотонной и обратной к строго монотонной функции

Теорема 1:

(о непрерывности монотонной функции)

Если: 1)монотонна на

2) область значений есть промежуток,

тогда непрерывна во всех точках предельной для нее

Доказательство:

, докажем непрерывность в точке слева и справа.

Слева (справа):

Пусть ,- возрастает. По теореме о пределе монотонной функции:(1). Т.к.возрастает(2). Покажем, что в неравенстве (2) знак «» не имеет места. Пусть, тогда для(а такие есть)(3) т.к. возрастает, а для(4). Из (3),(4) следует, что функция принимает значенияи не принимает значения на промежутке. Это противоречит тому, что по условию значение функции – промежутокв (2) меньше быть не может.

Лемма:

Функция обратная к строго монотонной (однозначная) однозначна и строго монотонна в том же направлении.

Доказательство:

Пусть строго возрастает на множестве. Рассмотрим обратную к ней

(- область значений)точка. Т.к.строго возрастает, то. Возьмёмиз,,. Если бы, тогда- функция строго возрастает

Теорема 2:

(о непрерывности функции обратной к строго монотонной)

Функция обратная к строго монотонной, определённой на промежутке непрерывна во всех точках своей области определения.

Доказательство:

Функция определена на промежутке и строго монотонна.по леммеоднозначна и монотонна на, а область значенийпо теореме 1непрерывна.