26. Событие, виды событий.

В теории вероятностей всякое явление, о котором можно говорить, что оно происходит или не происходит,  называется событием.

Случайным событием называется событие, которое при определенном комплексе факторов может произойти, а может не произойти. Принято говорить “ произведено испытание ” в том случае, если такой комплекс факторов реализован.

Достоверные события - это события, которые при определенном комплексе факторов обязательно происходят.

Невозможным событием называется событие, которое при определенном комплексе факторов обязательно не происходит.

Несовместные события- два события несовместны, если появление одного исключает появление другого.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным чем другие.

Событием, противоположным событию А, называется событие   , которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А. Используются следующие обозначения : Случайные события - А, В, С... или  А1, А2, А3… Достоверные события – U. Невозможные события – V.

27. Сумма и произведение событий. Противоположное событие.

Суммой событий А и В называется третье событие А + В, которое наступает тогда и только тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Произведением событий А и В называется третье событие АВ, которое наступает тогда и только тогда, когда оба события: А и В.

Понятия суммы и произведения двух событий очевидным образом переносятся на случай любого множества событий.

Событием, противоположным событию А, называется событие   , которое наступает тогда и только тогда, когда не наступает событие А.

28. Несовместные, равновозможные события. Полная группа событий. Благоприятствующий случай.

2 события называют несовместными, если появление одного исключает появление другого.

События называются равновозможными, если ни одно из них не является объективно более возможным чем другие.

Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называют благоприятствующими этому событию.

Множество всех элементарных событий называют пространством (полной группой) элементарных событий.

29. Классическое определение вероятности. Границы изменения вероятности

Вероятностью события называют отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию к числу всех равновозможных исходов опыта.

P(A)=m/n, где

m – число благоприятствующих исходов;

n – общее число опытов.

Границы изменения вероятности

Вероятность случайного событий – положительное число <1

30. Предмет комбинаторики. Правило произведения.

Комбинаторика – раздел математики, изучающий задачи выбора элементов из заданного множества и расположение их в группы по заданным правилам; в частности рассматривают задачи о подсчете числа комбинаций, т.е. выборок, получаемых из элементов заданного конечного множества.

Правило умножения:

Если из некоторого конечного множества объект Х можно выбрать n₁ способами, а объект Y после такого выбора можно взять n₂ способами, то оба объекта Х и Y можно взять в указанном порядке n₁*n₂ способами.

31. Понятие перестановок. Формула для нахождения числа перемещений.

Рассмотрим множество, состоящее из n различных элементов.

Перестановкой из n элементов называют выборки, содержащие n элементов, отличающиеся только порядком следования элементов.

P_n=n! n!=1*2*3*…*n

П р и м е р .  Найти число перестановок из трёх элементов:  a, b, c.

Р е ш е н и е .  В соответствии с приведенной формулой:  P₃ = 1 · 2 · 3 = 6.

32. Понятие размещений. Формула для нахождения числа размещений

Размещением из n элементов по m (0<m≤n) называют выборки, отличающиеся друг от друга либо составом, либо порядком расположения.

П р и м е р .  Найти число размещений из четырёх элементов  a, b, c, d по два.

Р е ш е н и е .  В соответствии с формулой получим:

33. Понятие сочетаний. Формула для нахождения числа сочетаний

Сочетанием из n элементов по m элементов (0<m≤n) называют выборки, отличающиеся только составом элементов.

=

П р и м е р . Найти число сочетаний из пяти элементов:  a, b, c, d, e  по три.

Р е ш е н и е :

                             

34. Выражение формул для числа размещений и числа сочетаний через факториалы. Основное свойство сочетаний.

Формула для размещений: Формула для сочетаний:

= =

Основное свойство сочетаний:

35. Теорема сложения вероятностей несовместных событий. Вероятность противоположного события.

Теорема. Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

Доказательство: Введем обозначения: n — общее число возможных элементарных исходов испытания; m₁ — число исходов, благоприятствующих событию A; m₂— число исходов, благоприятствующих событию В.

Число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события А, либо события В, равно m₁ + m₂. Следовательно,

Р (A + В) = (m₁ + m₂) / n = m₁ / n + m₂ / n.

Приняв во внимание, что m₁ / n = Р (А) и m₂ / n = Р (В), окончательно получим

Р (А + В) = Р (А) + Р (В).

С л е д с т в и е. Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

Р (A₁ + A₂ + ... + A_n) = Р (A₁) + Р (A₂) + ... + Р (A_n)

Вероятность противоположного события.

Сумма вероятностей события и его отрицания есть достоверное событие, то есть  p(A)+p( )=1. Следовательно, вероятность противоположного события = 1 – p(A)