- •Глава 1. Краткие сведения из элементарной математики. 6
- •Глава 2. Элементы высшей математики. 8
- •Глава 3. Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения прикладных задач физики, биологии, медицины 25
- •Глава 1. Краткие сведения из элементарной математики.
- •1. Функция
- •1.1. Способы задания функции
- •1.2. Основные элементарные функции.
- •2. Логарифмы и их свойства
- •Глава 2. Элементы высшей математики.
- •2.1. Механический смысл производной.
- •4. Функция нескольких переменных.
- •4.1. Частные производные.
- •4.2. Полное приращение и полный дифференциал.
- •4.3. Примеры для самостоятельной работы
- •5. Неопределенный интеграл.
- •5.1. Первообразная и неопределенный интеграл
- •5.2. Свойства неопределенного интеграла.
- •5.3.Таблица интегралов
- •5.4. Интегрирование методом замены переменного или способом подстановки
- •5.5.Интегрирование по частям
- •6. Определенный интеграл
- •6.1. Основные свойства определенного интеграла.
- •6.2. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона – Лейбница.
- •6.3. Применение интегралов для решения количественных медицинских задач
- •7. Дифференциальные уравнения. Введение. Постановка задачи
- •7.1. Дифференциальные уравнения первого порядка (общие понятия)
- •7.2. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными
- •Глава 3. Применение дифференциальных уравнений первого порядка для решения прикладных задач физики, биологии, медицины
- •Глава 4. Краткое введение в теорию комплексных чисел
- •Глава 5. Дифференциальные уравнения второго порядка
- •1. Линейное однородное дифференциальное уравнение
- •1.1. Алгоритм решения дифференциального уравнения
- •1.2.Примеры решения дифференциальных уравнений
- •Глава 6. Применение дифференциальных уравнений для исследования колебательных процессов
- •1. Состояние динамических систем вблизи положения равновесия
- •2. Дифференциальное уравнение механических колебаний
- •Глава 7. Математическое моделирование в биологии и медицине
- •1. Модель Вольтерра
- •2. Фармакокинетическая модель
- •3. Простейшая математическая модель эпидемии
- •4. Простейшая модель инфекционного заболевания
2. Фармакокинетическая модель
Рассмотрим модель, описывающую кинематику распределения введенных в организм препаратов (лекарств). Будем считать, что терапевтический эффект зависит от концентрации препарата в больном органе (органе-мишени) и времени нахождения лекарства в действующей концентрации. Модель должна дать ответ о дозе лекарства, пути и периодичности введения, которое обеспечивало бы достаточный терапевтический эффект при минимальном побочном действии.
Из физиологии известно, что концентрация препарата в органе может зависеть от ряда процессов, скорости которых характеризуются константами К:
1). Всасывание препарата в кровяное русло при внесосудистом введении – константа - К12.
2). Транспорт препарата из крови в органы - К23.
3). Транспорт препарата из органа в кровь – К32.
4
Рис.14.Схематичное
изображение фармакокинетической модели Кишечник Кожа Мышцы 1
Кровь
2
Орган мишень 3
К32 К23 К12
К4 Инактивация
и выделение
Всякая модель предполагает упрощение реальных процессов. В этой модели рассматривается только кинетика, т.е. течение во времени всех процессов без выяснения их причин. Организм представляется в виде отдельных простых блоков (кровь, орган-мишень, органы, элиминирующие препарат) – фармакокинетических камер т.е. частей системы, в пределах каждой из которых распределение препарата предполагается равномерным. Есть еще целый ряд упрощений. Например, не учитывается периодичность в чувствительности и функционировании органов, влияние препарата на органы и т.д. Но все это позволяет описывать изменение концентрации препарата в блоках простыми линейными дифференциальными уравнениями. Например, небольшое изменение (убыль) концентрации препарата dC1 в первом блоке после введения за времяdt:
dC1= -K12C1dt
Заметим, что каким бы сложным ни был процесс, всегда можно выделить такой малый промежуток времени, в течение которого процесс будет линейным.
Учитывая поступление и введение препарата в блоках, для скоростей изменения концентраций получим систему уравнений
Всегда решаются, т.е. интегрируются, только дифференциальные уравнения первой степени, к которым и стараются свести путем преобразований и упрощений системы из нескольких уравнений.
Один из способов упрощения системы – объединение нескольких блоков в один или удаление несущественных элементов.
Другой способ – рассматривать часть системы как стационарную, тогда в этой части системы и дифференциальное уравнение превращается в алгебраическое.
Рассмотрим более простую систему. Допустим, что препарат непрерывно со скоростью поступает в кровь, тогда изменение его количества в крови.
,
где k– константа удаления препарата из крови
Предположим, что в момент t=0, масса препарата в кровиm=0.
Тогда можно проинтегрировать дифференциальное уравнение, предварительно разделив переменные, и найти его частное решение.
Для получения зависимости C(t) разделим обе части уравнения на объемV, в котором распределяется препарат.
Рис.15.
Зависимость концентрации препарата
от времени
При См. график.
Из решения видно, что для достижения в крови некоторой постоянной концентрации препарата C* его следует вводить со скоростью
Q=C*Vk
Время достижения уровня С*будет также будет зависеть от константы скорости выведения препаратаk. Таким образом, совершенно очевидно, что лечебная концентрация препарата в крови устанавливается не мгновенно, как хотелось бы в лечебных целях, а по прошествии некоторого времени . Можно для более быстрого достижения уровняС*сочетать непрерывное введнние препарата с начальным разовым введением некоторой нагрузочной дозыmn.
Нагрузочная доза препарата в крови будет уменьшаться по закону
,
из которого следует закон изменения количества препарата со временем.
.
Объединяя оба процесса, получим для изменения концентрации
или.
Из последнего уравнения видно, что конечный уровень концентрации препарата, т.е. при по-прежнему равенС*и не зависит от нагрузочной дозы.
Скорость достижения уровня С*зависит от величины, т.е. нагрузочная доза для мгновенного достижения уровняС* может быть получена из равенства .Она равна
Таким образом для мгновенного создания в крови желаемой концентрации С*необходимо ввести нагрузочную дозуm*и вести инфузию со скоростьюQ=C*Vk.
Этот теоретический вывод был подтвержден экспериментально, что и является решающей проверкой правильности модели.
Более сложные модели можно построить путем суммирования блоков, если мы будем оставаться в рамках линейного приближения, т.е. описывать ситуацию линейными дифференциальными уравнениями.