- •Вычислительная практика. 2 курс Решение систем линейных алгебраических уравнений
- •2.1. Основные понятия и определения
- •2.2. Методы решения слау
- •2.2.1. Прямые методы решения слау
- •1. Правило Крамера
- •2. Метод обратных матриц
- •3. Метод Гаусса
- •4. Модифицированный метод Гаусса
- •5. Метод прогонки
- •6. Метод квадратного корня
- •2.2.2. Итерационные методы решения слау
- •1. Метод простой итерации
- •2. Метод Зейделя
- •2.3. Вычисление определителей высоких порядков
- •2.4. Вычисление обратных матриц
- •2. Другой подход к определению обратной матрицы а–1
- •3. Обращение матрицы а посредством треугольных матриц
- •2.5. Применение метода итераций для уточнения элементов обратной матрицы
2.2.2. Итерационные методы решения слау
Напомним, что достоинством итерационных методов является их применимость к плохо обусловленным системам и системам высоких порядков, их самоисправляемость и простота реализации на ЭВМ. Итерационные методы для начала вычисления требуют задания какого-либо начального приближения к искомому решению.
Следует заметить, что условия и скорость сходимости итерационного процесса существенно зависят от свойств матрицы Асистемы и от выбора начальных приближений.
Для применения метода итераций исходную систему (1) или (2) необходимо привести к виду
(25)
и затем итерационный процесс выполняется по рекуррентным формулам
,k= 0, 1, 2, ... . (25*)
Матрица Gи векторполучены в результате преобразования системы (1).
Для сходимости (25*) необходимо и достаточно, чтобы |i(G)| < 1, гдеi(G) – все собственные значения матрицыG. Сходимость будет также и в случае, если ||G|| < 1, ибо |i(G)| <||G|| (– любой).
Символ || ... || означает норму матрицы. При определении ее величины чаще всего останавливаются на проверке двух условий:
||G|| =, или ||G|| =, (26)
где . Сходимость гарантирована также, если исходная матрицаАимеет диагональное преобладание, т.е.
. (27)
Если (26) или (27) выполняются, метод итерации сходится при любом начальном приближении . Чаще всего векторберут или нулевым, или единичным, или сам векториз (25).
Имеется много подходов к преобразованию исходной системы (2) с матрицей Адля обеспечения вида (25) или условий сходимости (26) и (27).
Например, (25) можно получить следующим образом.
Пусть А=В +С,detВ 0;
тогда (B+С)=B= −C+B–1B= − B–1C+B–1,
откуда = − B–1C+B–1.
Положив –B–1C=G,B–1=и получим (25).
Из условий сходимости (26) и (27) видно, что представление А=В +С не может быть произвольным.
Если матрица Аудовлетворяет требованиям (27), то в качестве матрицыВможно выбрать нижнюю треугольную
,aii0.
Или
;;;
.
Подбирая параметр можно добиться, чтобы ||G|| = ||E+A|| < 1.
Если имеет место преобладание (27), тогда преобразование к (25) можно осуществить просто, решая каждое i-е уравнение системы (1) относительноxiпо следующим рекуррентным формулам:
gij= −aij /aii ;gii = 0;fi=bi /aii , (27*)
т.е. .
Если же в матрице Анет диагонального преобладания, его нужно добиться посредством каких-либо ее линейных преобразований, не нарушающих их равносильности.
Для примера рассмотрим систему
(28)
Как видно в уравнениях (I) и (II) нет диагонального преобладания, а в (III) есть, поэтому его оставляем неизменным.
Добьемся диагонального преобладания в уравнении (I). Умножим (I) на, (II) на, сложим оба уравнения и в полученном уравнении выберемитак, чтобы имело место диагональное преобладание:
(2+ 3)х1+ (–1,8+ 2)х2+(0,4– 1,1)х3=.
Взяв == 5, получим 25х1+х2– 3,5х3= 5.
Для преобразования второго уравнения (II) с преобладанием, (I) умножим на, (II) умножим на, и из (II) вычтем (I). Получим
(3– 2)х1+ (2+ 1,8)х2+(–1,1– 0,4)х3= −.
Положим = 2,= 3, получим 0х1+ 9,4х2– 3,4х3= −3. В результате получим систему:
(29)
Такой прием можно применять для широкого класса матриц.
Далее разделим в (29) каждое уравнение на диагональный элемент, получим
или
Взяв в качестве начального приближения, например, вектор = (0,2; –0,32; 0)Т. Будем решать эту систему по технологии (25*):
k= 0, 1, 2, ...
Процесс вычисления прекращается, когда два соседних приближения вектора решения совпадают по точности, т.е.
.