- •Парабола.
- •Директориальна свойство параболы
- •Относился к притче.
- •Оптическая свойство параболы.
- •Фокусное свойство эллипса
- •Директориальна свойство эллипса
- •Уравнение касательной к эллипсу
- •Оптическая свойство эллипса
- •Фокусное свойство гиперболы
- •Директориальна свойство гиперболы
- •Уравнение касательной к гиперболе.
- •Оптическая свойство гиперболы.
- •Поверхности вращения
- •Поверхности переноса.
- •Цилиндры.
- •Прямолинейные образующие на поверхности однополостного гиперболоида
- •Прямолинейные образующие на поверхности гиперболического параболоида
- •Касательная плоскость
- •Свойства симметричной матрицы
- •Самосопряжённых оператор в евклидовом пространстве
- •Диагонализации квадратичной формы ортогональным преобразованием координат
- •Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду
Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду
Общее уравнение поверхности второго порядка имеет вид:
Квадратичная часть этого уравнения - это квадратичная форма
Матрица квадратичной формы:
В каноническом уравнении матрица квадратичной части должно быть диагональной. Нам известно, что существует ортогональное преобразование координат такое, что матрица квадратичной формы в новых координатах имеет диагональный вид. Новый базис образуется из собственных векторов матрицы
Итак, для того чтоб привести общее уравнение к каноническому виду нужно
найти ортогональный базис из собственных векторов матрицы;
перейти к новой системе координат, в которой матрица квадратичной части является диагональной;
осуществить параллельный перенос начала координат таким образом, чтобы уравнение приняло канонический вид (например, в центр вершину поверхности).
Итак, схема приведения общего уравнения поверхности к каноническому виду такая же как и для кривой. Но есть некоторые отличия, например, когда собственное число матрицы квадратичной формы имеет кратность больше 1. Разберем на примере.
Пример. Привести к каноническому виду уравнение поверхности
Найти каноническую систему координат.
Выписываем матрицу квадратичной части:
Характеристический многочлен этой матрицы:
Его корни, собственные числа матрицы :
Ищем собственные векторы.
Для собственный вектор находится из системы уравнений Матрица этой системы:
Итак, собственный вектор имеет направление Нормируем его (делим на длину) и берем в качестве первого нового базисного вектора
Для собственные векторы находятся из системы уравнений Матрица этой системы:
Итак, собственные векторы, соответствующие собственному числу 0, образуют двумерный подпространство, ортогональный вектору Выберем какой-нибудь вектор из этого подпространства, напримернормируем его (делим на длину) и берем в качестве второго нового базисного вектораТретий базисный вектор можно найти какон будет принадлежать подпространства собственных векторов длякроме тогообразуют ортонормированный положительно ориентированный базис. Итак ,
Переходим к новой системе координат. Напомним, что старые координаты связаны с новымиследующим образом:
где - матрица перехода к новому базису, ее столбиками есть координаты новых базисных векторов в старом базисе.
Преобразование координат
Подставляем эти выражения в уравнение поверхности. В квадратичную часть подставлять не нужно, по известной теореме в базисе из собственных векторов матрица квадратичной части имеет диагональный вид, где диагонали стоят собственные числа. Нужно подставить эти выражения только в линейную часть:
Это уравнение параболического цилиндра, но еще не каноническое. Нам нужно сделать еще оборот вокруг оси так как в плоскостимы выбирали базисные векторыпроизвольным образом, а они оказались не каноническими. Вращение вокруг осизадается матрицей:
Итак, нам нужно найти угол , на который мы должны сделать оборот. В общем случае это делается следующим образом. Мы имеем
Итак, В нашем случае
Итак,
После последующего преобразования координат
имеем
Делаем параллельный перенос
и получаем в новой системе координат каноническое уравнение параболического цилиндра:
Теперь нужно выписать общее преобразование координат, то есть выразить координаты черезНапомним, что обратная ортогональной матрица совпадает с транспонированной. Имеем
Итак, это превращение дает нам каноническую систему координат: ее начало находится в точке с координатами, базисные векторы новых координатных осей