- •Парабола.
- •Директориальна свойство параболы
- •Относился к притче.
- •Оптическая свойство параболы.
- •Фокусное свойство эллипса
- •Директориальна свойство эллипса
- •Уравнение касательной к эллипсу
- •Оптическая свойство эллипса
- •Фокусное свойство гиперболы
- •Директориальна свойство гиперболы
- •Уравнение касательной к гиперболе.
- •Оптическая свойство гиперболы.
- •Поверхности вращения
- •Поверхности переноса.
- •Цилиндры.
- •Прямолинейные образующие на поверхности однополостного гиперболоида
- •Прямолинейные образующие на поверхности гиперболического параболоида
- •Касательная плоскость
- •Свойства симметричной матрицы
- •Самосопряжённых оператор в евклидовом пространстве
- •Диагонализации квадратичной формы ортогональным преобразованием координат
- •Приведение общего уравнения кривой второго порядка к каноническому виду
- •Приведение общего уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду
Прямолинейные образующие на поверхности гиперболического параболоида
Рассмотрим уравнение гиперболического параболоида:
для удобства сделаем замену иТогда уравнение запишется в виде
Разложим на множители:
Аналогично с предварительными соображениями получаем уравнения двух семей прямолинейных образующих гиперболического параболоида:
и
Теорема. На поверхности гиперболического параболоида лежат две семьи прямых, которые имеют следующие свойства:
через любую точку гиперболического параболоида проходит ровно одна прямая с каждой семьи ;
любые две образующие из разных семей пересекаются;
любые две прямые с одной семьи является скрещивающимися;
любые три прямые с одной семьи параллельные некоторой плоскости.
Доказательство можно посмотреть в методичке.
Пример. Найдите уравнение плоскости, параллельной плоскости и пересекает гиперболический параболоидпо двум прямолинейным образующим. Найдите канонические уравнения этих образующих.
Запишем уравнение параллельной плоскости Найдем ее пересечение с гиперболическим параболоидом.
Эта кривая второго порядка распадается на пару прямых, которые пересекаются, если естьИтак плоскость, которую мы ищем, имеет уравнениеДве прямые, лежат в этой плоскости и является пересечением с параболоидом:
и
или и
Уравнения этих прямых в пространстве:
и
Найдем канонические уравнения. Для первой прямой:
Для второй прямой:
Касательная плоскость
Воспользуемся некоторыми знаниями по математическому анализу.
Если поверхность задана неявным уравнением - точка на ней, то есть то уравнение касательной плоскости к поверхности в этой точке:
Здесь - частные производные по соответствующей переменной в данной точке Вектор - вектор нормали к поверхности в точке
Найдем уравнение касательной плоскости к эллипсоида
в точке принадлежащей эллипсоида.
Найдем частные производные:
Воспользуемся уравнением касательной плоскости к неявно заданной поверхности:
поскольку точка принадлежит эллипсоида.
Аналогично можно записать уравнение касательных плоскостей к другим поверхностям второго порядка в точке принадлежащей поверхности:
|
уравнение поверхности |
уравнение касательной плоскости |
эллипсоидной | ||
однополостный гиперболоид |
| |
двуполостные гиперболоид |
| |
эллиптический параболоид | ||
гиперболический параболоид |
Заметим, что с эллипсоидом, двуполостные гиперболоидом и эллиптическим параболоидом касательная плоскость имеет единую общую точку - точку касания и поверхность находится по одну сторону от касательной плоскости. Касательная плоскость пересекает однополостный гиперболоид и гиперболический параболоид по паре прямолинейных образующих; поверхность находится по разные стороны от касательной плоскости.
Пример. Через прямую проведите плоскости, касаются двуполостные гиперболоидаи определите точки соприкосновения.
Плоскости, проходящие через прямую, образуют пучок плоскостей. Запишем его уравнения: Запишем уравнение касательной плоскости к двуполостные гиперболоида в неизвестной точкепринадлежащей поверхности:
Нужно найти такую точку на поверхности, в которой касательная плоскость принадлежит пучка плоскостей есть:
Поскольку точка принадлежит поверхности, то
Итак касающиеся плоскости имеют уравнения
соответствующие точки соприкосновения
Ортогональная диагонализации матрицы квадратичной формы
Рассматриваем евклидово пространство с ортонормированным базисомКаждому векторус координатамипоставим в соответствие матрицуразмераили вектор-столбецпо правилу:
Скалярное произведение двух векторов ив ортонормированном базисе можно записать в виде
где ивектор-столбцы, образованные из координат соответствующих векторов.
Рассмотрим линейное пространство вектор-столбцов (матриц размера).Зададим в этом пространствескалярное произведение по формуле
Будем говорить, что вектор-столбцы ивзаимно ортогональны, если
Напомним несколько определений.
Пусть - матрица размера Число называется собственным числом матрицы если существует ненулевой вектор-столбец такой что
Вектор-столбец называетсясобственным вектором матрицы соответствующий собственному числу
Число является корнем характеристического уравнениякоторое является многочленом степениотносительноКорни этого многочлена могут быть комплексными. Но еслисимметричная матрица () с действительными элементами, то ситуация упрощается.