4.2.2. Вероятностные основы диагностирования

Решение о техническом состоянии объекта выносится всегда с определенной ошибкой. Ошибки диагностирования могут быть допущены в основном из-за неработоспособности средств диагностирования и погрешности измерений.

Правильное диагностирование технического состояния объекта определяется состоянием объекта и средств диагностирования, характеристиками измерительного устройства и устройства сравнения (рис. 4.1). Возможная ошибка диагностирования зависит от ряда событий, которые по своей физической природе являются случайными. Следовательно, количественные характеристики показателей диагностирования должны быть представлены вероятностями состояний объекта и средств диагностирования и вероятностями принятия решений о техническом состоянии.

Вероятностные основы диагностирования базируются на обобщенной формуле Байеса, которая получается следующим образом. Если имеются технический диагноз S_i и значение параметра Y_j, полученного при этом диагнозе, то вероятность совместного появления событий (наличия у объекта состояния S_i и значения параметра Y_j ) определяется выражением:

.

Из этого равенства вытекает формула Байеса:

. (4.14)

Отметим физический смысл параметров, входящих в эту формулу: P (S_i) - вероятность технического диагноза S_i , т.е. вероятность отнесения объекта к состоянию S_i , определяемая по статистическим данным (априорная вероятность технического диагноза). Так, если предварительно обследовано N объектов и у N_i объектов имелось состояние S_i , то

.

P (Y_j  S_i )  вероятность появления значения параметра Y_j у объектов с состоянием S_i . Если среди N_i объектов, имеющих технический диагноз S_i , у N_ij наблюдалось значение параметра Y_j, то

;

P (Y_j)  вероятность появления значений параметра Y_j во всех объектах независимо от состояния (технического диагноза) объекта. Пусть из общего числа N объектов значение параметра Y_j было обнаружено у N_j объектов, тогда

.

Для установления технического диагноза специального вычисления P(Y_j) не требуется. Как будет показано далее, значения P (S_i) и , известные для всех возможных состояний объекта, определяют величинуP (Y_j).

Левая часть равенства (4.14) характеризует вероятность технического диагноза S_i после того, как станет известно, что значение контролируемого параметра объекта равно Y_j (апостериорная вероятность технического диагноза).

Обобщенная формула Байеса. Эта формула относится к случаю, когда диагностирование осуществляется по совокупности параметров Y, включающей параметры Y₁, Y₂, ..., Y_n . Каждый из параметров Y_j имеет n значений (Y_j1, Y_j2, ..., Y_jn ). В результате диагностирования становится известной реализация каждого параметра и всей совокупности параметров(индексобозначает конкретное значение параметра). Формула Байеса для совокупности параметров имеет вид:

, (4.15)

где  вероятность технического диагноза S_i после того как стали известны результаты измерения параметров Y^;  априорная вероятность технического диагноза S_i (определяется по предшествующей статистике, т.е. по результатам предыдущего диагностирования).

Формула (4.15) относится к любому из n возможных состояний (технических диагнозов) объекта. Предполагается, что объект может находиться только в одном из указанных состояний, поэтому

.

В практических задачах нередко допускается возможность существования нескольких состояний А₁, ..., А_n , причем некоторые из них могут встретиться в комбинации друг с другом. Тогда в качестве различных технических диагнозов S_i следует рассматривать отдельные состояния S₁ = A₁, ..., S_r = A_r и их комбинации S _r+1 = A₁^A₂, ... и т. п.

Перейдем к определению . Если совокупность параметров состоит изn наименований, то

, (4.16)

где  j-е значение параметра объекта, . Для независимых параметров

. (4.17)

Вероятность появления совокупности параметров в соответствии с формулой полной вероятности

(4.18)

В этом случае обобщенная формула Байеса может быть записана так:

, (4.19)

где определяется равенством (4.16) или (4.17). Из соотношения (4.19) следует

,

чего не должно быть, так как один из диагнозов обязательно реализуется, а реализация одновременно двух диагнозов невозможна.

Следует обратить внимание на то, что знаменатель формулы Байеса для всех технических диагнозов одинаков. Это позволяет определить сначала вероятности совместного появления i-го диагноза и данной реализации совокупности параметров

, (4.20)

а затем апостериорную вероятность технического диагноза

. (4.21)

Если реализация некоторой совокупности параметров является детерминирующей для технического диагнозаS_i , то эта совокупность не встречается при других диагнозах:

Тогда в силу равенства (4.19)

(4.22)

Таким образом, детерминированная логика установления технического диагноза является частным случаем вероятностной логики. Формула Байеса может использоваться и в том случае, когда часть параметров имеет дискретное распределение, а другая часть – непрерывное. Для непрерывного распределения используются плотности распределения. Однако в расчетном анализе указанное различие параметров несущественно, если задание непрерывной кривой плотности распределения осуществляется с помощью множества дискретных значений.