Математика

Рис. 5

Задача 4. Построить кривую x6 = 4(x4 − y4 ).

Решение.

Поскольку x и y входят в четных степенях, замена x на – x и y на – y не изменяет уравнение кривой. Это говорит о том, что кривая расположена симметрично относительно координатных осей.

Поэтому достаточно построить кривую только в первой четверти, а потом, учитывая ее симметрию относительно координатных осей, построить ее в трех остальных четвертях.

Перейдем к полярной системе координат. Поместим полюс в начало прямоугольной системы координат, а полярную ось совместим с положительной частью оси абсцисс.

Воспользуемся формулами (2):

x = ρ cosϕ y = ρsin ϕ .

Получим

ρ6 cos6 ϕ = 4(ρ4 cos4 ϕ − ρ4 sin4 ϕ),

или

ρ6 cos6 ϕ = 4ρ4 cos 2ϕ ,

161

откуда	ρ2 =	4cos 2ϕ	.
		cos6 ϕ
Найдем ρ = 2	cos2ϕ .
	cos3 ϕ

Поскольку полярный радиус ρ может принимать только действительные значения, cos 2ϕ, стоящий под знаком корня

в полученном уравнении, не может быть отрицательным, то есть должно быть cos 2ϕ ≥ 0. Это значит, что угол 2ϕ должен нахо-

диться или в первой, или в четвертой четверти. Но мы уже выяснили, что достаточно построить кривую только в первой четверти, а поэтому будем рассматривать значения 2ϕ, удовлетво-

ряющие условию 0 ≤ 2ϕ ≤ π . Отсюда следует, что для

2

построения кривой в первой четверти углу ϕ следует придавать

значения от ϕ = 0 доϕ = π . 4

ϕ	0		π		π		3π		π
		16			8	16			4
ρ	2	2,02			2,13	2,08			0

Эскиз кривой показан на рис. 6.

Рис. 6

162

Учебное издание

СМЫШЛЯЕВА Татьяна Владимировна

МАТЕМАТИКА

Линейная алгебра, векторная алгебра, аналитическая геометрия

Издание второе, стереотипное

Учебное пособие

Редактор и корректор Е.В. Копытова

Подписано в печать 28.02.2012. Формат 60×90/16.

Усл. печ. л. 10,25.

Тираж 100 экз. Заказ № 38/2012.

Издательство Пермского национального исследовательского

политехнического университета.

Адрес: 614990, г. Пермь, Комсомольский пр., 29, к. 113.

Тел. [phone].

163