Математика

	Основные формулы								Определения и замечания
									шение, то она имеет бесконеч-
									но много различных решений.
									Замечание.
									Совместная система является
									неопределенной, если допус-
									кает бесчисленное множество
									решений.
	a11x + a12 y + a13 z = 0,								Система (8) – однородная (все
8.	a21x + a22 y + a23z = 0,							(8)	свободные члены равны ну-
	a31x + a32 y + a33z = 0.								лю).
9.	∆ ≠ 0 (для системы (8)).							(9)	Система	имеет	единственное
									решение x = 0, y = 0, z = 0.
10.	∆ = 0.							(10)	Система (8) помимо нулевого
									решения	имеет	бесконечно
									много ненулевых решений.
								Задачи
								3x + y + z = −2,
										= 10,
	Задача 1. Решить систему 5x − y − z
										= −12.
								x − y + 5z
	Решение.
			3	1	1
	Здесь ∆ =		5	− 1	− 1		= −48 .
			1	− 1	5
	Поскольку ∆ ≠ 0,				система имеет решение и притом единст-
венное.
	Найдем ∆ x , ∆ y , ∆ z :

31

− 2

1

1

∆ x =

10

− 1 − 1

= −48 ,

− 12

− 1

5

3

− 2

1

∆ y

=

5

10

− 1

= 96 ,

1

− 12

5

3

1

− 2

∆ z

=

5

− 1 10

= 144 .

1 − 1 − 12

Тогда по формулам

(4)

определяем

решение системы

x =

∆

x =

− 48

= 1,

y =

∆ y

=

96

= −2, z =

∆

z

=

144

= −3.

− 48

∆

− 48

∆

− 48

∆

Ответ: x = 1;

y = −2; z = −3.

x + 3y − 4z = 5,

Задача 2. Решить систему

− 3y + 6z = 11,

2x

− 3y + 10z = 21.

8x

Решение.

1

3

− 4

5

3

− 4

Здесь ∆ =

2

− 3

6

= 0 . ∆ x

=

11

− 3

6

= −132 .

8

− 3

10

21

− 3

10

Поскольку ∆ = 0, ∆ x ≠ 0 , система несовместна.

x − y + 2z = 0,

Задача 3. Решить систему

+ y + z = 0,

3x

− 3y + z = 0.

2x

32

Решение.

Здесь ∆ =

1

− 1

2

= −17 .

3

1

1

2

− 3

1

Поскольку

∆ ≠ 0

и система однородная, система имеет

единственное решение x = 0 ,

y = 0 ,

z = 0 .

§ 5. Обратная матрица.

Матричный способ решения систем

Основные формулы

Определения

и замечания

1.

A−1

– обратная матрица.

(1)

Матрица

A−1

называется

обратной для

квадратной

матрицы

А,

если

AA−1 =

= A−1 A = E ,

где

Е –

еди-

ничная

матрица

того

же

порядка, что и матрица А.

Следует запомнить, что по-

нятие обратной

матрицы

вводится только для квад-

ратной

матрицы,

причем

невырожденной, т.е. опреде-

литель ее отличен от нуля.

2.

Пусть

A –

квадратная матрица

и невырожденная

a11

a12 ...

a1n

a21

a22 ...

a2n

,

A =

...

... ... ...

an1

an2 ...

ann

33

Основные формулы

Определения

и замечания

A11

A12 ...

A1n

A* – матрица, элементами

A22 ...

A2n

которой являются алгебраи-

*

A21

(2)

A

=

.

ческие дополнения Aij для

... ... ...

...

A

A

...

A

элементов aij матрицы А.

~

n1

n2

nn

~

3.

–

присоединенная

матрица

A

Матрица A является

для матрицы А.

транспонированной по

A11

A21 ...

An1

отношению к матрице A* .

~

A12

A22 ...

An2

(3)

A

=

...

.

... ... ...

A1n

A2n ...

Ann

~

−1

1

~

=

=

Все элементы матрицы A

A

∆(A)

A

делим на ∆(A) ≠ 0 – опре-

A11

A21

An1

делитель матрицы А.

...

∆

∆

∆

4.

A12

A22

...

An2

=

∆

∆

∆

.

(4)

...

... ...

...

A

A

A

1n

2n

...

nn

∆

∆

∆

a11x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1,

Система n-линейных урав-

нений с n-неизвестными.

a21x1 + a22 x2 + ... + a2n xn = b2 ,

(5)

5.

Система неоднородная.

.............................................

+ a

+ ... + a

= b .

a

n1

x

n2

x

2

nn

x

n

1

n

AX = B –

(6)

матричное уравнение системы, где

34

Основные формулы								Определения
								и замечания
	a11	a12	...		a1n
A =	a21	a22	...		a2n		, (7)
			...
	... ...				...
		an2	...
	an1				ann
	x1			b1
	x2		B =	b2
X =		,			#	.
	#
	xn			bn
6.	X = A−1B.						(8)	Если система (5) записана
								в форме матричного урав-
								нения (6) и матрица А сис-
								темы невырожденная, то
								решение матричного	урав-
								нения находим по форму-
								ле (8).
								Следует запомнить:
								чтобы решить систему ли-
								нейных уравнений (5), дос-
								таточно:
								1) составить матрицу	A−1 ,
								обратную матрице А, со-
								стоящей из коэффициентов
								при неизвестных системы;
								2) умножить матрицу В, со-
								стоящую из столбца сво-
								бодных членов, слева на
								матрицу A−1 .

35

Задачи

Задача 1. Найти матрицу, обратную матрице

	2	− 1	0
			− 6
A = 5		3		.
			3
Решение.	− 1 − 2
Матрица А – квадратная.
2	− 1	0
Найдем ∆(A) = 5	3	− 6 = 3 .
− 1	− 2	3

Поскольку ∆(A)≠ 0, матрица А – невырожденная, и, следо-

вательно, существует обратная ей матрица. Вычисляем алгебраические дополнения:

A = (− 1)1+1								3 − 6							= −3 , A = (− 1)1+2																5 − 6									= −9 ,
11						− 2			3								12														− 1	3
A = (− 1)1+3					5				3				= −7, A = (− 1)2+1																	− 1 0						= 3,
13						− 1			− 2								21														− 2	3
A = (− 1)2+ 2								2 0			= 6,								A = (− 1)2+3											2 − 1								= 5,
22								− 1	3								23														− 1	− 2
A = (−1)3+1						−1			0						= 6,				A	= (− 1)3+2							2					0			= 12,
31						3			− 6								32										5					− 6
																			2	− 1
									A = (− 1)3+3													= 11.
									33										5	3
																	− 3			− 9			− 7
Составляем матрицу															A* =
																	3			6			5 .
																	6			12
																							11

36

Транспонируем матрицу A* , получаем

			~	− 3				3		6
					− 9			6
			A	=					12 .
					− 7			5
									11
				A−1 =				1		~
							∆(A)			A .
		− 3		3			6
										− 1 1 2
	1
A−1 =			− 9	6		12 =				− 3 2 4							.
3											7		5	11
			− 7	5		11				−
											3		3	3

Задача 2. Решить матричным способом систему уравнений

x + y − z = −2,

4x − 3y + z = 1,

2x + y = 5.

Решение.

В матричной форме эта система запишется в виде

		1 1		− 1				x				− 2
Здесь	A =		− 3							B =			=
		4		1	, X =			y ,				1 . X
		2 1		0				z				5
Найдем A−1 . Имеем ∆(A) =							1		1	− 1
							4		− 3	1	= −9 ≠ 0 .
							2		1	0

AX = B.

A−1B.

Вычислим алгебраические дополнения для aij матрицы А.

A11 = −1 ,	A12 = 2 ,	A13 = 10 ,
A21 = −1,	A22 = 2 ,	A23 = 1 ,
A31 = −2 ,	A32 = −5 ,	A33 = −7 .

37

− 1		2	10		~	− 1	− 1 − 2
	− 1	2	1				2	− 5
A* =				, тогда	A = 2				.
	− 2 − 5						1
			− 7			10		− 7

1

− 1

− 1

−

2

x

1

− 1

− 1

− 2

− 2

A−1 = −

2 2

−

5 и

y = −

2

2 − 5

1 =

9

9

−

10 1

7

z

10

1 − 7

5

1

2 −1−10

1

− 9

1

= −

− 4 + 2 − 25

= −

− 27

= 3

.

9

9

− 20 + 1− 35

− 54

6

Ответ: x = 1 ;

y = 3 ;

z = 6.

§ 6. Ранг матрицы

Основные формулы

Определения

и замечания

а11

а12 ...

а1k

...

а1n

а21

а22 ...

а2k

...

а2n

1.

A = ... ... ... ... ... ...

.

аk1

аk 2 ...

аkk

...

аkn

... ... ... ... ... ...

аm2 ...

аmk

...

аm1

аmn

a11

a12 ...

a1k

Минором

k-го порядка

матрицы

А называется

M k =

a21

a22 ...

a2k

.

(1)

определитель

квадрат-

... ... ... ...

ной матрицы, получаю-

ak1

ak 2 ...

akk

щийся из данной мат-

Минор k-го порядка матрицы А.

рицы выделением про-

извольных k строк и k

столбцов.

38

Основные формулы

Определения и замечания

Замечание.

Сами элементы матрицы можно рассматривать как миноры первого порядка. Некоторые из миноров матрицы могут быть равны нулю, другие отличны от нуля.

2. r(A) или rangA – ранг матрицы. (2) Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, отличных от нуля.

Следует запомнить,

что если ранг матрицы А равен r, то это означает, что в матрице А имеется хотя бы один отличный от нуля минор порядка r, но всякий минор порядка, большего чем r, равен нулю.

Замечание.

Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.

Следует запомнить,

что для определения ранга матрицы используют:

39

Основные формулы

Определения

и замечания

а) метод окаймляющих

миноров;

б) элементарные преоб-

разования матриц.

3.

Окаймляющим

мино-

a11

a12 ...

a1k

a1k +1

ром минора Mk

поряд-

M k +1 =

a21

a22 ...

a2k

a2k +1

.(3)

ка k (1) матрицы А на-

...

... ...

...

...

зывают минор порядка

ak1

ak 2 ...

akk

akk +1

k + 1 этой матрицы, со-

держащий минор Mk .

a

k +11

a

k +12

...

a

k +1k

a

k +1k +1

4.

A ~ B .

(4)

Две матрицы А и В на-

Матрицы A

и

B –

эквивалентные,

зываются

эквивалент-

r(A)

= r(B) .

ными, если одна из них

получается

из

другой

с помощью элементар-

ных преобразований.

Следует

запомнить,

что элементарными пре-

образованиями

матриц

являются:

a) перестановка

места-

ми двух строк матрицы;

б) умножение всех эле-

ментов строки матрицы

на число, отличное от

нуля;

в) прибавление ко всем

элементам строки мат-

рицы соответствующих

элементов другой стро-

ки, умноженных на од-

40