- •2) Для любого положительного числа в множестве m можно найти число , такое что
- •Арифметика бесконечно малых последовательностей.
- •Доказательство: (метод деления пополам).
- •Второй замечательный предел:
- •Доказательство:
- •Примеры:
- •Доказательство:
- •Производная сложной функции.
- •2)Доказательство аналогично.
- •Доказательство.
Второй замечательный предел:
.
На первый взгляд кажется, что при имеет пределом единицу (так как 1+при имеет пределом единицу, а единица в любой степени есть единица). Но в степень возводится 1+, а не единица. И вот из-за этой бесконечно малой добавки предел не равен единице. Чтобы приблизительно представить себе поведение функции при малых приведем таблицу значений этой функции:
1/2 |
1/3 |
1/4 |
0.01 |
0.001 |
|
2.25 |
2.37… |
2.44… |
2.7047… |
2.7169… |
Из этой таблицы видно, что с уменьшением функция увеличивается. Оказывается, что это имеет место для всех >0, а из этого следует, что функция имеет предел.
БИЛЕТ 17. Бесконечно малые функции. Определение и свойства (без док-ва). Сравнение бесконечно малых функций. Примеры.
Определение: Функция называется бесконечно малой функцией (б.м.ф.) при (или в
точке ), если .
Основные свойства бесконечно малых функций:
-
Сумма конечного числа б.м функций является функцией б.м.
-
Произведение б.м функции на ограниченную есть функция б.м.
-
Произведение двух б.м функций есть функция б.м.
-
Произведение б.м функции на константу является б.м функцией.
-
Частное от деления б.м функции на функцию, предел которой не равен нулю, есть функция б.м.
-
Функция , обратная к б.м функции , есть функция бесконечно большая.
Верно и обратное.
Бесконечно малые функции одного порядка:
Пусть и - две б.м. функции при .
Если , то является б.м. более высокого порядка при , чем ,
а - б.м. более низкого порядка по сравнению с : при .
Пример:
и . Предел отношений: 2 => одного порядка
Бесконечно малые функции более низкого и высокого порядков:
Определение 1:
Если , то является б.м. более высокого порядка при , чем ,
а - б.м. более низкого порядка по сравнению с : при .
Пример: и , Предел отношений равен 0
Определение 2:
Если , то - б.м. низшего порядка малости при по сравнению с
Пример: и , Предел отношений равен бесконечности
Определение 3:
Если , то называется б.м. порядка по сравнению
с при .
Пример: и , k=2, предел отношений равен: 1. А 1 не равен 0. Что и требовалось доказать.
Эквивалентные (равносильные) бесконечно малые функции:
Если , то б.м.
функции и называются эквивалентными или равносильными б.м. одного порядка при : при .
Пример: и являются эквивалентными б.м. в точке т.к. предел отношений при x->1 равен 1, также предел a(x) при x->1 равен 1 и предел b(x) при x->1 тоже равен 1.
БИЛЕТ 18. Эквивалентные бесконечно малые функции. Критерий эквивалентности. Теорема о замене на эквивалентные.
Определение: функция называется бесконечно малой при , если =0.
Теорема (критерий эквивалентности):
Пусть ,-бесконечно малые функции при .
-. Тогда ~ при .
Доказательства:
(). Пусть ~, , то есть .
=0,
то есть .
()..,.
=1.
Теорема (о замене на эквивалентные):
Пусть функция ~, ~ при и существует , тогда существует и =. То есть выражение или функцию можно заменять на эквивалентное.
=**=.
1 1
БИЛЕТ 19. Определения непрерывности функции в точке. Простейшие свойства непрерывных функций.
Определение 1: Функция непрерывна в точке , если .
Определение 2: Функция непрерывна в точке , если , .
Определение 3: Функция непрерывна в точке , если
.
Свойства непрерывных функций:
Теорема 1 (локальная огр.): Пусть функция непрерывна в точке , тогда .
Теорема 2 (отделимость от 0): Пусть функция непрерывна в точке и , тогда
. .
Теорема 3 (арифметика непрерывных функций): Пусть , непрерывны в точке , тогда:
1). непрерывна в точке .
2). непрерывно в точке .
3). Если , то непрерывно в точке .
БИЛЕТ 20. Непрерывность сложной функции.
Теорема: если функция непрерывна в точке , а функция непрерывна в точке то сложная функция непрерывна в точке .