- •2) Для любого положительного числа в множестве m можно найти число , такое что
- •Арифметика бесконечно малых последовательностей.
- •Доказательство: (метод деления пополам).
- •Второй замечательный предел:
- •Доказательство:
- •Примеры:
- •Доказательство:
- •Производная сложной функции.
- •2)Доказательство аналогично.
- •Доказательство.
Производная сложной функции.
Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке ,а функция z=F(y) имеет производную в точке , тогда сложная функция Ф(x)=F(f(x)) имеет производную в точке .
Доказательство: Функция f(x) непрерывна в окрестности точки , функция F(y) непрерывна в окрестности точки , поэтому в окрестности точки существует сложная функция Ф(x).Функция F(y) имеет производную в точке , поэтому она дифференцируема в этой точке.
(\/)
-бесконечно малая более высокого порядка, чем , но может быть неопределенна в точке =0, поэтому мы доопределяем ее по непрерывности в точке 0 : .Разделим равенство (\/) на :
F(y)=F(y(x))=Ф(x) и тогда равенство запишем в виде . Перейдем к пределу
. окажем, что , то y=f(x) непрерывна в окрестности точки , т.е. (и стремятся к 0 одновременно), т.е. (т.к. бесконечно малая более высокого порядка, чем ), а , т.о. получим формулу .
БИЛЕТ 28. Дифференцирование обратной функции.
Теорема: Пусть функция имеет в точке производную . Тогда обратная
функция имеет в соответствующей точке производную , которую можно
отыскать по формуле.
(4.14) |
Доказательство: Дадим аргументу приращение , такое что , и
рассмотрим соответствующее приращение , определяемое
равенством . Тогда, очевидно, ; при
этом , а из монотонности функции следует, что . Поскольку
как функция , так и функция непрерывны, то условия и эквивалентны.
Составим теперь разностное отношение для функции и запишем для него очевидное равенство:
Теперь перейдём в этом равенстве к пределу при и учтём, что при этом тоже стремится к 0:
что мы и хотели доказать.
Заметим, что, очевидно, из формулы (4.14) следует, что
(4.15) |
если -- функция, обратная к .
БИЛЕТ 29. Производные высших порядков.
Рассмотрим дифференцируемую функцию . Найдем её производную . Рассматривая как новую функцию, продифференцируем её:
Полученную новую производную называют второй производной от функции . Вторую производную обозначают так:
или .
Аналогично находится производная третьего, четвертого, и т.д. n-го порядка. Третья производная обозначается так:
Четвертая:
.
Производной n – го порядка от функции называется производная от производной -го порядка:
.
Производные высших порядков вычисляются последовательным дифференцированием данной функции.
БИЛЕТ 30. Теорема Ферма.
Теорема Ферма (необходимое условие extr):
Пусть определена на интервале (a,b) и точка если в точке функция f(x) достигает max или min значения и в точке существует производная, то f’()=0.
Доказательство.
Пусть для определенности в точке принимает max значение, т.е . В точке существует производная , тогда (правая и левая производная).Распишем отношение
переходя в этих интервалах к пределу, получим
Замечание.
Теорема носит локальный характер, т.е. точка является локальным экстремумом.
Геометрический смысл теоремы.
В предположение теоремы всегда существует точка, в которой касательная к графику функции параллельная OX.
БИЛЕТ 31. Теорема Ролля.
Теорема Ролля:
Пусть функция y=:
1) непрерывна на отрезке [a,b];
2) дифференцируема (a,b);
3) f(a)=f(b), тогда
Доказательство.
Функция f(x), непрерывна на [a,b] достигает на нем max M и min m значения, т.е . Возможны два случая.
1) и
2) ,тогда либо максимальное значение f(x) либо минимальное значения f(x) достигается внутри интервала (a,b) (не на конце отрезка [a,b]).(f(a)=f(b)). , тогда достигает максимального или минимального значения во внутренней точке интервала (a,b) и по теореме Ферма
Все условия теоремы Ролля существенные. Если выполняется, только 2 из 3(см. картинку), то не существует точка причем (касательная параллельная оси ОХ).
БИЛЕТ 32. Теорема Лагранжа (формула конечных приращений).
Теорема Лагранжа.
Пусть функция f(x)
-непрерывна на отрезке [a,b];
-дифференцируема на интервале (a,b);
Тогда (формула конечных приращений)
Доказательство.
Рассмотрим функцию .Параметр выберем из условия F(a)=F(b)
Функция F(x) удовлетворяет всем условием т.Ролля (она непрерывна и дифференцируема, как сумма непрерывных и дифференцируемых функций )
Геометрический смысл.
В предположение теоремы существует точка :касательная к графику функции параллельна секущей(хорде).
Следствие.
Пусть f(x) определена, непрерывна и дифференцируема на (a,b). И в каждой точке интервала (a,b) , тогда f(x)=const.
Доказательство.
Пусть x1 и x2 две произвольные точки интервала(a,b),тогда , точка лежит между этими точками x1 и x2, по условию , т.е f(x)=const(в силу произвольности выбора x1 и x2).
БИЛЕТ 33. Теорема Коши (обобщенная формула конечных приращений).
Теорема Коши.
Пусть функции и g(x) определены на интервале (a,b)
1) и g(x) непрерывны на [a,b];
2) и g(x) дифференцируемы на (a,b) причем , тогда
Доказательство.
Рассмотрим функцию параметр выбрали из условия
.
Для функции F(x) выполнены условия теоремы Ролля. Формулировка теоремы Ролля Сравнивания формулы для , получим утверждение теоремы.
Следствие.
Теорема Лагранжа. Если ,то .
БИЛЕТ 34. Условие постоянства функции. Условие монотонности функции.
На рисунке нарисован график функции , всюду имеющей производную. В точке касательная к и ось образуют острый угол , поэтому ее угловой коэффициент, равный , положителен. Но . Следовательно, . И так будет в любой точке интервала , где функция монотонно возрастает. Напрашивается вывод: если на интервале , то на этом интервале функция монотонно возрастает. Далее, в точке касательная к образует с осью тупой угол , поэтому ее угловой коэффициент, равный отрицателен. А так как , то . Вывод: если на интервале , то на этом интервале функция монотонно убывает. В точке функция имеет максимум. На чертеже ясно, что в этой точке касательная к параллельна оси , и поэтому ее угловой коэффициент равен нулю, так что . При этом слева от этой точки, а справа .
Теорема (достаточный признак монотонности).
1). Если на отрезке , то монотонно возрастает на .
2). Если на отрезке , то монотонно убывает на .
Доказательство:
Возьмем любые числа и , причем <, из интервала . По формуле Лагранжа получаем: , , и поэтому принадлежит интервалу . Так как , то в первом случае , то есть , а во втором , то есть , что и требовалось доказать.
БИЛЕТ 35. Экстремумы функции. Достаточные условия экстремума.
Теорема 1. Необходимое условие экстремума.
Пусть точка х0 является точка экстремума для функции f(x). Тогда, если существует f’(x0), то f’(x0)=0, либо f’(x0) не существует.
В точке х1 – min; в точке х2 – max.
Теорема 2. Достаточное условие строгого extr в терминах первой производной.
Пусть f(x) дифференцируема в некой окрестности точки х0, и в точке х0 f(x) непрерывна. Если f’(x) при переходе через точку х0 меняет знак, то точка х0 является точкой строгого экстремума, при этом 1)если при , а при
то в точке х0 – минимум. 2)если при , а при то в точке х0 максимум.
Доказательство.
Докажем 1) .Теорема Лагранжа . а) Если х-х0>0 и . б) если х-х0<0 и , т.е при переходе через точку х0 не меняет свой знак: >0, т.е точка х0-точка минимума.