Экзаменационный билет № 01

1. Задача Коши для одномерного волнового уравнения на всей прямой. Формула Даламбера.

2. Теорема сложения вероятностей (с доказательством). Вероятность противоположного события.

3. Найти решение смешанной задачи

, ,

ГУ: ; НУ:.

4. В хлопке 75% длинных волокон. Какова вероятность того, что среди взятых наудачу трёх волокон окажутся 2 длинных волокна?

1. Задача Коши для одномерного волнового уравнения на всей прямой имеет вид:

, ,,

начальные условия: ,.

Решение задачи будем искать в виде суммы прямой и обратной бегущих волн:

.

Воспользуемся для нахождения функций иначальными условиями:

: ,

: .

Интегрируя уравнение в пределах отдо, получим

.

Тогда из системы

, ,

находим

,

.

Значит,

.

Итак, решение задачи Коши для одномерного волнового уравнения на всей прямой имеет вид

.

Это формула Даламбера.

2. Теорема сложения вероятностей. Если события исовместны, то

.

Доказательство. Пусть – числе всех равновозможных исходов испытания, в результате которого могут появиться событияи. Пусть– число тех исходов, которые благоприятствуют событию,– число тех исходов, которые благоприятствуют событию,– число тех исходов, которые благоприятствуют произведению событий. Тогда событиюблагоприятствуют исходы числом. Значит, по формуле классической вероятности

.

Следствие. Если события инесовместны, тои

.

Для трех событий ,итеорема сложения имеет вид

.

Для событий теорема сложения имеет вид

.

Противоположные события инесовместны и в сумме дают достоверное событие, поэтому

,

откуда получаем формулу для вероятности противоположного события

.

3. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, ,.

Тогда функции иявляются соответственно решениями уравнений

, .

Из граничных условий ,получаем краевые условия для функции:,, значит,,. Таким образом, для определенияиполучаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку (призадача имеет только тривиальные решения), то общее решение уравненияимеет вид

.

Из краевого условия получаем:, т.е..

Из краевого условия получаем:. Посколькуи, тои равенствовозможно тогда и только тогда, когда, откуда получаем,, т.е.,. Тогда получим,. Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

собственные значения ,;

собственные функции ,.

Теперь при каждом решаем уравнение для:

, .

Общее решение этого уравнения имеет вид

.

Тогда

.

Для нахождения коэффициентов ,, воспользуемся начальным условием.

Начальное условие дает

,

откуда

, ,.

Тогда решение задачи есть

.

4. Мы имеем дело с последовательностью независимых испытаний по схеме Бернулли, где событие «успех» – появление при выборе длинного волокна. По условию вероятность «успеха» равна . Проведеноиспытаний. Тогда по формуле Бернулли вероятность того, что «успех» появится ровно 2 раза (т.е. среди взятых наудачу трёх волокон окажутся 2 длинных волокна), равна

.

Экзаменационный билет № 02

1. Задача Коши для неоднородного волнового уравнения на всей прямой.

2. Формула полной вероятности (с доказательством). Формула Байеса.

3. Найти решение смешанной задачи

, ,

ГУ: ; НУ:.

4. Плотность вероятности случайной величины имеет вид,. Найти вероятность того, чтопопадет на.

1. Задача Коши для неоднородного волнового уравнения на всей прямой имеет вид:

, ,,

начальные условия: ,.

Для решения этой задачи разобьем её на две:

Тогда . Функциюможно записать по формуле Даламбера

.

Для нахождения строим вспомогательную задачу

,

, ,

при этом .

Функция также может быть записана по формуле Даламбера

,

а потому

,

и, таким образом,

2. События образуют полную группу попарно несовместных событий, если:

а) они являются попарно несовместными, т.е. при;

б) .

Теорема. Пусть – некоторое событие, а событияобразуют полную группу попарно несовместных событий. Тогда имеет место формула полной вероятности

.

Доказательство. Заметим, что событие можно представит в виде суммы попарно несовместных событий (рис.):

.

Рис.

Используя теорему сложения, получим

.

Применяя к слагаемым последней суммы теорему умножения

,

получим

.

События называют гипотезами.

Часто бывает, что событие может происходить при двух взаимоисключающих условияхи. Если, то событияиобразуют полную группу событий и формулу полной вероятности можно записать в виде

.

Теорема. Пусть события удовлетворяют условиям, сформулированным в условии теоремы о формуле полной вероятности и. Тогда справедлива формула Байеса

.

Доказательство. Используя определение условной вероятности, получим

,

откуда

.

Далее, расписав в знаменателе по формуле полной вероятности, получим формулу Байеса.

Вероятности гипотез называют еще априорными вероятностями, а вероятности– апостериорными вероятностями (– до опыта,– после опыта).

Если гипотезы две – и, то формулы Байеса для апостериорных вероятностей имеет вид

, .

3. Для решения задачи воспользуемся методом Фурье (разделения переменных). Нетривиальные решения уравнения будем искать в виде. Подставляем в уравнение и разделяем переменные:

, ,

: ,

, ,.

Тогда функции иявляются соответственно решениями уравнений

, .

Из граничных условий ,получаем краевые условия для функции:,, значит,,. Таким образом, для определенияиполучаем задачу Штурма-Лиувилля

: ,

, .

Поскольку мы имеем дело со второй краевой задачей, то является собственным значением, а– соответствующей ему собственной функцией.

Пусть теперь (призадача имеет только тривиальные решения). Общее решение уравненияимеет вид

.

Тогда . Из краевого условияполучаем:,, т.е.и.

Из краевого условия получаем:. Посколькуи, тои равенствовозможно тогда и только тогда, когда, откуда получаем,, т.е.,. Тогда получим,. Таким образом, получили решение задачи Штурма-Лиувилля:

собственные значения ,,;

собственные функции ,,.

Теперь при каждом решаем уравнение для:

, .

При получим уравнение, откуда

.

При общее решение этого уравнения имеет вид

.

Тогда

.

Для нахождения коэффициентов ,, воспользуемся начальным условием.

Из начального условия получаем:

,

откуда

, ,,,.

Тогда решением задачи является функция

.

4. Вероятность того, что попадет нанайдем, интегрируя плотностьотдо:

.