27. Ознакомление учащихся с функциональной зависимостью

Содержание начального курса математики позволяет сформировать у учащихся представление об. одной из важнейших идей математики — идее соответствия. При выполнении заданий на нахождение значений выражений, заполнении таблиц учащиеся устанавливают, что каждой паре чисел соответствует не более одного числа, полученного в результате выполнения действия. Так, например, при вычитании числам 5 и З соответствует число 2, числам 1 и 1—О, а числам 2 и 4 не соответствует ни одно число, так как выражение 2—4 невыполнимо на множестве целых неотрицательных чисел. для того чтобы ученики осознали это, содержание заполненных таблиц полезно проанализировать: сколько значений может принимать данное числовое выражение, зависит ли результат от изменения хотя бы одного из компонентов выражения. Особенно удобно проводить такую работу над таблицами, содержащими выражения с одним неизменяющимся компонентом действия.

При выполнении заданий «В разности а— 15 (или а:5) подставь вместо а три числовых значения и вычисли значение выражения при этих значениях а» учащиеся неявно используют условие выполни- мости вычитания и деления на множестве целых неотрицательных чисел. Здесь фактически идет речь об области определения функции.

В начальном курсе математики учащиеся имеют возможность ознакомиться с тремя способами задания функции: табличным, словесным, аналитическим, например, при выполнении задания: «Рассмотри, как получены в таблице числа второй строки из чисел первой строки и заполни таблицу»

Словесно формулируя зависимость между числами первой и второй строк таблицы, заполняя таблицу, ученики по существу задают функцию у=2х тремя способами.

При изучении табличных случаев :i 2, 3, 4 учащиеся неявно пользуются композицией функций, прибавляя и вычитая число по частям. Например, чтобы к числу прибавить 3, надо к этому числу сначала прибавить 2, а затем еще 1. Фактически здесь речь идет о композиции: у(х) = Т(р(х)), где у(х) = х + 3, р(х)

К § 26

С функциональными зависимостями учащиеся знакомятся и при решении задач. Приведем примеры упражнений, в которых дети встречаются с зависимостями величин. В корзине 30 апельсинов. Сколько апельсинов останется, если возьмут 10; 8; 3; 1? На основании полученных ответов учащиеся могут прийти к выводу: чем меньше апельсинов Возьмут, тем больше их останется. По существу здесь речь идет о функциональной зависимости у= 30—х. Кувшин вмещает 2 л молока. Сколько литров молока в З таких кувшинах; в 6? Учащиеся еще до решения задачи могут сказать, что в 6 кувшинах молока больше, чем в трех. Этот ВЫВОД подтверждают и ответы, получаемые при подстановке различных исходных данных. Фактически здесь рассматривается функция у = 2х. Функциональной зависимостью связано, например, множество многоугольников с множеством чисел, характеризующим количество углов (вершин, сторон) в них. Это используется в учебнике математики для 1 класса, где изучение многоугольников происходит параллельно с изучением чисел первого десятка. С введением буквенной символики, когда появляется возможность задавать функциональные зависимости формулой, можно выполнять упражнения, в которых требуется найти, например, сумму 4 + а, если а принимает значения 5, 7, 11, 16, т. е. найти значения функции при заданных значениях переменной. Основными видами функциональной зависимости, изучаемыми в начальных классах, являются прямая и обратная пропорциональности. Это зависимость между скоростью и расстоянием (при одинаковом времени движения), временем движения и расстоянием, пройденным за это время (при равномерном движении), ценой и стоимостью покупки, между длиной прямоугольника и его площадью (при неизменной ширине) и некоторыми другими величинами. Понятие пропорциональности вводится через задачи (см. § 20, 21). Вопросы и задания для самостоятельной работы К 22

8. Почему понятие уравнения вводится в начальных классах в несколько этапов? Охарактеризуйте содержание каждого из них. 9. Покажите на примерах особенности методики обучения учащихся решению уравнений на каждом из этапов. К § 27 10. Расскажите о возможностях формирования у учащихся понятий соответствия, функции. для ответа используйте материал 9 (формирование понятия функции через игру) и § 21 (формирование понятия функции через задачи).

1. Какова роль алгебраического материала в курсе математики начальной школы? К § 23 2. Назовите в порядке возрастающей сложности типы числовых выражений, изучаемых в ‘—‘У классах. З. Опишите методику обучения учащихся чтению числовых выражений. К § 24 4. Назовите и охарактеризуйте этапы знакомства учащихся с понятием переменной. 5. Приведите примеры упражнений, используемых на разных этапах формирования у учащихся понятия переменной. К § 25 6. Объясните, чем обусловлено использование в начальных классах неравенств с переменной. 7. Какими методами решения неравенств с переменной должны владеть младшие школьники?

ЭЛЕМЕНТЫ ГЕОМЕТРИИ В НАЧАЛЬНОЙ ШКОЛЕ