Федеральное агентство по образованию Российской Федерации Волгоградский государственный технический университет Кафедра физики

Р. Н. Никулин, Н. В. Грецова

Физический практикум

Учебное пособие

РПК «Политехник» Волгоград

2007 г.

УДК 53 (075.5)

Рецензенты:

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий лабораторией ИРЭ РАН, Генеральный директор медико-технической ассоциации КВЧ, Лауреат Государственной премии РФ О.В. Бецкий; доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой общей физики ВГПУ С.В. Крючков

Физический практикум. Учеб. пособие / Р. Н. Никулин, Н. В. Грецова / ВолгГТУ. – Волгоград, 2007. – 189 с.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Волгоградского государственного технического университета

Учебное пособие содержит описания 22 лабораторных работ по первой части курса общей физики.

Предназначено для студентов первого курса технических специальностей ВУЗов.

© Волгоградский государственный технический университет, 2007

2

ПРЕДИСЛОВИЕ

Бурное развитие современной техники стало возможным благодаря достижениям в области физики. Создание микропроцессоров на базе нанотехнологий, систем сотовой, космической связи, новейших систем отображения информации (жидкокристаллические, проекционные и плазменные телевизоры) основывается на исследованиях в области теоретической физики, проводимых с середины прошлого века. Несмотря на тот факт, что большая часть современной техники произведена за рубежом, теоретическая база для ее создания была заложена, в основном, в нашей стране советскими учеными. Например, советские исследователи Басов, Прохоров и (независимо от них) американский Таунс впервые создали оптический квантовый генератор – ЛАЗЕР, за что впоследствии получили Нобелевскую премию по физике; СССР стал основоположником новой науки – СВЧ–электроники, позволившей создать различные вакуумные электронные лампы (одна из которых – магнетрон – является основой всех СВЧ– печей); исследования выдающегося ученого, Нобелевского лауреата Ж. И. Алферова, проводимые в 60–х–70–х годах прошлого века в Советском Союзе стали основой для создания современной полупроводниковой микроэлектроники, в частности, систем сотовой связи и сотовых телефонов. Все это говорит о том, что дальнейшее развитие техники невозможно без исследований в области физики. Поэтому современный специалист в области техники должен знать и понимать ее теоретическую базу – физику.

В Волгоградском государственном техническом университете (ВолгГТУ) студенты технических специальностей начинают изучение физики со второго учебного семестра и изучают ее на протяжении полутора лет. Курс физики разбит на лекционную, практическую и экспериментальную (лабораторную) части.

Экспериментальное обучение физике студенты первокурсники технических специальностей проходят в учебной физической лаборатории кафедры физики – «Механика». Основной задачей физического практикума является более глубокое понимание студентами основных физических закономерностей и приобретение базовых навыков экспериментирования.

Материалы данной книги являются итогом многолетней работы коллектива кафедры физики ВолгГТУ по совершенствованию физического практикума, изучаемого студентами на ее базе. Книга написана в соответствии с настоящим состоянием лаборатории и с рабочими программами по дисциплине «Физика» для технических специальностей. В данное учебное пособие включены описания 22 лабораторных работ, соответствующих первой и второй частям общего курса физики – «Механика» и «Молекулярная физика и термодинамика», выполняемых студентами первого курса, обучающимися в ВолгГТУ по техническим специальностям.

Данное пособие написано сотрудниками кафедры физики ВолгГТУ, доцентами Р. Н. Никулиным (предисловие, разделы 1 – 5, лабораторные

3

работы №№ 1–8, №12, №13, №18) и Н. В. Грецовой (разделы 6–10, лабораторные работы №№ 9 – 11, №№ 15–17, №№ 19–22).

Авторы выражают глубокую благодарность всем сотрудникам кафедры физики, кто когда–либо принимал участие в создании и совершенствовании лабораторных работ и методических указаний к ним.

4

Глава 1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ

ИПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ

1.1.Измерения. Классификация ошибок измерений

Вфизике и в других науках весьма часто приходится производить измерения различных величин (например, длины, массы, времени, температуры, электрического сопротивления и т. д.).

Измерение – процесс нахождения значения физической величины с помощью специальных технических средств – измерительных приборов.

Измерительным прибором называют устройство, с помощью которого осуществляется сравнение измеряемой величины с физической величиной того же рода, принятой за единицу измерения.

Различают прямые и косвенные методы измерений.

Прямые методы измерений – методы, при которых значения определяемых величин находятся непосредственным сравнением измеряемого объекта с единицей измерения (эталоном). Например, измеряемая линейкой длина какого–либо тела сравнивается с единицей длины – метром, измеряемая весами масса тела сравнивается с единицей массы – килограммом и т. д. Таким образом, в результате прямого измерения определяемая величина получается сразу, непосредственно.

Косвенные методы измерений – методы, при которых значения определяемых величин вычисляются по результатам прямых измерений других величин, с которыми они связаны известной функциональной зависимостью. Например, определение длины окружности по результатам измерения диаметра или определение объема тела по результатам измерения его линейных размеров.

Ввиду несовершенства измерительных приборов, наших органов чувств, влияния внешних воздействий на измерительную аппаратуру и объект измерения, а также прочих факторов, все измерения можно производить только с известной степенью точности, поэтому результаты измерений дают не истинное значение измеряемой величины, а лишь приближенное. Если, например, масса тела определена с точностью до 0,1 мг, то это значит, что найденная масса отличается от истинной менее чем на 0,1 мг.

Точность измерений – характеристика качества измерений, отражающая близость результатов измерений к истинному значению измеряемой величины.

Чем меньше погрешности измерений, тем больше точность измерений. Она зависит от используемых при измерениях приборов и от общих методов измерений. Совершенно бесполезно стремиться при измерениях в данных условиях перейти за этот предел точности. Можно свести к минимуму воздействие причин, уменьшающих точность измерений, но полностью избавиться от них невозможно, то есть при измерениях всегда совер-

5

шаются более или менее значительные ошибки (погрешности). Для увеличения точности окончательного результата всякое физическое измерение необходимо делать не один, а несколько раз при одинаковых условиях опыта.

В результате i–го измерения (i – номер измерения) величины “Х”, получается приближенное число Хi, отличающееся от истинного значения Хист на некоторую величину ∆Хi = |Хi – Х|, которая является допущенной ошибкой или, другими словами, погрешностью. Истинная погрешность нам не известна, так как мы не знаем истинного значения измеряемой величины. Истинное значение измеряемой физической величины лежит в интервале

Xi −∆X ≤ Xист ≤ Xi +∆X ,

(1.1)

где Хi – значение величины Х, полученное при измерении (то есть измеренное значение); ∆Х – абсолютная погрешность определения величины Х.

Абсолютная ошибка (погрешность) измерения ∆Х – это абсолютная величина разности между истинным значением измеряемой величины Хист и

результатом измерения Xi: ∆Х = |Хист – Xi|.

Относительная ошибка (погрешность) измерения δ (характеризующая точность измерения) численно равна отношению абсолютной погрешности измерения ∆Х к истинному значению измеряемой величины Хист (часто вы-

ражается в процентах): δ = (∆Х / Хист)·100%.

Погрешности или ошибки измерений можно разделить на три класса: систематические ошибки, случайные ошибки и грубые ошибки (промахи).

Систематической ошибкой называют такую погрешность, которая остается постоянной или закономерно (согласно некоторой функциональной зависимости) изменяется при повторных измерениях одной и той же величины.

Такие погрешности возникают в результате конструктивных особенностей измерительных приборов, недостатков принятого метода измерений, каких–либо упущений экспериментатора, влиянием внешних условий или дефектом самого объекта измерения.

В любом измерительном приборе заложена та или иная систематическая погрешность, которую невозможно устранить, но порядок которой можно учесть. Систематические погрешности либо увеличивают, либо уменьшают результаты измерения, то есть эти погрешности характеризуются постоянным знаком. Например, если при взвешивании одна из гирь имеет массу на 0,01 г большую, чем указано на ней, то найденное значение массы тела будет завышенным на эту величину, сколько бы измерений ни производилось. Иногда систематические ошибки можно учесть или устранить, иногда этого сделать нельзя. Например, к неустранимым ошибкам относятся ошибки приборов, о которых мы можем лишь сказать, что они не превышают определенной величины.

6

Случайными ошибками называют ошибки, которые непредсказуемым образом изменяют свою величину и знак от опыта к опыту. Появление случайных ошибок обусловлено действием многих разнообразных и неконтролируемых причин. Например, при взвешивании весами этими причинами могут быть колебания воздуха, осевшие пылинки, разное трение в левом и правом подвесе чашек и др. Случайные ошибки проявляются в том, что произведя измерения одной и той же величины Х в одинаковых условиях опыта, мы получаем несколько различающихся значений: Х1, Х2, Х3,…, Хi,…, Хn, где Хi – результат i–го измерения. Установить какую–либо закономерность между результатами не удается, поэтому результат i–го измерения Х считается случайной величиной. Случайные ошибки могут оказать определенное влияние на отдельное измерение, но при многократных измерениях они подчиняются статистическим законам и их влияние на результаты измерений можно учесть или значительно уменьшить.

Промахи и грубые погрешности – чрезмерно большие ошибки, явно искажающие результат измерения. Этот класс погрешностей вызван чаще всего неправильными действиями экспериментатора (например, из–за невнимательности вместо показания прибора «212» записывается совершенно другое число – «221»). Измерения, содержащие промахи и грубые погрешности, следует отбрасывать.

Измерения могут быть проведены техническим и лабораторным методами.

При использовании технических методов измерение проводится один раз. В этом случае удовлетворяются такой точностью, при которой погрешность не превышает некоторого определенного, заранее заданного значения, определяемого погрешностью примененной измерительной аппаратуры.

При лабораторных методах измерений требуется более точно указать значение измеряемой величины, чем это допускает ее однократное измерение техническим методом. В этом случае делают несколько измерений и вычисляют среднее арифметическое полученных значений, которое принимают за наиболее достоверное (истинное) значение измеряемой величины. Затем производят оценку точности результата измерений (учет случайных погрешностей).

Из возможности проведения измерений двумя методами вытекает и существование двух методов оценки точности измерений – технического и лабораторного.

1.2. Оценка точности результатов одного прямого измерения

Пусть при повторении измерений в одних и тех же условиях 3–4 раза получили одинаковое значение Х = Х0. Можно ли утверждать, что Хист = Х0? Нет. Данный результат означает лишь, что истинное значение Х заключено в интервале

7

X = X0 ± ∆X,

(1.2)

где погрешность ∆X определяется в данном случае воспроизводящимися от опыта к опыту ошибками, обычно связанными с неточностью измерительных приборов или метода измерений. Такую погрешность ∆Х, как уже отмечалось, называют систематической. Проведение дальнейших измерений в этих условиях бессмысленно. Результат измерений записывается в виде равенства (1.2), где ∆Х = ∆Хсист. Для более точного определения физической величины Х в данном случае необходимо изменить постановку самого опыта: взять прибор более высокого класса точности, улучшить методику измерений и т. п. В простейших случаях ∆Хсист определяется погрешностями измерительных приборов, то есть для выверенных приборов – их классом точности.

Пример. При измерении диаметра цилиндра штангенциркулем в различных местах получено одинаковое значение D = 12,5 мм. Абсолютная погрешность штангенциркуля 0,1 мм. Запишите результат измерений и произведите оценку точности измерения.

Результат измерения следует записать так: D = (12,5 ± 0,1) мм. Предельная относительная погрешность технического измерения равна

относительной погрешности штангенциркуля δ = ∆DD = 12,50,1 100 %=0,8 % .

1.3. Классы точности приборов

Для характеристики большинства измерительных приборов часто ис-

пользуют понятие приведенной погрешности или класса точности.

Приведенной погрешностью измерительного прибора считают выраженное в процентах отношение наибольшей абсолютной погрешности ∆Хнаиб к верхнему пределу измерения прибора Xпр (то есть наибольшему ее значению, которое может быть измерено по шкале прибора):

γ =	∆Xнаиб	100 % .	(1.3)
	Xпр

По приведенной погрешности (по классу точности) приборы делятся на восемь классов: 0,05; 0,1; 0,2; 0,5; 1,0; 1,5; 2,5; 4. Приборы класса точности 0,05; 0,1; 0,2; 0,5 применяются для точных лабораторных измерений и называются прецизионными (от англ. precision – точность). В технике применяются приборы классов 1,0; 1,5: 2,5 и 4 (технические). Класс точности прибора указывается на шкале прибора. Если на шкале такого обозначения нет, то данный прибор внеклассный, то есть его приведенная погрешность превышает 4 %. Производитель, выпускающий прибор, гарантирует относительную погрешность измерения данным прибором, равную классу точности (приведенной погрешности) прибора при измерении величины, дающей отброс указателя на всю шкалу. Определив по шкале прибора класс точности и предельное значение, легко рассчитать его аб-

8

солютную погрешность ∆X = ±γ X пр /100 % , которую принимают одинаковой

на всей шкале прибора. Знаки «+» и «–» означают, что погрешность может быть допущена как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения от действительного значения измеряемой величины.

При использовании приборов для конкретных измерений редко бывает так, чтобы измеряемая величина давала отброс стрелки прибора на всю его шкалу. Как правило, измеряемая величина меньше. Это увеличивает относительную погрешность измерения. Для оптимального использования приборов их подбирают так, чтобы значения измеряемой величины приходились на конец шкалы прибора, это уменьшит относительную погрешность измерения и приблизит ее к классу точности прибора. В тех случаях, когда на приборе класс точности не указан, абсолютная погрешность принимается равной половине цены наименьшего деления.

Точность прибора невозможно превзойти никаким методом измерения на нем. Для более точных измерений применяют приборы более высокого класса точности.

1.4. Определение погрешности отдельного измерения при косвенных методах измерения

При косвенных методах измерения, когда измеряемая величина вычисляется, погрешность измерения определяется следующим образом. По-

ложим, что искомая величина А определяется выражением
A = Bn·Cm·Dp,	(1.4)

где В, С и D – величины, полученные в результате прямых измерений; n, m и p – показатели степени при В, С и D, которые могут быть целыми и дробными, положительными и отрицательными.

Прологарифмируем правую и левую части уравнения (1.4), в резуль-

тате чего получим выражение:
LnА = n · LnB + m · LnC + p · LnD,					(1.5)
продифференцировав которое, найдем:
dA	dB	dC		dD
A = n	B + m	C	+ p	D .	(1.6)

Заменяя дифференциалы dА, dВ, dС и dD малыми приращениями ∆А, ∆В, ∆С и ∆D (которые можно рассматривать как абсолютные погрешности), можно написать:

∆A	= n	∆B	+ m	∆C	+ p	∆D
A		B		C		D .	(1.7)

Уравнение (1.7) дает возможность, зная погрешность измерения отдельных величин, определить наибольшую возможную погрешность искомой величины А. Так как погрешности могут быть и положительными и отрицательными, то при нахождении возможной погрешности следует все-

9

гда брать наиболее неблагоприятный случай, то есть относительные погрешности в предыдущем выражении следует всегда брать со знаком «+».

В общем случае, если Х определяется по результатам измерений других величин, например, y и z, X = f(y, z). Тогда за наилучшее значение X принимается величина X0 = f(y0, z0), где y0 и z0 результаты прямых измерений величин y и z, а наибольшая возможная погрешность косвенного измерения величины X находится через ошибки прямых измерений величин y и z по правилу дифференцирования:

∆X = f (

y + ∆y, z + ∆z)− f (

y , z

)≈ ∆y ∂f

+ ∆z ∂f

(1.8)

∂y

∂z .

Необходимо отметить, что более точным является следующее выра-

жение:

∆X =

∂f

2

∆y

2

∂f

2

∆z

2

,

(1.9)

∂y

+

∂z

где

∂f

и ∂f

– частные производные по y и z,

взятые при значениях

∂y

∂z

y = y0, z = z0.

1.5. Вероятность случайного события

Изучением случайных величин занимается раздел математики, носящий название теории вероятностей. Рассмотрим основные понятия и положения теории вероятностей.

Случайным называется событие, которое в данных условиях может произойти, а может не произойти. В качестве примера рассмотрим игральную кость, представляющую собой кубик, на гранях которого проставлены цифры 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Этот кубик подбрасывается вверх и падает на стол. Какая цифра окажется на верхней грани? Этого предсказать заранее нельзя.

Будем называть событием выпадение вполне определенной грани, например, грани с цифрой 1. Это событие, очевидно, является случайным, так как при данном бросании цифра 1 может выпасть, а может и не выпасть. Какова вероятность этого события (выпадение грани с цифрой 1)?

Математическая вероятность какого–либо события равна отношению числа случаев, в которых осуществляется это событие, к общему числу всех несовместимых единственно и равновозможных случаев. В данном примере общее число всех несовместимых единственно и равновозможных случаев – шесть, так как при бросании кубика на верхней грани может оказаться любая цифра от 1 до 6. Случаи называются единственно возможными, если ничего другого выпасть не может (например, цифра 7). Несовместимыми они называются потому, что, если при данном бросании выпадает 5, то при этом же бросании уже не может выпасть цифра 6. Итак,

10

общее число случаев или исходов при одном бросании 6. Исход, благоприятный данному событию (выпадению 1), только один. Поэтому вероятность выпадения цифры 1 равна 1/6. Такова же вероятность выпадения любой другой цифры.

Кроме классического определения вероятности существует так называемое частное определение. Положим, мы бросаем игральную кость n раз (пусть n ≈ 6000). Сколько раз при этом выпадает 1 (или любое другое число)? Пусть единица выпадает k раз. Так вот, вероятностью Р события, заключающегося в выпадении грани с цифрой 1, называется предел, к которому стремится отношение k/n при n → ∞

P = lim	k	.	(1.10)
n→∞ n

В заключение отметим, что вероятность невозможного события равна нулю, а достоверного – единице. Например, вероятность того, что при бросании игральной кости выпадает цифра 7, равна нулю, так как на гранях кубика такой цифры нет. А вероятность того, что выпадает какая–либо из цифр 1, 2, 3, 4, 5, 6, равна единице. Это событие достоверное, так как из указанного набора цифр обязательно выпадет одна.

1.6. Сложение и умножение вероятностей

Назовем событием А выпадение грани 1 при бросании игральной кости. Общее число исходов n = 6. Число случаев, благоприятствующих событию А, обозначим через ma (ma = 1). Тогда вероятность события А: Р(А) = ma / n= 1/6. Аналогично, назовем событием В выпадения грани 3

(n = 6, mб = 1, Р(В) = mб / n = 1/6). Назовем событием (А + В) событие, заключающееся в том, что при одном бросании выпадает либо 1, либо 3;

иными словами, событие (А + В) заключается в том, что должно произойти либо событие А, либо событие В. Какова вероятность Р(А + В)? Общее число исходов по–прежнему n (n = 6). Но число исходов, благоприятствующих событию (А + В), теперь ma + mб = 1 + 1 = 2. Поэтому

P (A + B)=	mа + mб	=	mа	+	mб	= P (A)+ P (B).	(1.11, а)
	n
			n n

Итак, Р(А + В) = Р(А) + Р(В). Вероятность появления любого из нескольких несовместимых событий равна сумме вероятностей этих событий.

Назовем произведением событий (АВ) событие, заключающееся в том, что при первом испытании произойдет событие А, а при втором – В. Например, выпадение при первом бросании грани 1, а при втором – 3, эти события являются независимыми (что выпадает при втором бросании игральной кости совершенно не зависит от того, что выпало при первом бросании). В данном случае общее число исходов будет n2, так как каждому из n исходов первого испытания соответствует n исходов второго. Число ис-

11

ходов, благоприятствующих событию (АВ), равно 1 (в общем случае ma·mб). Поэтому

P (AB)=	mа mб	=	mа		mб	= P (A) P (B).	(1.11, б)
	2
	n		n n

В нашем примере Р(АВ)=1/6·1/6=1/36. Вероятность произведения независимых событий равна произведению вероятностей этих событий.

1.7. Средняя арифметическая и средняя квадратическая ошибки

Среднее арифметическое значение серии измерений <X> определя-

ется как частное от деления арифметической суммы всех результатов измерений в серии Xi на общее число измерений в серии n:

								n
	Xист ≈ X =	X		+ X		+...+ X	n =	∑Xi
			1		2			i=1 .	(1.12)
						n
								n

При увеличении n среднее значение <X> стремится к истинному значению измеряемой величины Xист. Поэтому, за наиболее вероятное значение измеряемой величины следует принять ее среднее арифметическое зна-

чение, если ошибки подчиняются нормальному закону распределения ошибок – закону Гаусса.

Формула Гаусса может быть выведена из следующих предположе-

ний:

1)ошибки измерений могут принимать непрерывный ряд значений;

2)при большом числе наблюдений ошибки одинаковой величины, но разного знака встречаются одинаково часто;

3)вероятность, то есть относительная частота появления ошибок, уменьшается с увеличением величины ошибки. Иначе говоря, большие ошибки встречаются реже, чем малые.

Нормальный закон распределения описывается следующей функци-

ей:

y(X ) =		1	e	−	(X −Xист )2
					2у2
	у	2р			,	(1.13)

где σ – средняя квадратичная ошибка; σ2 – дисперсия измерения; Хист – истинное значение измеряемой величины.

Анализ формулы (1.13) показывает, что функция нормального распределения симметрична относительно прямой Х = Xист и имеет максимум при Х = Хист. Значение ординаты этого максимума найдем, поставив в пра-

вую часть уравнения (1.13) Хист вместо Х. Получим y (X )= σ 12π , откуда следует, что с уменьшением σ возрастает у(Х). Площадь под кривой

12

+∞∫ y (X )dX должна оставаться постоянной и равной 1, так как вероятность

−∞

того, что измеренное значение величины Х будет заключено в интервале от – ∞ до +∞ равно 1 (это свойство называется условием нормировки вероятности).

На рис. 1.1 приведены графи-
ки трех функций нормального рас-
пределения	для трех	значений σ
(σ3 > σ2 > σ1) и одном Хист. Нормаль-
ное распределение характеризуется
двумя параметрами: средним зна-
чением случайной величины, кото-
рая при бесконечно большом коли-
честве	измерений	(n → ∞)

	совпадает с ее истинным значени-	Рис. 1.1.
	ем, и дисперсией σ. Величина σ ха-

рактеризует разброс погрешностей относительно среднего значения принимаемого за истинное. При малых значениях σ кривые идут более круто и большие значения ∆Х менее вероятны, то есть отклонение результатов измерений от истинного значения величины в этом случае меньше.

Для оценки величины случайной ошибки измерения существует несколько способов. Наиболее распространена оценка с помощью стандартной или среднеквадратичной ошибки. Иногда применяется средняя арифметическая ошибка.

Стандартная ошибка (среднеквадратическая) среднего в серии из n

измерений определяется по формуле:

				n
Sn =	( X − X1 )2	+( X − X2 )2 +...+( X − Xn )2	=	∑(	X − Xi )2
				i=1		. (1.14)
		n −1			n −1

Если число наблюдений очень велико, то подверженная случайным колебаниям величина Sn стремится к некоторому постоянному значению σ, которое называется статистическим пределом Sn:

σ = lim Sn .	(1.15)
n→∞

Именно этот предел и называется средней квадратичной ошибкой. Как уже было отмечено выше, квадрат этой величины называется дисперсией измерения, которая входит в формулу Гаусса (1.13).

Величина σ имеет большое практическое значение. Пусть в результате измерений некоторой физической величины нашли среднее арифметическое <Х> и некоторую ошибку ∆X. Если измеряемая величина подвержена случайной ошибке, то нельзя безоговорочно считать, что истинное значение измеряемой величины лежит в интервале (<Х> – ∆Х,

13

<Х> + ∆Х или (<Х> – ∆Х) < Х < (<Х> + ∆Х)). Всегда существует некоторая вероятность того, что истинное значение лежит за пределами этого интервала.

Доверительным интервалом называется интервал значений (<Х> – ∆Х, <Х> + ∆Х) величины X, в который по определению попадает ee истинное значение Хист с заданной вероятностью.

Надежностью результата серии измерений называют вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал. Надежность результата измерения или доверительная вероятность выражается в долях единицы или процентах.

Пусть α означает вероятность того, что результат измерений отличается от истинного значения на величину, не большую, чем ∆Х. Это принято

записывать в виде
Р((<Х> – ∆Х) < Х < (<Х> + ∆Х)) = α.	(1.16)

Выражение (1.16) означает, что с вероятностью, равной α, результат измерений не выходит за пределы доверительного интервала от <Х> – ∆Х до <Х> + ∆Х. Чем больше доверительный интервал, то есть чем больше задаваемая погрешность результата измерений ∆Х, тем с большей надежностью искомая величина Х попадает в этот интервал. Естественно, что величина α зависит от числа n произведенных измерений, а также от задаваемой погрешности ∆Х.

Таким образом, для характеристики величины случайной ошибки необходимо задать два числа, а именно: величину самой ошибки (или доверительный интервал) и величину доверительной вероятности (надежности). Указание одной только величины ошибки без указания соответствующей ей доверительной вероятности в значительной мере лишено смысла, так как при этом мы не знаем, сколь надежны наши данные. Знание доверительной вероятности позволяет оценить степень надежности полученного результата. Необходимая степень надежности задается характером производимых измерений. Средней квадратичной ошибке Sn соответствует доверительная вероятность 0,68, удвоенной средней квадратич-

ной ошибке (2σ) – доверительная вероят-
ность – 0,95, утроенной (3σ) – 0,997.
Если	в качестве	доверительного
интервала выбран интервал (Х – σ, Х + σ),
то мы можем, сказать, что из ста резуль-
татов измерений 68 будут находиться
обязательно внутри этого интервала (рис.
1.2). Если при измерении абсолютная по-
грешность	∆Х > 3σ, то	это измерение
следует отнести к грубым погрешностям			Рис. 1.2.
или промаху. Величину 3σ обычно при-
		14

нимают за предельную абсолютную погрешность отдельного измерения (иногда вместо 3σ берут абсолютную погрешность измерительного прибора).

Для любой величины доверительного интервала по формуле Гаусса может быть рассчитана соответствующая доверительная вероятность. Эти вычисления произведены и их результаты сведены в табл. 1.1.

Таблица 1.1

Доверительные вероятности α для доверительного интервала, выраженного в долях средней квадратичной ошибки ε = ∆X/σ

ε	α	ε	α	ε	α
0	0,00	1,0	0,68	2,0	0,954
0,1	0,08	1,1	0,73	2,1	0,972
0,2	0,16	1,2	0,77	2,2	0,984
0,3	0,24	1,3	0,80	2,3	0,990
0,4	0,31	1,4	0,84	2,4	0,995
0,5	0,38	1,5	0,87	2,5	0,997
0,6	0,45	1,6	0,89	2,6	0,9986
0,7	0,51	1,7	0,91	2,7	0,9993
0,8	0,57	1,8	0,93	2,8	0,9997
0,9	0,63	1,9	0,94	2,9	0,99998

1.8. Определение доверительного интервала и доверительной вероятности

Ранее нами было рассмотрено определение доверительной вероятности для отдельного измерения Xi с помощью табл. 1.1, то есть определение вероятности того, что Xi не будет отклоняться от истинного значения более чем на величину ∆X. Однако, наиболее важной задачей является определение величины отклонения от истинного значения Xист среднего арифметического <X> результатов измерений. Для решения поставленной задачи также можно воспользоваться табл. 1.1, взяв, вместо величины σ величину σ<X>, то есть у n или с учетом (1.14), для конечного числа измерений

				n	X − Xi )2
Sn X =	S		=	∑(
		n		i=1		.	(1.17)
				n (n −1)
		n
Средняя квадратичная			ошибка		среднего арифметического		Sn X

равна средней квадратичной ошибке отдельного результата, деленой на корень квадратный из числа измерений.

Это фундаментальный закон возрастания точности при росте наблюдений. Из него следует, что для повышения точности измерений в 2 раза

15

необходимо увеличить число измерений в 4 раза. Однако этот вывод относится только к измерениям, в которых точность результата полностью определяется случайной ошибкой.

Обычно выполняется сравнительно небольшое число измерений n для которых определяется величина Sn X . Если при оценке доверительной

вероятности считать,	что значение	Sn X совпадает с у X и пользоваться
табл. 1.1, то будем получать завышенные значения α. Из того, что σ X яв-
ляется пределом Sn X	при n → ∞,	следует, что Sn X пропорциональна

величине σ X . Коэффициент пропорциональности зависит от числа измерений и отражает степень приближения Sn X к σ X . На основании этого интервал ∆X можно представить в виде

∆X = ε σ X = tбn Sn X .

(1.18)

Значения величины tαn, носящей название коэффициента Стьюдента, вычислены для различных значений n и α и приведены в табл. 1.2. Сравнивая приведенные в ней данные с данными табл. 1.1, легко убедиться, что при больших n величина tαn стремится к соответствующим значениям величины ε. Это естественно, так как с увеличением n Sn X стремится к

σ X .

Используя коэффициенты Стьюдента, мы можем переписать равенство (1.14) в виде

		S					S	n
P	x −tαn		n		< X <	x +tαn				= α.	(1.19)
			n					n

Пользуясь этим соотношением и табл. 1.2, легко определить доверительные интервалы и доверительные вероятности при любом небольшом числе измерений. После выполнения измерений должны быть известны все величины, входящие в это выражение – одни из них могут быть наперед заданы, другие необходимо определить.

Мерой точности результатов измерений является относительная погрешность (ошибка), обычно выражаемая в процентах (%):

δ =	∆x	100 % .	(1.20)
	x

Величину ϕ = 1/δ, обратную относительной погрешности называют точностью измерений.

Используя таблицу коэффициентов Стьюдента, можно решить и обратную задачу: по известной абсолютной погрешности измерительного прибора и заданной величине надежности определить необходимое число измерений в серии.

16

Таблица 1.2

Таблица коэффициентов Стьюдента

Число				Надежность, α
изме-	0,6	0,7	0,8	0,9	0,95		0,98	0,99	0,999
рений
2	1,38	2,0	3,1	6,3	12,7		31,8	62,7	53,7
3	1,06	1,3	1,9	2,9	4,3		7,0	9,9	31,6
4	0,98	1,3	1,6	2,4	3,2		4,5	5,8	12,9
5	0,94	1,2	1,5	2,1	2,8		3,7	4,6	8,6
6	0,92	1,2	1,5	2,0	2,6		3,4	4,0	6,9
7	0,91	1,1	1,4	1,9	2,4		3,1	3,7	6,0
8	0,9	1,1	1,4	1,9	2,4		3,0	3,5	5,4
9	0,89	1,1	1,4	1,9	2,3		2,9	3,4	5,0
10	0,88	1,1	1,4	1,8	2,3		2,8	3,3	4,8
11	0,88	1,1	1,4	1,8	2,2		2,7	3,2	4,6
12	0,88	1,1	1,4	1,8	2,2		2,7	3,1	4,5
13	0,87	1,1	1,4	1,8	2,2		2,7	3,1	4,3
14	0,87	1,1	1,4	1,8	2,2		2,7	3,0	4,2
15	0,87	1,1	1,3	1,8	2,1		2,6	3,0	4,1
16	0,87	1,1	1,3	1,8	2,1		2,6	3,0	4,1
17	0,87	1,1	1,3	1,7	2,1		2,6	2,9	4,0
18	0,86	1,1	1,3	1,7	2,1		2,6	2,9	4,0
19	0,86	1,1	1,3	1,7	2,1		2,6	2,9	3,9
20	0,86	1,1	1,3	1,7	2,1		2,5	2,9	3,9
∞	0,84	1,0	1,3	1,6	2,0		2,3	2,6	3,3

1.9. Оценка точности косвенных измерений

Если Х определяется посредством не прямого измерения, а косвенного, то есть по результатам измерений других величин y и z, то X = f(y, z). Тогда среднее значение при оценке X равно

< X >= f (< y >,< z >) ,

(1.21)

где <y> и <z> находятся по формуле (1.12). Ошибка косвенного измерения величины X находится по формуле (1.8) (или (1.9)), только в качестве ∆y и ∆z стоят ошибки прямых измерений величин y и z, а значения частных

производных ∂f ∂y и ∂f ∂z берутся при значениях y = <y>, z = <z>.

Часто удобно выражать точность, с которой найдено X, через относительную погрешность δ. По определению

δ =	∆X	,	(1.22)
	X

17

где <X> рассчитана по формуле (1.12). Исходя из определения относительной погрешности, результат измерений величины Х можно записать в виде X = X (1±δ).

Рассмотрим практически важный случай, когда Х является степенной функцией y и z:

X = f (y, z) = ym zn ,

∂f	= m ym−1 zn ,	∂f	= n ym zn−1 ,
∂y		∂z

где показатели степени m и n могут быть целыми или дробными, больше или меньше нуля.

Относительная погрешность равна

δ =	∆X	= m2δ2y + n2δ2z .	(1.23)
	X

Из соотношения (1.23) следует важный вывод: при измерениях необходимо наиболее точно определить значения величины, входящей в расчетную формулу с наибольшим по модулю показателем степени.

Приведем простейшие случаи расчета предельных погрешностей результата косвенного измерения величины Х.

1. Пусть Х = А + В, а предельные абсолютные погрешности прямого измерения величин А и В соответственно равны ∆А и ∆В. Тогда

Х ± ∆Х = (А ± ∆А) + (В ± ∆В).

Наиболее неблагоприятный случай тот, когда ∆А и ∆В будут одинаковы по знаку, тогда предельная абсолютная погрешность результата

±∆Х = ∆А + ∆В,

а предельная относительная погрешность

∆X	=	∆X	=	∆A +∆B
X				A + B .
		A + B

2. Пусть Х = А В, тогда

Х ± ∆Х = (А ± ∆А) (В ± ∆В) = А В ± А ∆В ± В ∆А.

Полагая ∆А и ∆В малыми, получаем

∆XX = A∆XB = ∆AA + ∆BB .

3. Пусть Х=Аn. Тогда Х = А А А ... А. Предельная относительная

n раз

погрешность равна

∆XX = ∑∆AA = n ∆AA ,

а предельная абсолютная погрешность

18

∆X = ∆XX X = n An−1∆A . 4. Пусть Х = sinα. Тогда

X ± ∆Х = sin(α ± ∆α).

Положим, что ∆α мало. В этом случае sin ∆α ≈ ∆α. Следовательно,

Х +∆Х = sin α + ∆α ·cos α

и тогда

∆XX = sin∆Xα = ∆α ctg α .

В табл. 1.3 приведены формулы расчета относительных предельных погрешностей физических величин, выражаемых наиболее употребительными функциями. Если в расчетные формулы входят константы, например, число π, физические постоянные, табличные данные, то они берутся с такой точностью, чтобы число значащих цифр в них было на единицу больше, чем число значащих цифр в значениях измеряемых величин. Тогда константы практически не вносят погрешностей в результат измерений.

Таблица 1.3

Формулы расчета относительных предельных погрешностей физических величин

Вид функции

Предельная относительная погрешность

X = A + B + C

∆X

= ∆A + ∆B + ∆C

X

A + B + C

X = A – B

∆X

= ∆A + ∆B

X

A − B

X = A B C…

∆X

=

∆A

+

∆B

+ ∆C

+...

X

A

B

C

X = An

∆X

= n

∆A

X

A

X = n A

∆X

=

1

∆A

X

n

A

X =

A

∆X

=

∆A

+

∆B

B

X

A

B

X = sin α

∆X

= ∆α ctg α

X

X = cos α

∆X

= ∆α tgα

X

X = tg α

∆X

=

2 ∆α

X

cos2α

X = ctg α

∆X

=

2 ∆α

X

sin 2α

19

1.10. Учет систематической и случайной ошибок

Измерения следует организовать так, чтобы погрешность результата целиком определялась систематической ошибкой измерений, которая обычно задается погрешностью измерительного прибора. Для этого рекомендуется провести такое число измерений, чтобы случайная ошибка результата была незначительна по сравнению с систематической ошибкой.

Однако не всегда можно осуществить необходимое число измерений. Тогда приходится мириться с положением, когда систематическая и случайная ошибки измерений близки друг к другу, и они обе в одинаковой степени определяют точность результата. В этом случае трудно дать достаточно строгое определение суммарной ошибки измерений. Оценку полной погрешности ∆Х в этом случае дают по формуле

∆X = (∆Хслуч)2 +(∆Хсист )2	(1.24)
и результат измерений записывают в виде
X =< X > ±∆X ,	(1.25)

где <Х> и ∆Х определяют соотношениями (1.12) и (1.24).

Из анализа формулы (1.24) вытекает, что бессмысленно добиваться такого результата, при котором ∆Xслуч << ∆Xсист . Необходимое число изме-

рений n можно определить из условия ∆Xслуч ≤ ∆Xсист и почти всегда доста-

точно взять n ≤ 10. Опыт показывает, что в учебной лаборатории число измерений физических величин обычно равно 3–5.

1.11. Правила вычисления погрешностей

Точность обработки численных результатов измерений должна быть согласована с точностью, с которой они проводились. Вычисления, проведенные с большим числом десятичных знаков, чем это необходимо, требуют лишней затраты труда и создают ложное впечатление о большой точности измерений. В то же время не следует ухудшать результаты измерений, пользуясь грубыми методами вычисления. Во всех случаях нужно придерживаться следующего правила.

Ошибка, получающаяся в результате вычислений, должна быть примерно на порядок меньше суммарной ошибки измерений. В этом случае можно быть уверенным в том, что в результате арифметических операций мы ощутимым образом не исказим нашего результата.

Погрешность обычно выражается одной значащей цифрой и лишь при особо ответственных измерениях – двумя. Погрешность измерения указывает, какие цифры являются сомнительными в числовом значении измеренной величины. Так как точность определения физической величины определяется измерением, а не вычислением, то округление числового

20

результата измерения проводится до цифры того же порядка, что и значение погрешности.

При округлении результатов измерений необходимо помнить следующие правила приближенных вычислений.

1.Лишние цифры у целых чисел заменяются нулями, а у десятичных дробей отбрасываются.

2.Если заменяемая нулем или отбрасываемая цифра старшего разряда меньше 5, то остающиеся цифры не меняются, если указанная цифра больше 5, то последняя остающаяся цифра увеличивается на единицу.

3.Если заменяемая нулем или отбрасываемая цифра равна 5 (с последующими нулями), то округление производится так: последняя цифра в округленном числе остается без изменений, если она четная, и увеличивается на единицу, если она нечетная.

При представлении окончательных результатов физических измерений часто применяют запись числовых значений в виде десятичной дроби, умноженной на необходимую степень – число десять.

Имея результаты измерений, можно определить верные, сомнительные и неверные цифры. Если погрешность содержит в себе десятки, то число десятков будет сомнительным. К значащим относятся все верные и сомнительные цифры; к незначащим – нули в начале десятичных дробей, меньших 1; нули в конце числа, заменившие цифры, отброшенные после округления; неверные цифры, если они по каким–то причинам не отброшены.

1.При сложении и вычитании разряд сомнительной цифры алгебраической суммы совпадает со старшим из разрядов сомнительных цифр всех слагаемых. Поэтому при сложении чисел необходимо:

a)у всех слагаемых определить разряды сомнительных цифр и найти самый старший из них;

b)все слагаемые округлить до этого разряда, либо сохранить один, следующий за сомнительным (запасная цифра);

c)произвести сложение, причем сомнительная цифра совпадает со старшим из разрядов сомнительных цифр всех слагаемых.

2.Результат умножения и деления содержит столько значащих цифр, сколько их в исходном данном с наименьшим количеством значащих цифр. Поэтому при умножении и делении чисел:

a)представляют исходные числа в виде, когда запятая стоит после первой цифры, а все значащие цифры умножают на множитель десять в соответствующей степени;

b)из всех исходных чисел находят число, где наименьшее количество значащих цифр;

c)все исходные числа округляют так, чтобы все они содержали такое количество значащих цифр, сколько их было в числе с наименьшим количеством (иногда берут для верности еще по одной запасной цифре);

21

d)производят действия над цифрами, получившимися после округления, не обращая внимания на запятую и множитель десять в некоторой степени; в результате оставляют столько значащих цифр, сколько их было

вчисле с наименьшим их количеством; производят операции с умножением (делением) коэффициентов десять в некоторой степени; записывают результат.

3.При возведении в степень при записи результата оставляют столько значащих цифр, сколько их в основании.

4.При извлечении корня любой степени результат должен иметь столько значащих цифр, сколько их в подкоренном выражении.

5.При логарифмировании чисел в мантиссе логарифма оставляют столько значащих цифр, сколько их в этом числе.

Обычно в экспериментальных данных полученное числовое выражение всегда содержит сомнительную цифру, а в выражениях, взятых из таблиц, все цифры верные. Поэтому, если при вычислении используют как экспериментальные, так и табличные данные, сомнительную цифру можно не сохранять.

1.12. Порядок выполнения расчетов

Прямые измерения 1. Вычисляется среднее арифметическое значение

< X >= 1 ∑n Xi . n i=1

2. Вычисляется средняя квадратичная ошибка

	n	X − Xi )	2
Sn =	∑(
	i=1			.
		n −1

На основании значений Sn исключают грубые ошибки.

3. Вычисляется средняя квадратичная ошибка среднего арифметического

			n	− Xi )2
		Sn<X > =	∑( X
			i=1		.
			n (n −1)
	4.	Задается доверительная вероятность α, определяется коэффициент
		Стьюдента tαn и находится интервал tαn·Sn<X>.				tб,∞∆Xсист
	5.	Определяется систематическая ошибка и находится интервал					.
						3

Коэффициент tα,∞ определяется по табл. 1.2 для заданной в пункте 4 доверительной вероятности, но при n = ∞.

6.Если значения случайной и систематической ошибок сравнимы, доверительный интервал рассчитывается по формуле:

22

∆X = tα2n Sn2

X +k2 (∆Xсист 3)2 .

7.Если систематической ошибкой можно пренебречь, то ∆X = tαn Sn X , если пренебречь случайной ошибкой, то ∆X = ∆Xсист, при этом α =1.

8.Рассчитывается относительная погрешность δ = ∆X / <Х>.

9.Окончательный результат представляется в виде

Х= <Х> ± ∆X, α =…, δ =…

или в виде <X> =…, Sn<X> =…, ∆Xсист =…, n =… Если не известно распределение ошибок, то используется вторая форма записи.

Косвенные измерения

1.Результаты прямых измерений всех величин, входящих в расчетную формулу, обрабатываются по схеме, изложенной в разделе «Прямые измерения». При этом для всех величин задается одно и то же значение доверительной вероятности, и находятся доверительные интервалы ∆a,

∆b,…

2.Рассчитывается среднее значение <X> = f(<a>, <b>, <c>, …).

3.Находится выражение для ошибки искомой величины с использованием расчетной формулы X = f(a ,b, c, …) и формулы

∆X =	∂f		2	∂f		2	∂f		2
		∂a	∆a	+	∂b	∆b	+	∂c	∆c	+... .

Рассчитывается значение абсолютной ошибки ∆X.

4. Находится выражение для относительной ошибки δ = d ln X (a, b, c, …). Расчет по полученной формуле может оказаться

точнее, чем по формуле δ = ∆XX .

5. Записываете окончательный результат в виде Х=<X>±∆X, α=…, δ=…

23

Глава 2. РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ЗАПИСИ И ПРЕДСТАВЛЕНИЮ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТА

2.1. Запись результатов эксперимента

Все записи, касающиеся выполнения лабораторных работ, желательно вести в специальной тетради. Не рекомендуется вести записи на отдельных листочках. Крайне нежелательно исправлять одну запись на другую. Лучше зачеркнуть неверные цифры и рядом записать правильный результат.

Все результаты следует записывать немедленно и без какой–либо обработки. Из этого правила нет исключений.

Старайтесь всегда записывать результаты измерений в виде таблиц. Такая запись компактнее и проще для чтения. При оформлении таблиц желательно придерживаться следующих положений.

•В правой части страницы пишут слово “Таблица” и ее номер арабскими цифрами, если таблиц в тексте больше одной. Если имеется одна таблица, то ее не номеруют и слово “Таблица” не пишут. Затем записывается заголовок таблицы, если он имеется.

•Таблица содержит: графы (колонки), строки (горизонтальные ряды), головку (в верхнем левом ряду), заголовки и подзаголовки граф, заголовки строк. В качестве заголовка графы можно использовать название физических величин или их буквенное обозначение. Допускается нумерация граф. Не допускается деление головки косой чертой.

•Единица измерения, общая для всех данных, приведенных в таблице, указывается в заголовке таблицы. Если единица измерения одинакова для всех данных графы или строки, то она указывается в заголовке графы или строки соответственно и не повторяется при каждом значении.

•Цифры в графах таблицы располагаются так, чтобы классы чисел во всех графах были один под другим. Ставить кавычки вместо повторяющихся цифр, знаков, символов не допускается. Если данные в графе не приводят, то ставят прочерк.

•Если значение величины меньше 0,1 или больше 100, то для удобства следует придать единице измерения такой десятичный множитель, чтобы записываемые значения были в интервале от 1 до 10. Если десятич-

ный множитель одинаковый для всех данных графы или строки, то он приводится в заголовке графы или строки. Рекомендуется пользоваться следующим способом, при котором после физической величины ставят запятую и указывают единицу измерения, например, плотность

ρ, 103 кг/м3.

24

2.2. Графическое представление результатов эксперимента

Во многих случаях экспериментального изучения различных физических явлений целесообразно представить полученные зависимости в виде графика.

Графики используются для разных целей: для определения некоторых величин – обычно угол наклона или отрезок, отсекаемый на оси ординат прямой, изображающей зависимость между двумя переменными; для наглядности; для градуировки приборов.

При построении графиков необходимо соблюдать определенные требования. Графики, как правило, строят на миллиметровой бумаге, пользуясь при этом прямоугольной системой координат.

Принято на горизонтальной оси откладывать независимую переменную (аргумент), значение которой задает сам экспериментатор, а по вертикальной оси – зависимую переменную (функцию), которую определяет. Другими словами, по горизонтали откладывается причина, а по вертикали

– следствие.

На координатные оси наносится масштаб в виде делительных штрихов, которые откладываются внутри графика. Масштаб должен быть простым, но таким, чтобы экспериментальные точки не сливались друг с другом.

Как и в случае таблиц, десятичный множитель удобнее отнести к единице измерения. Тогда как деления на графике можно помечать цифра-

ми 1, 2, 3, … или 10, 20, 30, …

Обозначение величин, откладываемых на осях, следует указывать одним из следующих способов: символом (L, T, J), наименованием (температура, ток), математическим выражением (lgT1/T2, R/r).

На графиках со шкалой следует размещать обозначения у середины шкалы с ее внешней стороны, а при объединении символа с обозначением единицы измерения – в конце шкалы после последнего числа. При этом сначала записывается обозначение величины, затем ставится запятая и записывается единица измерения (рис. 2.1). На графиках без шкалы обозначения величины размещаются вблизи стрелки и у конца оси (рис. 1.1). Обозначения в виде символов и математических выражений следует располагать горизонтально, в виде наименования – параллельно соответствующей оси.

	Следует иметь в виду, что пересече-
	ние координатных осей не обязательно
	должно совпадать с нулевыми значениями.
	Экспериментальные данные следует
	отмечать на графике кружками, диаметр
	которых указывает на ошибки измерения в	Рис. 2.1
	принятом масштабе. Ошибку в экспе-
	25

риментальном значении можно указать еще следующим образом: . Через экспериментальные точки проводят «наилучшую» плавную

кривую. Обратите внимание на слово «плавную». Не надо соединять точки ломаной кривой. В областях, где ход кривой монотонный, можно ограничиться небольшим числом измерений (несколько точек). В областях максимумов, минимумов и точек перегибов следует производить измерения значительно чаще, но так, чтобы расстояние между точками было не меньше ошибки измерения.

На одном графике можно изображать несколько кривых. В этом случае точки, относящиеся к разным сериям, удобно обозначать разными знаками.

26

Рис. 3.1

Полное описание движения z как функции от времени t :

Глава 3. КИНЕМАТИКА ПОСТУПАТЕЛЬНОГО И ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ

Механика (от греч. mechanike – искусство построения машин) – наука о механическом движении материальных тел и взаимодействиях между ними.

Механическое движение – изменение с течением времени взаимного положения тел или их частей в пространстве.

Кинематика (от греч. kinema, родительный падеж kinematos – движение) – раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их массы и действующих на них сил.

Материальная точка – тело, форма и размеры которого несущественнывусловияхданнойзадачи.

Абсолютно твердое тело – тело, деформацией которого в условиях данной задачи можно пренебречь и расстояние между любыми двумя точкамиэтоготелаостаетсяпостоянным.

Различают два вида движения– поступательноеивращательное.

Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, жестко связанная с телом, остается параллельной своему первоначальному положению.

Вращательное движение – это движение, при котором все точки тела движутся по окружностям, центры которых лежат на одной и той же прямой,

называемойосьювращения.

Любое движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательногоивращательного движений.

Движение тел происходит в пространстве и во времени, поэтому движение материальной точки будет описано полностью, если известно ее положение в любой момент времени относительно другого, произвольно выбранного тела, называемого точкой отсчета. Связанная с ним произвольная система координат называется системой отсчета положения материальной точки.

Система отсчета – совокупность системы координат и часов, связанных с телом отсчета.

В декартовой системе координат, используемой наиболее часто, положение точки А (рис. 3.1) в данный момент времени по отношению к этой системе характеризуется тремя координатами x , y ,

и z или радиусом–вектором r0 , прове-

денным из начала отсчета в данную точку. сводится к нахождению трех координат x , y ,

27

x = x(t) , y = y(t) , z = z(t). (3.1)

Уравнения (3.1) называются кинематическими уравнениями движения точки. Они эквивалентны одному векторному уравнению движения точки:

r = r (t) .

(3.2)

Траектория – линия, описываемая движущейся материальной точкой (или телом) относительно выбранной системы отсчета. Уравнение траектории можно получить, исключив из уравнений (3.1) и (3.2) параметр t.

В зависимости от формы траектории движение может быть прямоли-

нейным или криволинейным.
Длина пути – скалярная функция времени,
равная алгебраической сумме длин всех участков
траектории, пройденных этой точкой за рассматри-
ваемый промежуток времени ∆s.
Перемещение (вектор перемещения) – ∆r = r − r0
– вектор, проведенный из начального положения
движущейся точки в положение ее в данный момент	Рис. 3.2
времени (то есть приращение радиуса–вектора точ-
ки за рассматриваемый промежуток времени).

Различие между ∆r и ∆S исчезает в двух случаях – когда движение

происходит вдоль прямой в одном направлении или когда перемещение материальной точки бесконечно мало (рис. 3.2). Во всех других случаях

∆r < ∆S .

Для характеристики быстроты изменения положения тела и направления движения в данный момент времени вводится векторная величина –

скорость.

Скорость – это векторная физическая величина, которая определяет быстроту движения и его направление в данный момент времени.

Если за промежуток времени ∆t	точка совершит перемещение ∆r
(рис. 3.3), то величина
v = ∆r ∆t	(3.3)

называется средней скоростью движения за промежуток времени ∆t . На-

правление v совпадает с направлением ∆r . Если в выражении (3.3) пе-

рейти к пределу при ∆t →0 , то получаем выражение для мгновенной скоро-

сти

v = lim	∆r	= dr .	(3.4)
t→0	∆t	dt
Так как cекущая ∆r		(рис. 3.3) в пре-

	деле совпадает с касательной, то вектор
	мгновенной скорости v направлен по каса-
	тельной к траектории в сторону движения.	Рис. 3.3
	С уменьшением ∆t путь ∆S будет прибли-
	28

жаться к величине ∆r , поэтому числовое значение мгновенной скорости

v =

v

= lim

∆r

= lim

∆S

= dS

∆t→0

∆t

∆t→0

∆t

dt .

(3.5)

В случае неравномерного движения, когда числовое значение мгновенной скорости с течением времени меняется, пользуются скалярной ве-

личиной v – средней скоростью неравномерного движения на данном участке

v = ∆S	∆t	.			(3.6)
Легко видеть, что v > v , так как в общем случае ∆S >				∆r		и только

в случае прямолинейного движения ∆S = ∆r .

Длина пути, пройденного точкой за время ∆t находится путем интегрирования выражения (3.5) по времени в пределах от t до t +∆t :

	t+∆t
S = ∫vdt .		(3.7)
	t
Движение точки называется равномерным, если модуль ее скорости
не изменяется с течением времени ( v	= const), в этом случае выражение
(3.7) принимает вид
t+∆t
S = v	∫dt = v∆t .	(3.8)

t

Если модуль скорости увеличивается с течением времени, то движение называется ускоренным, если же он убывает с течением времени, то движение называется замедленным.

Ускорение – векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по модулю и направлению.

Среднее ускорение в интервале времени ∆t – векторная величина, равная отношению изменения скорости ∆v к интервалу времени ∆t :

a = ∆v ∆t .

(3.9)

Мгновенное ускорение материальной точки – векторная величина, равная первой производной по времени скорости рассматриваемой точки (второй производной по времени от радиуса–вектора этой же точки):

a = lim	∆v	=	dv	′	=	d 2 r		= r	′′	.	(3.10)
	∆t		dt	= v		dt	2
∆t→0

В общем случае плоского криволинейного движения вектор ускоре-

ния удобно представить в виде суммы двух проекций – нормальной и тангенциальной:

a = an + aτ .

29

Тангенциальное ускорение aτ характеризует быстроту изменения скорости по модулю, его величина:

aτ = d v dt .

Нормальное (центростремительное) ускорение an направлено по

нормали к траектории к центру ее кривизны и характеризует быстроту изменения направления вектора скорости точки. Величина нормального ускорения an связана со скоростью v движения по кругу и величиной радиуса траектории R:

an = dvn = v2 . dt R

Величина (модуль) полного ускорения определяется так:

a = an2 + aτ2 .

Рассмотрим случаи:

1) aτ = 0, an = 0 – прямолинейное равномерное движение – a = 0 ;

2) aτ = a = const, an = 0 – прямолинейное равнопеременное (равноускоренное) движение;

3)aτ = 0, an = const = v2 R – равномерное движение по окружности;

4)aτ ≠ 0, an ≠ 0 – криволинейное равнопеременное движение.

При описании вращательного движения обычно пользуются полярными координатами R и φ, где R – радиус – расстояние от полюса (центра вращения) до материальной точки, а φ – полярный угол (угол поворота).

Элементарные повороты ( dϕ ) можно рассматривать как псевдовекторы.

Угловое перемещение dϕ – векторная величина, модуль которой равен углу поворота, а направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта.

Проводя аналогию с величинами, характеризующими поступательное движение, можно ввести понятия:

угловой скорости: ω = lim	∆ϕ	= dϕ		=ϕ′,
t→0	∆t		dt
углового ускорения: ε ≡ β = dω			=ω′ =		d 2ϕ	=ϕ′′.
		dt			dt2

Вектор ω направлен вдоль оси вращения, так же как и вектор ϕ , то есть по правилу правого винта. Век-

тор ε направлен вдоль оси вращения в сторону вектора приращения угловой скорости (при ускоренном вращении вектор ε сонаправлен вектору ω , при замедленном

– противонаправлен ему).

Рис. 3.4

30