ГЛАВА 7. ВОЛНОВОЕ ДВИЖЕНИЕ

Колеблющееся материальное тело, помещенное в упругую среду, будет увлекать за собой, и приводить в колебательное движение прилегающие к нему частицы среды. Последние, в свою очередь, будут воздействовать на соседние частицы, заставляя их также колебаться. При этом существенно, что увлекаемые частицы среды будут несколько отставать по фазе от ранее приходящих в движение частиц, так как передача колебаний от точки к точке всегда осуществляется с конечной скоростью, характерной для данной среды. Таким образом, колеблющееся материальное тело, помещенное в упругую среду, явится источником колебаний, распространяющихся от него в среде во все стороны. Процесс распространения колебаний в упругой среде называется волной.

Вработах данного цикла из громадного разнообразия волн рассматриваются лишь гармонические волны, то есть такие волны, в которых частицы колеблются, подчиняясь гармоническому закону синуса или косинуса.

Частицы среды, в которой распространяется волна, не переносятся волной, они лишь совершают колебания около своих положений равновесия. В зависимости от направления колебаний частиц по отношению к направлению, в котором распространяется волна, различают продольные и поперечные волны.

Впродольной волне частицы среды совершают колебания вдоль направления распространения волны. В поперечной волне частицы среды совершают колебания в направлении, перпендикулярном к направлению распространения волны. Распространяясь от источника колебаний, волновой процесс охватывает все новые и новые области пространства. Геометрическое место точек, до которых доходят колебания к моменту времени t,

называется фронтом волны (или волновым фронтом). Фронт волны пред-

ставляет собой ту поверхность, которая отделяет часть пространства, уже вовлеченную в волновой процесс, от области, в которой возмущения еще не возникли. Геометрическое место точек, колеблющихся в одинаковой фазе, называется волновой поверхностью. Волновую поверхность можно провести через любую точку пространства, уже охваченного волновым процессом. Следовательно, волновых поверхностей существует бесконечное множество, в то время как волновой фронт в каждый момент времени только один.

Волновые поверхности могут быть любой формы. В простейших случаях они имеют форму плоскости или сферы. Соответственно волна в этих случаях называется плоской (волновые поверхности – множество параллельных плоскостей) или сферической (волновые поверхности – множество концентрических сфер).

130

Уравнением волны называется выражение, которое дает смещение колеблющейся частицы как функцию ее координат и времени:

ξ =ξ(x, y, z,t)

(7.1)

Длиной волны λ называется расстояние, на которое распространяется волна за время, равное периоду колебаний частиц среды. Другими словами, длина волны представляет собой наименьшее расстояние между частицами, колеблющимися в одинаковых фазах.

λ = vT , (7.2)

где v – скорость волны; Т – период колебаний.

Рассмотрим случай распространения плоской гармонической волны вдоль оси Ох и найдем вид функции ξ = ξ(x,t) . Пусть колебания точек, лежащих в плоскости х=0 имеют вид

2π			= Acos(ωt +α),	(7.3)
ξ(0,t)= Acos(2πνt +α)= Acos	T	t +α

где ξ(0,t) – величина смещения частиц в плоскости х=0 из положения равновесия; A – амплитуда колебания, то есть наибольшее смещение частицы из положения равновесия; T – период колебания, то есть время, за которое частица совершит одно полное колебание; ν – частота колебаний, то есть число полных колебаний в единицу времени; ω – циклическая частота колебаний – число полных колебаний, совершенных за 2π секунд; α – на-

чальная фаза колебаний; 2Tπ t +α = ωt +α – фаза колебания, которая харак-

теризует состояние колебательного процесса в каждый данный момент времени.

Найдем вид колебаний точек в плоскости, соответствующей произвольному значению х. Из рисунка 7.1 видно, что колебания до точки B в произвольной плоскости х дойдут через промежуток времени

	τ =	x	,	(7.4)
		v

где v – скорость распространения волны.

Следовательно, колебания частиц лежащих в плоскости х, будут отставать по времени на τ от колебаний частиц в плоскости х=0, то есть будут иметь вид

		x
ξ(x,t)= Acos[ω(t −τ )+α]= Acos ω t −				+α	(7.5)
		v

Уравнение (7.5) и есть уравнение плоской волны (и продольной, и поперечной), распространяющейся в направлении оси х. Величина А представляет собой амплитуду волны. Начальная фаза α определяется выбором начала отсчета х и t.

Зафиксируем какое–либо значение фазы в уравнении (7.5)

131

	x			(7.6)
ω t −			+α = const
	v

Это выражение определяет связь между временем t и тем положением х, в котором фаза имеет зафиксированное значение. Вытекающее из него значение dx / dt дает скорость, с которой перемещается данное значение фазы.

Дифференцируя (7.6) по времени, получим	dt −	1 dx = 0 , откуда	v = dx	. Та-
		v	dt

ким образом, скорость волны в уравнении (7.5) есть скорость перемещения фазы, то есть фазовая скорость волны.

Рис. 7.1

Поскольку dx / dt > 0 , уравнение (7.5) описывает волну, распространяющуюся в сторону возрастания х. Волна, распространяющаяся в противоположном направлении (в сторону убывания х), описывается уравнением

		x
ξ(x,t)= Acos[ω(t +τ )+α]= Acos ω t +				+α	(7.7)
		v

Упругие колебания в воздухе называют звуковыми, если частота их лежит в интервале от 20 Гц до 20000 Гц, инфразвуковыми, если частота их меньше 20 Гц, и ультразвуковыми, если частота их свыше 20000 Гц.

Звуковые колебания в упругой среде могут распространяться как в виде продольных, так и в виде поперечных волн. В жидкостях и газах, например, могут распространяться только продольные волны, в твердых телах – продольные и поперечные волны.

Упругие поперечные волны могут возникнуть лишь в среде, обладающей сопротивлением сдвигу. Поэтому в жидкой и газообразной средах возможно возникновение только продольных волн. В твердой среде возможно возникновение как продольных, так и поперечных волн.

Теоретические расчеты, подтверждаемые экспериментом, показывают, что скорость распространения звуковой волны зависит от упругих свойств среды, ее плотности и температуры. Скорость распространения звуковых волн в газах определяется по формуле:

v =	γRT	(7.8)
	µ ,

132

где γ – постоянная величина для данного газа; R – универсальная газовая постоянная; T – абсолютная температура; µ – молекулярная масса.

Скорость распространения поперечных звуковых волн в твердых те-

лах

v =	G	,	(7.9)
	ρ
где G – модуль сдвига; ρ – плотность среды.
Скорость распространения продольных звуковых волн:
v =	E ,		(7.10)
	ρ

где E – модуль Юнга.

Если в среде распространяются одновременно несколько волн различных частот от разных источников колебаний, то колебания частиц среды оказываются геометрической суммой колебаний, которые совершали бы частицы при распространении каждой из волн в отдельности. Следовательно, волны просто накладываются одна на другую, не возмущая друг друга. Это утверждение называется принципом суперпозиции (наложения) волн.

Волны называются когерентными, если они имеют неизменную во времени разность фаз (более строгое определение когерентности рассмотрено в последующих разделах физики).

Так как в области перекрытия волн происходит сложение колебаний для каждой из частиц среды, в результате колебания в одних местах области перекрытия волн усиливаются, в других – ослабевают.

Интерференция волн – явление усиления или ослабления амплитуды результирующей волны в зависимости от соотношения между фазами складываемых когерентных волн одинаковых частот.

Особый случай интерференции наблюдается при наложении двух встречных плоских волн с одинаковой амплитудой. Возникающий в результате колебательный процесс называется стоячей волной. Практически стоячие волны возникают при отражении волн от преград. Падающая на преграду волна и бегущая ей навстречу отраженная, налагаясь друг на друга, дают стоячую волну.

Напишем уравнения двух плоских волн, распространяющихся в противоположных направлениях, принимая начальную фазу обеих волн равной нулю:

					x
ξ1	= A0 sinω	t −						− падающая волна;
					v
				x
ξ2 =	A0 sinω t		+			− отраженная волна.			(7.11)
				v

Складывая оба уравнения и преобразуя результат по формуле синусов суммы и разности, получим:

133

ξ =ξ1 +ξ2 = A0 sin ωt cos ωvx −cosωt sin ωvx +sin ωt cos ωvx +

(7.12)

+ cosωt sin ωvx = 2A0 cos ωvx sin ωt,

Это и есть уравнение стоячей волны. Оно показывает, что в результате наложения падающей и отраженной волн в каждой точке среды происходит гармоническое колебание с той же частотой ω, но с амплитудой

A = 2A0 cos			ω x							(7.13)
			v
	cos	ωx		= 0		ωx		1		(n=0, 1, …)
В точках волны, для которых			v			или v	= ± n +		π
								2

амплитуда колебаний обращается в нуль. Эти точки называются узлами стоячей волны. Частицы среды, находящиеся в узлах, колебаний не совершают. Координаты узлов имеют следующие значения:

		1		v	(7.14)
	x = ± n +		π
		2		ω

Узел, как и пучность, представляет собой не одну точку, а плоскость, точки которой имеют координаты х, определяемые формулой (7.14).

С учетом (7.2) координаты узлов стоячей волны можно определить:

		1		λ T		1		λ	= ±(2n +1)	λ
	x = ± n +		π		= ± n +						(7.15)
		2		T 2π		2		2		4

	В точках волны, для которых	cos	щx		=1	или	ωx	= ±nπ	(n = 0, 1, …)
			v				v
	амплитуда колебаний достигает максимального значения:								A = 2A0 . Эти

точки называются пучностями стоячей волны. Координаты пучностей имеют значения:

	x = ±nπ	v	= ±nπ	λ T	= ±2n	λ	(n = 0,1, 2,…)	(7.16)
		ω		T 2π		4

Из формул (7.15) и (7.16) следует, что расстояние между соседними пучностями, так же, как и расстояние между соседними узлами, равно λ2 .

Следует заметить, что при переходе через узел фаза колебания меняется на противоположную (на π). Это следует из того, что множитель

cos ωvx , определяющий амплитуду, при переходе через нуль в узле меняет

знак. Поэтому, если по одну сторону узла в некоторый момент времени смещение ξ положительно, то по другую сторону узла в тот же момент времени оно отрицательно.

134

Стоячие волны можно наблюдать, возбуждая колебания натянутой струны, закрепленной с обоих концов.

Процесс образования стоячей волны в каждый момент времени происходит очень быстро, а так как наш глаз обладает способностью сохранять изображение предмета некоторое время (1/24 с), то стоячую волну видим такой, как она показана на рисунке 7.2. Точки O1, O2, O3, O4 находятся все время в покое. Это узлы стоячей волны.

Точки A1, A2, A3, A4, колеблются с максимальной амплитудой, равной 2A0. Это пучности стоячей волны. Точки, лежащие между узлами и пучностями, колеблются с амплитудой от 0 до 2A0 (каждая со своей амплитудой).

Рассмотрим возникновение интерференции звуковых волн в трубе, закрытой с обоих концов.

Если линейная длина столба воздуха равна

l = 2n	λ	(7.17)
	4

где n = 1, 2, 3, …, то в нем возникают колебания с максимальной амплитудой.

Пусть волна, вышедшая из одного конца, доходит до другого и отражается с изменением фазы на π, затем идет обратно и отражается снова с изменением фазы на π. В результате вторичная отраженная волна имеет такую же фазу, как и падающая, то есть усиливает падающую. Вследствие многократных последующих отражений амплитуда резко возрастает и достигает своегомаксимального значения. Если длина столба воздуха равна

l = (2n +1)λ	,	(7.18)
4

Рис. 7.2

то амплитуда колебаний равна нулю. Таким образом, непрерывно уменьшая (или увеличивая) длину воздушного столба l, при выполнении условий (7.17) или (7.18), получим чередующиеся максимумы и минимумы звучания. Из (7.17) видно, что расстояние ∆l между соседними максимумами

135

равно половине длины волны. Отсчитывая от произвольно выбранного начала координаты максимумов, для разности координат соседних максимумов получим

	∆x = xn − xn−1 = ∆l =	λ	,	(7.19)
		2
где хn – координата n–го максимума. Отсюдаλ = 2∆x .				и звуко-
Так	как скорость распространения волн, в частности
выхv = λ	= λν , то для нашего случая
T	v = 2∆x ν			(7.20)

По этой формуле можно определить скорость распространения звуковых волн, зная частоту колебаний и определяя расстояние между последовательными максимумами звучания при непрерывном изменении длины воздушного столба.

Зная скорость распространения звука в газе, можно, при известных

	молярной массе M и температуре T определить отношение			γ =CP CV для
	газа, используя уравнение
	γ =	M v2	,	(7.21)
		R T

где R – универсальная газовая постоянная.

Вывод формулы (7.21) основан на том, что распространение звука в газе можно считать адиабатическим процессом. Это объясняется тем, что колебания плотности и связанные с ними колебания температуры в звуковой волне происходят настолько быстро, а теплопроводность газов настолько мала, что для таких процессов теплообмен с окружающей средой фактически отсутствует, а разности температур между сгущениями и разряжениями газа в звуковой волне не успевают выравниваться. Подробнее смотрите в дополнительных источниках, например в [4].

Теоретически показатель адиабаты γ определяется числом степеней свободы i молекул газа:

	γ =	CP	=	i + 2	(7.22)
		CV		i

Лабораторная работа № 15

ОПРЕДЕЛЕНИЕ СКОРОСТИ ЗВУКА В ВОЗДУХЕ МЕТОДОМ СТОЯЧЕЙ ВОЛНЫ

Цель работы

Целью настоящей работы является определение фазовой скорости распространения звуковых колебаний методом стоячей волны.

136