2. Применение метода начальных параметров к поставленной задаче Вариант 21

Задана балка, выполненная из одного материала, с жестко заделанным левым и свободно опертым правым концом, длиной l=2,5 м, нагруженная на части длины гидростатической нагрузкой q=20кН, с=0,5 м.

Рис. 2.1 Расчетная схема

Решение в общем виде выглядит:

Для рассматриваемого случая имеет вид:

(2.1)

Тогда выражение для определения прогиба запишется:

(2.2)

Чтобы получить формулы для определения величин угла поворота, изгибающего момента и перерезывающей силы, необходимо соответственно найти первую, вторую третью производные ν по х из выражения (2.2):

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

В данной задаче балка жестко закреплена с обоих концов. Следовательно, в начале и конце балки прогиб и угол поворота равняются нулю.

Приравняем к нулю выражения (2.2) и (2.3) при х=0:

(2.8)

(2.9)

Из уравнений (2.8) и (2.9) следует, что .

Приравниваем к нулю выражения (2.2) и (2.5) при x=l: ν(l)=0;(l)=0:

(2.10)

(2.11)

Подставим в уравнение (2.10) полученные выше значения =0 и=0; умножим уравнение (2.10) на EI, переносим свободные члены в правую часть и сводим данные уравнения (2.10) и (2.11) в систему:

(2.12)

Получаем систему уравнений для определения двух начальных параметров (M0, Q0).

Решив систему (2.12) и получив значения , можно вычислить все характеристики изогнутой балки: прогиб, угол поворота, изгибающий момент и перерезывающую силу, применив формулы (2.2), (2.3), (2.5), (2.7) соответственно.

3.Решение и построение эпюр средствами ms excel

Для решения системы (2.12) используем матричный способ решения систем линейных уравнений. В Excel заносим в ячейки B2:В5исходные данные для расчета (рис.3.1). В ячейкахA8:B9,E8:E9вычисляем коэффициенты и столбец свободных членов системы линейных алгебраических уравнений (2.12). Определяем обратную матрицу в диапазоне ячеекA11:B12. В ячейкахЕ11:Е12вычисляем искомые значенияикак результат умножения обратной матрицы на столбец свободных членов.

Рис. 3.1. Фрагмент листа Excel с исходными данными расчета в режиме отображения чисел

Рис. 3.2 Фрагмент листа Excel с решением системы уравнений (2.12) в режиме отображения формул

В ячейки A13:A24заносятся значения координатыx, для которых будут

вычисляться смещения, угол поворота, изгибающие моменты и перерезывающая сила.

В ячейках B13:B24вычисляется прогиб по формуле (2.2) с нормирующиммножителемEI.

В ячейках C13:C24вычисляется угол поворота точек оси балки по формуле (2.3) снормирующим множителемEI.

В ячейках D13:D24вычисляется изгибающий момент точек оси балки по формуле(2.5).

В ячейках E13:E24вычисляется перерезывающая сила точек оси балки по формуле(2.7) (см. рис. 3.3).

Рис. 3.3. Фрагмент листаExcel с вычислением формул искомых величин в режиме числе

Вычисления в режиме проверки формул приведены ниже (рис. 3.4 – 3.7).

Рис. 3.4. Фрагмент листа Excel с вычислением прогиба в режиме отображения формул

Рис. 3.5. Фрагмент листа Excel с вычислением угла поворота в режиме отображения формул

Рис. 3.6. Фрагмент листа Excel с вычислением изгибающего момента в режиме отображения формул

Рис. 3.7. Фрагмент листа Excel с вычислением перерезывающей силы в режиме отображения формул

Для построения эпюр удобно воспользоваться мастером диаграмм (рис.3.8-3.11). Эпюра - это графическое изображение воздействия нагрузки.

Рис. 3.8. Эпюра прогиба оси балки

Рис. 3.9. Эпюра угла поворота оси балки

Рис. 3.10. Эпюра изгибающего момента оси балки

Рис. 3.11. Эпюра перерезывающей силы оси балки