Физика 21 вариант

ЗАДАНИЯ ДЛЯ РАСЧЁТНО-ГРАФИЧЕСКИХ РАБОТ ЗАДАЧА №1

Даны зависимости координат от времени.

х(t) = t2; y(t) = 4t2+2t; z(t)=0

а) Определите зависимости радиус-вектора частицы, скорости, ускорения от времени и найдите их модули.

б) Найдите уравнение траектории, дайте оценку характера движения материальной точки вдоль траектории.

в) Постройте графические зависимости: у (х), υх(t), a(t).

Дано:

Решение

х(t) = t2;

r = r i +r j

+r k

радиус вектор частицы →

y(t) = 4t2+2t;

r

x

y

z

= t2i +(4t2 +2t ) j →

z(t)=0

Найти:

r

=

rx2 +ry2 +rz2

=

(t2 )

+(4t2

+2t )

=

r = ?

r

2

2

= ?

17t4 +16t3 +4t2

= ?

=

υ = ?

υ

a = ?

a

dr

+(8t +2)

= ?

υ

=

dt

скорость частицы →υ

= 2ti

j →

Построить

υх =8t

графики:

(2t )2 +(8t +2)2

υ

=

=

68t2 +32t +4

y(x) ; υх(t);

скорость частицы → a

= 2i +8j →

a(t)

a

= dυ

dt

=

2

2

+8

2

= 4

17 =16,5 м/ с

2

a

Частица движется равноускоренно. Найдём уравнение траектории

		2
			→t =	х
	x = t

y = 4t2	+2t → y = 4х+2	х

Графические зависимости:

а) б) в)

Рис. 1. а – зависимость ускорения от времени; б – зависимость проекции скорости на ось х от времени; в – зависимость координаты y от х.

Ответ:r =t2i +(4t2 +2t)j; r = 17t4 +16t3 +4t2 ; y = 4х+2х ;

υ = 2ti +(8t +2) j;							68t2 +32t +4;υх =8t;a = 2i +8 j;		a		=16,5 м/ с2
		υ		=	(2t)2 +(8t +2)2	=

частица движется вдоль траектории равноускоренно

ЗАДАЧА №2

Материальная точка движется по окружности радиусом R=8 м. При заданном уравнении движения материальной точки S(t) = 0,5 + 4t + t2 определите:

а) тангенциальное ускорение aτ, нормальное ускорение an и полное a ускорение в момент времени t1=2с;

б) характер движения материальной точки. Постройте графические зависимости S(t), υ(t), a(t)

Дано:

S(t) = 0,5 + 4t + t2

t1=2с R=8 м

Найти:

aτ=? an=? a=?

Построить графики:

S(t), υ(t), a(t)

Решение:

	V (t) = S / (t) = 4 +2t;V (2) =8								м
									с
	Тангенциальное ускорение aτ :
	aτ	(t) = S // (t) =V / (t) = 2					м
							с2
	Нормальное ускорение an :
	a	(t) = V 2		= (4 +2t)2		= 1 t2 +2t +2;
	n	R		8		2
	a (2) =8		м
			с2
	n

Полное ускорение:

a(t)	=
		a 2	(t) +a 2			(t) =				4t2 +8t +20
		n			τ
a(2) =				м	≈8,25			м
		68
				с2			с2

Частица движется по окружности с ускорением
		a(t) =	4t2 +8t +20
Графические зависимости:
а)	б)	в)

Рис. 2. а – зависимость S(t) ; б – зависимость V(t); в – зависимость a(t)

Ответ:aτ = 2 см2 ;an =8 см2 ;a ≈8, 25 см2

ЗАДАЧА №3

Из ямы глубиной h=1 м бросают тело под углом α=600 к горизонту со скоростью υ0=8м/с. Тело вылетает из ямы. Найдите: 1) положение и скорость тела через время t1=1с;2) максимальные высоту и дальность полета; 3) уравнение траектории тела. Постройте графические зависимости

S(t), υ(t), a(t)

Дано: Решение: h=1 м

α=600

υ0=8м/с t1=1с g=9,8м/с2

Найти:

x1=? у1=? V=?

hmax=? l=?

y(x)=?

Построить:

S(t), υ(t), a(t)

Положение тела через время t1=1с найдем за формулами: x1 =V0t1cosα

y1 =V0t1 sinα − gt212

Подставляя числовые значения, получим:

x	=8	м	1с	1	= 4м
		с		2
1							м
		м				9,8		1с	2
y	=8		1с sin 600 −				с2			≈ 2м
		с					2
1

Скорость тела через время t1=1с определим за формулой:

V = V02 cos2 α +(V0 sinα − gt1 )2

Подставляя числовые значения, получим:

V = 8 мс 2 cos2 600 + 8 мс sin 600 −9,8 см2 1с 2 ≈ 4,9 мс

Максимальная высота поднятия:

м 2

2

8

3

2 sin2 a

2

h

= V0

=

с

≈ 2, 45м

2g

м

max

2 9,8

Дальность полета:

с2

м 2

0

V0

2

sin 2α

8

sin120

l =

=

с

≈5,7м

g

9,8

м

с2

Уравнение траектории тела:

х

x

=V0tcosα

x

=

4t

t =

4

gt

2

→

2 →

х

х

2

V t sin

4

3t

5t

y

=

α

−

y

=

−

0

2

y = 4 3

−5

4

4

y(х) = 3х−165 х2 −уравнение траектории тела( с учетом, что g ≈10см2 )

Найдем зависимости S(t), υ(t), a(t)

S(t) = x(t) =V0t cosa = 4t

V(t) =

V 2 cos2 a +(V sina − gt)2

=

16 +(4

−10t)2 = 16 +48 −80

t+100 t2 =

3

3

0

0

= 100 t2 −80

t+64

3

200t −80

100t −40

a(t) = V/ (t) =

3

=

3

2 100 t2 −80

t+64

100 t2 −80

t+64

3

3

Графические зависимости:

а)

б)

в)

Рис. 3. а – зависимость S(t) ; б – зависимость V(t); в – зависимость a(t)

ЗАДАЧА №4

Груз массой m=3кг начинает двигаться из состояния покоя вдоль гладкой горизонтальной плоскости под действием силы F, причем Fх = t. Найдите зависимость x = f(t), (x(0) = 0). Постройте графические зависимости

Fх = f(t), υх = f(t) и x = f(t).

Дано: m=3кг

Fх = t x(0) = 0

V0=0

Найти: x = f(t)

Построить:

Fх = f(t) υх = f(t) x = f(t).

Решение:

Уравнение движения тела имеет вид:

x(t) = x0 +V0t + at2

2

Если x(0) = 0, то х0=0

V0=0.

Учитывая это, получим

x(t) = at2

2

За вторым законом Ньютона Fх=ma,откуда a = Fmx

Т

		x(t) =	at2	=	F t2	=	t t2		=	t3	(м)
	Тогда				x
			2		2m		2	3		6

/	t3	/		3t2		t2		м
υх= x	(t) =		=	6	=	2
	6							с
Графические зависимости:
а)				б)					в)

Рис. 4. а – зависимость Fх(t) ; б – зависимость υх(t); в – зависимость x(t)

Ответ: x(t) = at2

2

ЗАДАЧА №5

Два стальных шара массами m1=1 кг и m2=0,2 кг подвешены на нитях так, что при их касании центры находятся на ℓ=2 м ниже точек подвеса, а нити вертикальны. Меньший шар отводят в сторону (при этом нить отклоняется на

угол α=900) и отпускают. Принимая шары за абсолютно упругие, определите, на какую высоту поднимутся их центры шаров после удара. Что произойдет, если таким же образом отклонить большой шар? Постройте графическую зависимость h1 = f(m1).

Дано:

m1=1 кг m2=0,2 кг

ℓ=2 м

α=900

Найти: h

Построить: h1 = f(m1).

Решение:

Потенциальная энергия меньшего шара до удара пойдет на изменение потенциальной энергии шаров после удара

m2gl=( m1+ m2)gh

Отсюда

m2 gl = ( m1 + m2 )gh
h =	m2 gl		=		m2l	=	0,2кг 2м	= 0,33м
				m	+ m		0,2кг+ 1кг
	( m +	m )g
	1	2		1	2

Если таким же образом отклонить большой шар, то

	m1gl = ( m1 + m2 )gh
	h =	m1gl		=		m1l	=	1кг 2м	=1,67м
		( m +	m )g		m	+ m		0,2кг+ 1кг
		1	2		1	2

Запишем зависимость h1 = f(m1)

h1 (m1 )= m1 2+m10,2

Графическая зависимость

Рис. 5. зависимость h1 (m1 )

Ответ:0,33

ЗАДАЧА №6

Человек стоит на неподвижной горизонтальной скамье Жуковского и ловит мяч массой m1=0,3кг, летящий в горизонтальном направлении на расстоянии ℓ=0,5м от оси вращения скамейки. После этого скамейка начала вращаться с угловой скоростью ω=1рад/с. Момент инерции человека и скамейки J=5кг м2. Определить скорость движения мяча относительно неподвижного наблюдателя.

Дано: m1=0,3кг ℓ=0,5м

ω=1рад/с

J=5кг м2

Найти:

V

Ответ:33,8 мс

Решение:

По закону сохранения момента импульса

L1 = L2 , где L1 = mvl, L2 =(J1 + J)ω

Тогда

mvl =(J1 + J )ω,откуда

v = (J1 + J )ω

ml

J = ml2 -момент инерции мяча.

1 ЗАДАЧА №7

J-момент инерции человека со скамьей.

Имеем v =	(ml2	+	J )ω	=	(0,3кг (0,5м)2 +5кг м2 )1	рад	=33,
		ml			0,3кг 0,5м	с

ЗАДАЧА №7

Найти напряженность поля тяготения планеты в точках, расстояние которых от центра планеты равно 0R; 0,5R; 1,0R; 1,5R; 2,0R; 2,5R; 3,0R; 3,5R, 4R, где R=24622м – радиус планеты. Постройте графическую зависимость напряжённости поля тяготения планеты от расстояния r, считая, что плотность вещества планеты одинакова по всему объему и равна ρ=5430кг/м3, вне планеты плотность вещества близка к нулю. На какой высоте над поверхностью планеты напряженность её поля тяготения уменьшится в N=2 раза? Постройте графическую зависимость потенциала от расстояния r, в интервале 0<r<2R где 2R - два радиуса планеты.

Дано:

R=24622м

N=2

G=6,67 10−11 м3 2

кг с

ρ=5430кг/м3

Найти:

Е(0R), Е(0,5R), Е(1R),

Е(1,5R), Е(2R), Е(2,5R),

Е(3R), Е(3,5R), Е(4R), h

Построить:

Е(r)

φ(r)

Решение:

Материальные точки притягиваются друг к другу с силами, пропорциональными произведению их масс и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними:

F =G mM R2

Рассмотрим гравитационное поле, создаваемое точечной массой М. Очевидно, что оно обладает сферической симметрией – вектор напряженности E в любой его точке направлен к массе М , создающей поле, и равен по величине

E =

F

= F

=G M

m

4

r2

M = rV =

πrR3

3

Тогда

E =

4πrR3G

Подставляя числовые данные получим

3r2

4

3,14 5430

кг

(24622м)3 6,67 10−11

м3

2,26 10

7

Н

E(r) =

м3

кг с2

=

3r2

r2

м

Тогда

Е(0R)=∞ , Е(0,5R)=

2,26 107

≈ 0,15 Н

, Е(1R)=

2,26 107

≈ 0,0375

Н

,

(0,5 24622м)2

(1 24622м)2

м

м

Е(1,5R)=

2,26 107

≈1,7 10−2

Н

, Е(2R)=

2,26 107

≈9,4 10−3 Н

,

(1,5 24622м)2

м

(2 24622м)2

м

Е(2,5R)=

2, 26 107

≈ 6 10−3 Н

, Е(3R)=

2, 26 107

≈ 4

10−3 Н

,

(2,5 24622м)2

(3 24622м)2

м

м

Е(3,5R)=

2,

26 107

≈3

10−3 Н

, Е(4R)=

2, 26 107

≈ 2,3 10−3 Н

(3,5

24622м)2

(4 24622м)2

м

м

Найдем на какой высоте над поверхностью планеты напряженность её поля тяготения уменьшится в N=2 раза.

	E(R) =		2, 26		107
				R2
	E(R+h) =			2, 26				107
				(R +h)2
		E(R)						2, 26 107			(R +h)2
	N =						=		R2	=
		E(R+h)						2, 26 107			R2

(R +h)2

(R +h)2 = R2 N R +h = RN

h = RN −R = 24622м2 −24622м =10198м

Графические зависимости
а)	б)

Рис. 6. а – зависимость Е(r) ; б – зависимость φ(r)