Лекция4

Приближенное решение ОДУ

ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДА ЭЙЛЕРА НА СИСТЕМУ ОДУ

dyj

f

x, y , y

,...,y ,

j 1, 2,..., n

Все условия

заданы в

dx

j

1

2

n

0

одной точке!

Начальные условия

y j x0 y j

ЗАДАЧА КОШИ ИСПОЛЬЗУЕМ МЕТОД ЭЙЛЕРА

ПРИМЕР: Система 2х ОДУ первого порядка:

y f (x, y, z)

.

y(a) y0 ,

z(a) z0

,

x [a, b];

z g(x, y, z)

yi 1

yi

f (x , y

Обобщение метода Эйлера:

, z

),

h

i

i

i

Реализация:

zi 1

zi

0

0

g(xi

, yi

, zi

).

y0 =y , z0 =z ,

yi+1=yi+h f(xi , yi ,zi),	h
zi+1=zi+h g(xi, yi, zi). i=0, 1,..., M-1.		11

Приближенное решение ОДУ

ОБОБЩЕНИЕ МЕТОДОВ РУНГЕ-КУТТЫ НА СИСТЕМУ ОДУ

Система 2х ОДУ первого порядка:

y f (x, y, z)		x [a, b];	y(a) y0 ,	z(a) z0
	,
z g(x, y, z)

Обобщение двухэтапного метода Рунге-Кутты:

.

k1 f (xi , yi , zi ),

l1 g(xi , yi , zi ),

k2 f (xi h, yi hk1, zi hl1 ),

l2 g(xi h, yi hk1, zi

hl1 )

y

y

h

k1 k2

, z

z

h

l1 l2

.

i 1

i

i 1

i

2

2

12

Приближенное решение ОДУ

УРАВНЕНИЕ ВТОРОГО ПОРЯДКА:

y p( t )y q( t )y r( t ),

t [ a, b ]

2 дополнительных условия на функцию y заданы в одной точке x=a

	0		0	- начальные данные
y(a) y ,		y (a) z
Задача Коши с помощью замены: z(t)=y(t), z(t)=y(t)
			.
сводится к системе 2х ОДУ первого порядка:
y f (t, y, z) z
z g(t, y, z) p(t)z q(t) y r(t)
y(t), z(t) – искомые функции;
f ( t, y, z ), g (t ,y ,z) –функции правых частей;
y0, z0– начальные данные					13

Приближенное решение задачи Коши для ОДУ 1 порядка

•Для решения задачи Коши в MathCAD используется процедура Odesolve

•Член с высшей производной должен быть линейным

•Количество начальных условий должно равняться порядку ОДУ

•Необходимо создать блок решения, который начинается с ключевого слова Given и заканчивается вызовом Odesolve

•Внутри блока задается ОДУ и начальные условия

•Число разбиений можно не задавать, программа сама выберет оптимальное значение

•Для решения используются методы Адамса (многошаговые) или Рунге-Кутты (одношаговые)

•Опции решателя выбираются через контекстное меню

Пример 1 - начало

	Дано:	d y	- y cos(t) ½ sin 2 t ,		t [0, 3],		y(0) 0
		dt
	Точное решение:			u(t) sin(t) e- sin(t) -1

Проверка точного решения в MathCAD:

u(t) sin(t) e sin(t) 1

d u(t) cos (t) e sin(t)cos (t) dt

Начальные данные u(0) 0

	1			sin(2 t)				sin(t)
u(t)cos (t)			sin(2 t)		cos (t)		e		sin(t) 1
	2			2

Пример 1 - конец

Решение в MathCAD

	Given	d y(t)		y(t)cos (t)	1		sin(2 t)	y(0)		0
					2
		dt

y Odesolve(t 3)

0.4
0.368
0.3
u(t)
y(t) 0.2
0.1
0
0	0	1	2	3
	0		t	3

ПРИМЕР 2

	Задано уравнение гармонического осциллятора
	2	d 2 y		dy	y 0
		dt 2		dt

Описывает колебание маятника (угол отклонения от вертикали) с демпфированием. Начальные данные задают начальное значение угла и скорости

	0, y(0) 1
y (0)
Параметры 0.5,		0.2

задают частоту колебаний и величину демпфирования.

Найти решение задачи Коши с помощью встроенных функций MathCAD

Использование блока Given-Odesolve

Решение с помощью вычислительного блока Given-Odesolve

	0.5			0.2
Given	2 y'' (t)			y' (t) y (t)				0
	y' (0)		0	y (0)		1.0

y Odesolve(t 10)

	1
y(t)	0.5
	0
	0.5
	1
		0		2		4		6		8		10

Сведение к системе ОДУ

y (t) z
		1
z (t)			2 ( y y )
y(0) 1,				z(0) 0

Обозначим: u1=y(t), u2=z(t)

Решение с помощью встроенной функции

rkfixed

ORIGIN 1
u1 1	u2 0			t0 0			tk
				u2
D(t u)		u1			u2
				2

U rkfixed u t0 tk n D

10

	1
U 2	0
U 3	1
	2	0	2	4	6	8	10
				U 1