Лекция2

x, y X

МЕТРИКА, МЕТРИЧЕСКОЕ ПРОСТРАНСТВО

Пусть X – множество элементов произвольной природы, объединенных по какому-то признаку. Множество X - метрическое пространство, если любой паре его элементов сопоставляется вещественное число ρ (x, y), называемое расстоянием между x и y, которое удовлетворяет следующим аксиомам:

1.ρ (x, y) 0, причем из того, что ρ (x, y) = 0, следует, что x = y.

2.ρ (x, y) = ρ (y, x).

3.ρ (x, y) ρ (x, z) + ρ (z, y), где z X (неравенство треугольника)

Примеры:

1) множество вещественных чисел X = R с метрикой ρ (x, y) = x – y ;

2) X = R2, элементами которого являются пары вещественных чисел x (x1, x2 ) , y ( y1, y2 ) и т.д. Можно определить несколько метрик, например,

(x, y) (x1 y1)2 (x2 y2 )2 (евклидова метрика),

(x, y) max x1 y1 , x2 y2 ,

(x, y) x1 y1 x2 y2 .

3) множество всех вещественных функций, непрерывных на отрезке [a, b], для которого введены:

равномерная метрика, порождающая на X пространство С1[a, b]: (x(t), y(t)) max x(t) y(t) ;

t [a,b]

среднеквадратичная метрика, порождающая на X пространство L2[a, b]:

(x(t), y(t)) b x(t) y(t) 2 dt .

a

ЛИНЕЙНОЕ ПРОСТРАНСТВО, БАЗИС

Пусть X – множество каких-либо элементов; R – множество вещественных чисел.

Определим над элементами a,b X , α R, операции сложения и умножения на вещественное число:

a b c, c X , a b X .

Пространство X называется линейным, а его элементы a,b называются векторами, если a,b ,c X справедливы аксиомы:

коммутативности сложения a b b a ;

ассоциативности сложения a b с a b с ;

 существования нулевого элемента 0 X , такого, что a X справедливо 0 a a;

0 ;

ассоциативности умножения на скаляр a a ;

дистрибутивности a b a b , a a a . существования обратного элемента a X , такого, что a a

Подмножество Y линейного пространства X называется линейным многообразием.

Многообразие Y замкнуто, если a,		Y,	c a		Y и	R,		a Y .
							b
	b			b

Замкнутое линейное многообразие называется подпространством.

Примеры подпространств: плоскость в трехмерном пространстве, линия на плоскости и т.д.

ЛИНЕЙНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ВЕКТОРОВ

Система векторов a1, a2 , ..., an X называется линейно независимой, если из того, что

1a1 2a2 ... nan 0

следует, что 1 2 ... n 0 .

В противном случае векторы называются линейно зависимыми, и один из них может быть представлен в виде линейной комбинации остальных.

Действительно, пусть 1 0 , тогда вектор

a1 2 a21

a1	можно представить в виде линейной комбинации a2 , ..., an :
									n
			3					n
				a3	...			an i ai .
		1					1		i 2

БАЗИС

Базисом линейного многообразия X называется множество линейно независимых векторов

e1, e2 , ..., en X ,

таких, что каждый вектор x X может быть выражен в виде линейной комбинации векторов базиса: x 1e1 2e2 ... nen .

Вещественные числа 1 , 2 , ..., n называют координатами вектора x в базисе e1 ,e2 , ..., en .

Пусть многообразие X порождено векторами базиса e1,e2 , ...,en , n – размерность многообразия. В конечномерном линейном многообразии или векторном пространстве, порожденном n базисными векторами:

каждое множество n линейно независимых векторов является базисом;

всякое множество из m < n векторов не является базисом;

каждое множество из m > n векторов линейно зависимо.

Примеры базисов в пространстве R2

		1			0
Пример 1. Пусть e1
		0	, e2		1	.

																e				e								1					0			0
																						0
Проверим, что векторы линейно независимы:																																	1			0		,
																1 1			2	2					1			0			2
0			1	1		2	0		1 2 0.
1	1 0 2 0
ВЕКТОРА ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫ
				1						0
Пример 2.										1
				g1 1 , g2							.
												g		g							1					0				0
																0
Проверка линейной независимости:																															,
												1 1	2		2				1		1			2		1				0
1		1	0		2		0	1		2 0 .
							0
1 1			1 2

ВЕКТОРА ЛИНЕЙНО НЕЗАВИСИМЫ

НОРМА, НОРМИРОВАННОЕ ПРОСТРАНСТВО

Линейное пространство X называется нормированным, если любому его вектору x поставлено в соответствие вещественное число x , называемое нормой, которое удовлетворяет следующим свойствам:

1) x 0 x X , и если x 0, то x 0 ;

2) xx R ;

3)

x y

x

y

x, y X .

Как и метрика, норма в каждом пространстве не единственна.

Можно доказать, что всякое нормированное пространство является метрическим. Действительно, пусть (x, y) x y .

Покажем, что выполнены все аксиомы метрики: 1) (x, y) x y 0 по свойству нормы.

Если (x, y) 0 , то x y 0 x y 0 x y ;

2)(x, y) x y( 1) ( y x) 1 y x y x ( y, x) ;

3)(x, y) x z z yx z z y (x, z) (z, y).

Если метрическое пространство с метрикой линейно, то в нем можно ввести норму равенством xx 0 (x, 0) , т.е. норма вектора – это расстояние от него до нулевого вектора, которое обязательно присутствует в векторном пространстве.

ПРИМЕРЫ НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВ

1.Пусть Rn – множество n-мерных векторов с вещественными координатами x (x1, x2 , ..., xn ) , для которых норму можно определить как:

x

max

xi

;

0 i n

n

x

2

xi

2 ;

i 1

x1 xi ;

i1n

	x			n				p 1/ p
		p				xi		.
			i 1

2. В пространстве функций x(t), заданных на отрезке [a, b], норму можно определить как

x(t)

С

max

x(t)

;

1

t [a, b]

x(t)

L2

b x(t) 2 dt .

a

СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ, ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО

Линейное пространство X называется гильбертовым, или пространством со скалярным произведением, если любой паре его элементов x, y можно поставить в соответствие вещественное число, называемое скалярным произведением и обозначаемое x, y , которое удовлетворяет следующим свойствам:

1)	x, y y, x ;
2)	x y, z x, z	y, z	z X ;
3)	x, y x, y	R ;
4)	x, x 0, если x, x 0, то x				.
				0

Можно определить норму вектора как x x, x (доказать, что выполняются все аксиомы нормы). В таком случае говорят, что норма порождена скалярным произведением.

В пространстве со скалярным произведением любые два элемента связаны неравенством

Коши – Буняковского: x, y 2 x, x y, y ,

из которого следует неравенство Коши – Шварца: x, y x y .

	ПРИМЕРЫ ГИЛЬБЕРТОВЫХ ПРОСТРАНСТВ
Евклидово пространство n-мерных векторов с вещественными координатами
	n
	x (x1, x2 , ..., xn ), y ( y1, y2 , ..., yn ), (x, y) xi yi .
	i 1
Пространство	бесконечных вещественных последовательностей x {xn}n 1,..., , для которых

существует limn xn 2 . Тогда скалярное

Пространства вещественных функций

b x(t) 2dt . Тогда x(t), y(t) b x(t) y(t) dt .

произведение можно определить как (x, y) xi yi .

i 1

x(t) , определенных на отрезке [a, b], для которых существует

a

a

УГЛЫ МЕЖДУ ВЕКТОРАМИ, ТЕОРЕМА О РАЗЛОЖЕНИИ

Наличие скалярного произведения позволяет измерять не только расстояния, но и углы между элементами гильбертова пространства (векторами) и переносить на абстрактные пространства многие геометрические свойства двух- и трехмерных пространств.

Определим «косинус» угла между векторами:

cos(x, y)

(x, y)

[ 1, 1] ,

x

y

и на основе этого введем понятие параллельных и ортогональных векторов.

Параллельными будут векторы x, y , для которых cos(x, y) 1.

Два вектора x, y H называются ортогональными, т.е.

x y , если x, y 0 .

Элемент x H ортогонален

множеству

M H , т.е.

x M , если

он ортогонален каждому элементу

y M .

Тождество

x y

2

x y

2

2

x

2 2

y

2

называется равенством

параллелограмма, поскольку оно

аналогично формуле, связывающей сумму длин диагоналей параллелограмма и его периметр.