Лекция3

ЧИСЛЕННОЕ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВТОРОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

xi

f i f i1

fi1 fi

fi fi1

fi1

2 fi fi1

f

''

h

h

h

h

h2

.

Можно вывести с помощью метода неопределенных коэффициентов

Показать, что формула имеет второй порядок точности

21

Приближенное решение ОДУ

Обыкновенные Дифференциальные Уравнения

	dy	f x, y	y = y(x) – неизвестная функция
			x – независимая переменная
	dx
			f (x, y) – заданная правая часть

начальные условия: y(x0) = y0

Задача Коши для ОДУ 1 порядка

Методы решения:

•аналитические (точные)

•приближенные

22

Приближенное решение ОДУ

	dy	f x, y	y(x0) = y0
	dx

Будем искать приближенное решение на отрезке [ x0, xN ]

c шагом h

xN x0

в узлах

xi

x0 ih, i 0, 1,..., N

N

Цель – построить

x0

x1

…

xN

таблицу

y0

y1

…

yN

dy

y(xi 1 ) y(xi )

yi 1

yi

«разность вперед»

dx

x x

h

h

yii 1 yi

f (x , y ),

i 0,1,..., N 1,

y y0

h

i

i

0

Явная схема Эйлера	23

Приближенное решение ОДУ

	dy			y = y0	при x = x .
		f x, y				0
	dx
Явная схема Эйлера:					yi 1 yi	f (xi , yi ),
					h
y			y h f (x , y ),		i 0,1,..., N 1, y			y0
	i 1		i	i i			0
	y0		известно
y1 y0 h f (x0 , y0 ),						Таблица
y2 y1 h f (x1, y1 ), ...
						приближенного
yN yN 1 h f (xN 1, yN 1 ),						решения построена
								24

Приближенное решение ОДУ

yi yi 1

dy

dy

f x, y

Разность

dx

h

«назад»

dx

x x

i

Неявная схема Эйлера:

yi yi 1

f (x , y ),

h

i i

y h f (x , y ) y

, i 1,..., N,

y y0

i

i i

i 1

0

y0 известно

Чтобы найти y1

надо решить нелинейное уравнение

y1 h f (x1, y1 ) y0 ,

Метод имеет более сложную

…

реализацию

yN h f (xN , yN ) yN 1,

Используют для решения

«жестких» систем ОДУ

25

Приближенное решение ОДУ

ПОРЯДОК ТОЧНОСТИ МЕТОДОВ ЭЙЛЕРА

Определяется главным членом погрешности в

формуле численного дифференцирования

'		h
f xi fi		2	fi ...	Погрешность ~ h1

При уменьшении h в два раза погрешность уменьшится тоже в 2 раза

Более точными будут методы, в которых

ошибка ~h2 , т.е. методы второго порядка,

26