Пример

y

0

10

20

t ϵ [0;10], x ϵ [0;20]

Движение точки задано уравнениями

x =2t, y =3t2

Точка двигалась в течении 10с. Определить её траекторию

Решение:

Из 1-го уравнения

x	t = x / 2

Тогда уравнение траектории – (парабола)

y = 34 x2

12

А- O +

M	s = s(t)

B

ЕСТЕСТВЕННЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ	13

А	-O +	Естественный способ задания
		движения точки
	M	M2

M1

В

Путь, пройденный точкой М определится как

ОМ1 + М1М2

ЕСТЕСТВЕННЫЙ СПОСОБ ЗАДАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ТОЧКИ.	14

z

x

A	-O+	s
		∆s = ±			(∆x)2 +(∆y)2 +(∆z)2
	М
		При	∆t →0, ∆s →0, ∆x →0,
z
	y	x	∆y →0, ∆z →0
		B
		y ds = ±
					(dx)2 +(dy)2 +(dz)2

s, x, y, z − функции времени

dx = xdt, dy = ydt, dz = zdt

ds = ±x2 + y2 + z2 dt

15

	z	M(t)τ	V	ΔS
			M(t +		t)
	о			y	Vcp
	x	Перемещение точки за времяΔt
		∆r = r (t +∆t) −r (t)
	Средняя скорость за время									t
			Vcp =		∆r
					∆t
						∆r		dr
		V = lim	Vcp = lim				=
						∆t		dt	= r
		∆t→0		∆t	→0

(1.7)

(1.8)

16

Скорость материальной точки – это векторная кинематическая характеристика точки, определяющая быстроту изменения её положения относительно заданной системы координат и равная производной радиус-вектора точки по времени

Вектор скорости направлен по касательной к траектории движения точки

[v] = м/с

17

Скорость точки при координатном

способе задания ее движения

Подставим (1.3) в (1.8)

V = r = dtd (xi + yj + zk ) = xi + yj + zk =Vxi +Vy j +Vz k

(1.9)

Проекции вектора скорости на оси координат

Vx	=	=	=	(1.10)
	x,Vy	y,Vz	z

18

V = Vx2 +Vy2 +Vz2 = x2 + y2 + z2

Направление вектора скорости

Сos(V ,i ) = VVx ,cos(V , j) = VVy ,cos(V , k ) = VVz

19

Задано движение точки						π t		π t
				r	= 2cos	i	+2sin		6
						6
Определить скорость точки при t = 1c.
	π t		π t
X = 2cos	, y = 2sin
	6		6

		.
j

2

π t

2

π t

x2

y2

сos

+sin

=

+

=1

6

4

4

6

x2

y2

–уравнение траектории

4

+

4

=1

(окружность)

20

	π		π t			π		π t
Vx = x = −	3	sin	6	,Vy = y =		3	cos
								6
Vx (1) = −0,52м/ с					Vy (1) = 0,91м/ с

V = Vx2 +Vy2 =1,1м/ с

y V

M

1 2 x

21

Скорость точки при естественном

способе задания ее движения

V = dr = dr ds = ds τ = sτ dt ds dt dt

τ = dr ds

Величина скорости равна Ṡ

22

Задача

Точка движется по дуге окружности радиуса R =
20 см по закону s = 20 sinπt. Определить
величину и направление скорости в момент
времени t = 5c.	Решение. Определим
	сначала положение точки t =
V(5) -O+	5c: s(5) = 20sin5π= 0, т.е
	точка при t = 5c находится в
	положении О.
	Найдём теперь скорость
	точки: v(t) = .s = 20πсosπt ,
	V(5) = 20πcos5π= 20π.

23

Вопросы для самоконтроля

1.Что называется механическим движением материальной точки?

2.Какой геометрией описывается пространство, в котором происходит движение материальных объектов?

3.Зависит ли расстояние между двумя точками пространства от выбора системы координат?

4.Что означает однородность пространства и времени?

5.Что изучает кинематика?

6.Сформулируйте задачи кинематики.

24

7.Какие способы задания движения материальной точки существуют? Сформулируйте их.

8.Что такое траектория материальной точки?

9.Как связаны между собой координатный и естественный способы задания движения?

10.Зависит ли естественный способ задания точки от выбора системы координат?

11.Что такое скорость материальной точки?

12.Скорость – это векторная величина?

13.Дайте определение скорости.

14.Как определяется единичный вектор, направленный вдоль касательной к траектории?

15.Запишите определение скорости при естественном способе задания движения.

25