ledenev-a

Для вертикальной силы Р (d, 0), действующей снизу вверх, функция напряжений, удовлетворяющая условиям на свободной границе

полуплоскости (х = 0) σx = 0; τxy = 0, имеет вид

P

1

m −1

r

m +1 dx (d + x)

ϕ =

y(θ1 + θ2 ) −

(x − d ) ln

1

−

,

π

4m

2m

r 2

2

r2

2

где m =

1

; θ

–

угол между осью x (вертикальной) и прямой, соеди-

μ

1

няющий точку приложения силы Р с точкой (х, у), в которой определяются напряжения, θ2 – аналогичный угол, но не для точки приложения силы, а для зеркального отображения этой точки с координатами (– d, 0); r1 и r2 – расстояния между точками (х, у) и соответствую-

щими точками (d, 0) и (– d, 0).

Для горизонтальной силы Q, действующей слева направо и приложенной в точке (d, 0), функция напряжений определяется уравнением

		Q		1
	ϕ =		−		(x − d
		π		2

		+ Q2 ) −	m −1			r	+	m +1 dxy
	) (Q1				ln	1					.
			4m			r2		2m r 2
								2

Компоненты напряжений представляют через функцию напряжений:

σ =	∂ 2ϕ	;	σ =	∂ 2ϕ	;	τ = −	∂ 2ϕ	.
	∂y 2			∂x2
x			y			xy	∂x∂y

Формулы для вычисления напряжений от сосредоточенной силы Р для плоского напряженного состояния:

P

+ 1

(x − d )

3

(x + d )[(x + d )

2

+ 2dx]

8dx (d + x) y

2

σx

=

m

+

−

+

π

r

4

r

4

r 6

2m

1

2

2

m −1

x − d

3x + d

4xy

2

+

+

−

;

r 2

r

2

r

4

4m

1

2

2

(x − d ) y

2

(x + d ) ( y

2

+ 2d

2

) − 2dy

2

]

8dx (d + x) y

2

σ y

= −

P m +1

+

+

+

r

r 4

r 6

π 2m

4

1

2

2

m −1

x

− d

x + 3d

4xy

2

+

−

+

+

;

r 2

r 2

r 4

4m

1

2

2

11

+1

(x

− d )

2

x

2

− 2dx − d

8dx (d + x)

2

τ xy = −

P m

+

+

+

r

r 4

r 6

π 2m

4

1

2

2

m −1

1

1

4x(d + x)

+

−

+

.

r 2

r

4m r 2

4

1

2

2

Формулы для вычисления напряжений в условиях плоского напряженного состояния от сосредоточенной силы Q:

+1

(x

− d )

2

d

2

− x

2

+ 6dx

8dxy

2

σ x =

Qy m

+

+

−

π

r

4

r 4

r 6

2m

1

2

2

m −1

1

1

4x(d + x)

−

−

−

;

2

r

2

r

4

4m r

1

2

2

Qy

y

2

y

2

− 4dx −

2d

2

8dx (d + x)

2

σ y

=

m +1

+

+

+

π

4

r

4

r 6

2m r

1

2

2

m −1

1

3

4x(d + x)

+

+

−

;

r 2

r 4

4m r 2

1

2

2

(x

− d ) y

2

(2dx + y

2

) (d + x)

8dx (d + x) y

2

τ xy

=

Q m +1

+

−

+

π

r

4

r

4

r 6

2m

1

2

2

m −1

x − d

3x + d

4x(d + x)

2

+

+

−

.

r 2

r

2

r 4

4m

1

2

2

Формулы для вычисления напряжений от сосредоточенной силы в условиях плоской деформации:

	P(1− μ							2									y	2									y	2	−		4dx − 2d						2			dxy	2
u =										) 1			(1+ μ1 )									+ ln r1r2 +																+ 2				+
					πE												2r 2														2r									r 4
											2																							2
																		1														2							2
	1																			2( y 2 + dx + d 2 )														μ
+				(1		− μ1 ) ln r1 +									3ln r2 +																	+				1 (1	+ μ1 )		×
																								r		2
	4																																	2
																								2
				y	2				y		2	+	2d	2		2dxy			2					μ1									r2				d (x + d ) + y						2
×							+								+								−		(1 − μ				)		ln				− 2									;
			2r 2								2r		2			2r		4						4				1					r1							r 2
					1							2					2																						2

12

	P(1− μ	2					y(x − d )		y (x − d )		d	2	− x	2	+ y	2
ν =			) 1			(1+ μ1 ) −		−		+ dy							+
	πE						2r 2		2r 2				r
				2										4
							1		2				2

y

xy

μ

+ (1− μ1 ) arctg

−

−

1 (1

+ μ1 ) ×

x + d

2r

2

2

2

(x − d ) y

y (x + d )

2 (x + d ) dxy

μ1

xy

×

+

+

−

(1− μ )

.

2r

2

2r

2

r

4

1

r

2

2

1

2

2

2

Перемещения от горизонтальной силы Q в условиях плоской деформации:

	Q(1− μ								2		)																							y(x − d )													4dy									(x + d ) y													(x + d ) d + y				2
u =												1											+ μ1 ) −																						−									−								−													+
								1											(1																																														2dy
					πE																																	2r 2											r		2					2r 2															r 4
												2
																																								1							2										2													2
		(1− μ )																								x + d								xy								μ
+						1					2arctg																					−								−			1 (1+ μ1 ) ×
																																		r			2
						2																					y																2
																																		2
			y1			(x − d )																(x + d )																			x + d												μ1							xy
×													+ y																			−		2dxy																	−					(1− μ )								;
						2r		2																		2r		2															r	4													1			r		2
																																																					2
						1																				2																	2																		2
				Q(1− μ								2		)																				(x − d )									2				1
ν =												1					1						(1+ μ1)																						+							ln[(x − d )2 + y2 ][(x + d )2 + y 2 ] +
							πE																																2r 2								2
																	2
																																								1
					x2 + 6dx + 3d 2																								2dx (d + x)2																						(1− μ )
	+																										−																			+									1		×
														2																									4
											2r																										r																4
												2																									2
	×					1	ln[(x − d )																2 + y 2 ]+											3					ln[(x + d )2 + y																	2 ]+ 2x			d + x								−
																																																													r 2
				2																														2
																																																														2
					μ (1 + μ )																					(x − d )2														d 2		− x2							− 2dx									(x + d )2
		−				1							1						−																	+																				+ 2dx														+
																														2																	2																4
								2																			2r																	2r																		r
																													1															2																		2
					μ1 (1− μ1 )																1																												1																						d + x
		+																						ln[(x − d )2 + y 2 ]−																												ln[(x + d )2 + y 2 ]+ 2x																				.
								4											2																												2																								r 2
																																																																						2

В [17] показано: для того, чтобы формулы для напряжений привести к условиям плоской деформации, то величину μ = 1/ m заменить

величиной μ1 = μ /(1 − μ) .

13

Задача Р. Миндлина (R. Mindlin, 1950)

Вертикальная сосредоточенная сила Р приложена вблизи упруго-

го полупространства (рис. 1.3).

Перемещение в радиальном направлении

u =

Pr

z − c

+

(3 − 4μ)(z − c)

−

4(1 − μ)(1 − 2μ)

+

6cz(z + c)

,

R3

R3

R (R + z + c)

R5

16πG(1 − μ)

1

2

2

2

2

E

где

G =

(1 + μ)

–

модуль

сдвига;

R

=

(z − c)2 + r 2

;

2

1

R =

(z + c)2

+ r 2

.

2

Перемещение в вертикальном направлении

w =

P

3 − 4μ

+

8(1 − μ)2 − (3 − 4μ)

+

(z − c)

2

+

R2

R13

16πG(1

− μ)

R

1

+

(3 − 4μ)(z + c)2 − 2cz

+

6cz(z + c)

2

;

R3

R

5

2

2

Рис. 1.3. Схема к задаче Р. Миндлина для вертикальной силы, приложенной вблизи поверхности упругого полупространства

14

σx

=

P

(1 − 2μ)(z − c)

−

3x2 (z − c)

+

(1 − 2μ)[3(z − c) − 4υ(z + c)]

−

R3

R5

R3

8π(1 − μ)

1

1

2

−

3(3 − 4μ)x2 (z − c) − 6c(z + c)[(1 − 2μ)z − 2μc]

−

R5

2

30cx2 z(z + c)

4(1 − μ)(1 − 2μ)

x2

x2

−

−

1 −

−

;

R7

R (R + z + c)

R2

R (R + z + c)

2

2

2

2

2

2

σ y

=

P

(1− 2μ)(z − c)

−

3y 2 (z − c)

+

(1 − 2μ)[3(z − c) − 4μ(z + c)]

−

R3

R5

R3

8π(1− μ)

1

1

2

−

3(3 − 4μ) y 2 (z − c) − 6c(z + c)[(1 − 2μ)z − 2μc]

−

R25

30cy2 z(z + c)

4(1 − μ)(1 − 2μ)

y 2

y 2

−

−

1 −

−

;

R7

R2 (R2 + z + c)

R2

R2 (R2 + z + c)

2

2

P

(1

− 2μ)(z − c)

(1 − 2μ)(z − c)

3(z − c)

3

σz

=

−

−

−

−

8π(1− μ)

R3

R3

R5

1

2

1

−

3(3 − 4μ)z(z + c)2

− 3c(5z − c)

−

30cz(z + c)3

;

R5

R7

2

2

Py

(1

− 2μ)

3(z − c)

2

τ yz

=

−

(1 − 2μ)

+

−

−

R5

8π(1 − μ)

R3

R3

1

2

1

−

3(3 − 4μ)z(z + c) − 3c(3z + c)

−

30cz(z + c)2

;

R

5

R7

2

2

Px

(1 − 2μ)

(1− 2μ)

3(z − c)

2

τzx

=

−

+

−

−

R3

8π(1− μ)

R3

R5

1

2

1

−

3(3 − 4μ)z(z + c)

− 3c(3z + c)

−

30cz(z + c)

2

.

R5

R7

2

2

Горизонтальная сосредоточенная сила Р приложена вблизи поверхности упругого полупространства (рис. 1.4).

15

Рис. 1.4. Схема к задаче Р. Миндлина для горизонтальной силы, приложенной вблизи поверхности упругого полупространства

Решение задачи дается формулами:

P

3 − 4μ

1

x2

(3 − 4μ)x2

2cz

3x2

u =

+

+

+

+

1

−

+

16πG(1

R1

R2

R3

R3

R3

− μ)

R

2

1

2

2

2

	4(1 − μ)(1 − 2μ)					x2
+				1	−		;
	R		+ z + c
						R (R + z + c)
		2				2 2

v =

Pxy

1

+

(3 − 4μ)

−

6cz

−

4(1 − μ)(1 − 2μ)

;

R3

R5

R (R

+ z + c)2

16πG(1 − μ) R3

2

1

2

2

2

w =

Px

z − c

+

(3 − 4μ)(z − c)

−

6cz(z + c)

+

4(1 − μ)(1 − 2μ)

;

16πG(1

R3

R3

− μ)

R

5

R2 (R2 + z + c)

1

2

2

Px

1− 2μ

(1− 2μ)(5 − 4μ)

3x

2

3(3 − 4μ)x

2

σx

=

−

+

−

−

−

R3

R3

R5

8π(1− μ)

R5

1

2

1

2

4(1− μ)(1− 2μ)

x2 (3R2

+ z + c)

6c

5x

2

−

3 −

+

3c − (3 − 2μ)(z + c) +

;

R (R + z + c)

2

R2

(R + z + c)

R5

R

2

2 2

2

2

2

2

16

σ y

=

Py

1 − 2μ

+

(1 − 2μ)(5 − 4μ)

−

3y2

−

3(3 − 4μ) y

2

−

8π(1

R3

R3

R5

R5

− μ)

1

2

1

2

y

2

(3R

+ z + c)

2

4(1 − μ)(1 − 2μ)

2

6c

5 y

z

−

1

−

+

c

− (1 − 2μ)(z + c) +

;

R (R + z + c)2

R2 (R + z + c)

R5

R

2

2

2

2

2

2

2

σz

=

Px

1 − 2μ

−

1 − 2μ

−

3(z − c2 )

−

3(3 − 4μ)(z + c)

2

+

R3

R3

R5

R

5

8π(1 − μ)

1

2

1

2

6c

5z(z + c)

2

+

c

+ (1 − 2μ)(z

+ c) +

;

R5

R2

2

2

Pxy

3(z − c)

3(3 − 4μ)(z + c)

τ yz

=

−

−

+

6c

− 2μ +

5z(z + c)

1

;

R5

R5

R5

R

8π(1 − μ)

2

1

2

2

2

P

(1 − 2μ)(z − c)

(1 − 2μ)(z − c)

τzx =

−

+

−

8π(1 − μ)

R3

R3

1

2

−

3x2 (z − c)

−

3(3 − 4μ)x2 (z + c)

−

R

5

R5

1

2

6c

2

5x

2

−

+ c) − (1 − 2μ)x

−

z(z + c)

z(z

;

R5

R2

2

2

Py

1 − 2μ

1 − 2μ

3x2

3(3 − 4μ)x2

τxy

=

−

+

−

−

−

R3

R3

R5

R5

8π(1 − μ)

1

2

1

2

4(1 − μ)(1 − 2μ)x

2

x

2

(3R2

+ z + c)

6cz

5x

2

−

1 −

−

1 −

.

R5

R5

R (R + z + c)2 R2 (R + z

+ c)2

2

2

2

2

2

2

Задача Л. Кельвина (L. Kelvin, 1855)

Сосредоточенная вертикальная сила приложена на такой глубине, что влияние граничной плоскости несущественно (рис. 1.5).

Перемещения в направлении оси х

	ux	=	P(λ + μ0 )		xz	.
			8πμ0 (λ + 2μ0 ) r3

17

Рис. 1.5. Схема к задаче Л. Кельвина для вертикальной силы, приложенной внутри упругого полупространства

Перемещения в направлении оси y

	u y	=	P(λ + μ0 )		yz	.
			8πμ0 (λ + 2μ0 ) r 3
	Вертикальные перемещения

P(λ + μ0 )

z 2

λ + 3μ0 1

w =

+

λ + μ

.

8πμ

0

(λ + 2μ

0

)

r 3

0

r

Напряжения определяются по формулам:

σ

= P / 8π(1− μ)[(1 − 2μ)z(r 2

+ z 2 )−3/ 2 − 3r 2 z(r 2 + z 2 )−5 / 2 ];

r

σΘ = P / 8π(1 − μ)(1 − 2μ)z(r 2 + z 2 )−3/ 2 ;

σ

z

= −P / 8π(1− μ)[(1 − 2μ)z(r 2

+ z 2 )−3/ 2 − 3z(r 2 + z 2 )−5 / 2 ];

σ

rz

= −P / 8π(1 − μ)[(1 − 2μ)r(r 2

+ z 2 )−3/ 2 − 3rz 2 (r 2 + z 2 )−5 / 2 ].

18

Вформулах: λ и µ – постоянные Ляме

λ= Eμ /(1+ μ)(1− 2μ); μ0 = E / 2(1+ μ0 ).

Пространственная контактная задача. Рассмотрим задачу о давлении штампа на упругое полупространство (рис. 1.6). Силы трения между упругим телом и штампом не возникают. Предположим, что на границу полупространства при z = 0 действует заданная нагрузка p(x, y). Для нахождения напряженного состояния и перемещений в теле используют функции, введенные для решения трехмерной задачи П.Ф. Папковичем и Нейбером. Перемещения u, v и w выражаются через гармонические функции φ1, φ2 и φ3:

1

∂

u = φ1

−

(φ0

+ xφ1 + yφ2 + zφ3 );

4(1 − μ) ∂x

v = φ

−

1

∂

(φ

+ xφ + yφ

+ zφ

);

2

0

2

3

4(1 − μ) ∂y

1

1

∂

w = φ3

−

(φ0 + xφ1 + yφ2 + zφ3 ).

4(1 − μ) ∂y

На границе упругого полупространства τzx

= τzy

= 0.

Если ввести новую гармоническую функцию

ϕ =

3 − 4μ

φ ,

1

8(1− μ)2

Рис. 1.6. Схема к пространственной контактной задаче

19

то получим перемещения:

∞

∂ϕ1

∂ϕ1

u = (1− 2μ)∫

dz − z

;

z

∂x

∂x

∞

∂ϕ

∂ϕ

v = (1− 2μ)

∫z

1

dz

− z

1

;

∂y

∂y

∂ϕ1

w = 2(1− μ)ϕ − z

.

1

∂z

Компоненты напряжения:

1+ μ

∂ϕ

∞

∂2ϕ

∂2

ϕ

σ

= 2μ

1

+ (1

− 2μ)

∫

1

dz − z

1

;

x

∂z

E

∂x2

∂x2

z

+ μ

∂2ϕ1

1

τ yz = −z

;

E

∂y∂z

∞ ∂2ϕ

1+ μ

∂ϕ

∂2ϕ

σ y

= 2μ

1

+ (1

− 2μ)

∫

1

dz − z

1

;

E

∂z

∂y

2

∂y2

z

1+ μ

τzz

= −z

∂2ϕ

1 ;

E

∂z∂x

1+ μ

∞

∂2ϕ

∂

2ϕ

τxy

= (1− 2μ)

1

dz

− z

1

;

E

∫

∂x∂y

∂x∂y

z

+ μ

∂ϕ

∂2ϕ

1

σz

=

− z

1

∂z

21 .

E

∂z

Распределение контактных давлений под жестким фундаментом в случае пространственной задачи [79, 80]

Центральная нагрузка при круглой площади подошвы. Вертикаль-

ные перемещения точек поверхности массива, при давлении р, непрерывно распределенном по загруженной площади (рис. 1.7).

W =	1	∫∫F		p(ξ, η) dξdη		,
	πC
				(x − ξ)2 + ( y − η)2

где ξ и η – координаты центра элементарной нагруженной площадки; х и у – координаты рассматриваемой точки.

20