ledenev-a

Рис. 1.7. Схема площади загрузки произвольного вида

Осадки всех точек абсолютно жесткого фундамента при вертикальной равномерной нагрузке

1	∫∫F		p(ξ, η) dξdη			= W0	= const .
πC			(x − ξ)2 + ( y − η)	2

Давление в любой точке подошвы

px, y =		pm			,
	2 1− (ρ2
			/ r 2 )

где pm – среднее давление на подошву круглого фундамента; r – радиус

подошвы круглого жесткого фундамента; ρ – расстояние от центра круглой подошвы до любой точки на граничной плоскости (при ρ < r ).

Внецентральная нагрузка. Сжимающие напряжения непосредственно под подошвой жесткого цилиндрического фундамента нагруженного силой Р с эксцентриситетом е

			3			ey	+ 1
	p( x, y) =					r 2				Р .
			2πr r 2 − x2 − y 2
Угол наклона β фундамента к горизонту определяется выражением
	tgβ =		3(1 − μ2 )
								P ,
		2πr r 2 − x2 − y 2
где P –	нагрузка на фундамент; r –						радиус подошвы фундамента;
Е и μ –	модуль деформации и коэффициент бокового расширения

грунта; х, у – координаты рассматриваемой точки.

21

Определение напряжений под центром тяжести загруженного прямоугольника [79, 80]

Если на поверхности массива приложена местная равномерно распределенная нагрузка, то для определения напряжений выделяем бесконечно малый элемент загруженной площади и, считая нагрузку на этот элемент сосредоточенной, используя формулы Буссинеска, определяем составляющие напряжений. Проинтегрировав полученные выражения в пределах всей площади, получим формулы для составляющих напряжений от действия данной нагрузки (рис. 1.8).

Приведем формулу А. Лява [71, 75] для величины сжимающих напряжений, отнесенных к площадкам, паралелльным ограничивающей горизонтальной плоскости. Сжимающее напряжение в любой точке, лежащей под центром тяжести загруженного прямоугольника стороны которого равны 2l1, 2b1 (см. рис. 1.5), будет равно

	2 p		l1b1z	2				2		+ 2z				2				l1 b1
σ =					l1	+ b1									+ arcsin										,
	π		D		D		z		+ l			b						2	2			2
z						2		2			2		2				l	+ z		b	+ z
										1		1
																	1		1

где р – интенсивность внешней равномерно распределенной нагрузки; z – глубина рассматриваемой точки

D = l12 + b12 + z 2 .

l1 l1 l

Рис. 1.8. Схема действия местной равномерно распределенной нагрузки по прямоугольной площадке

22

Сжимающее (угловое) напряжение в любой точке, лежащей на вертикали под углом прямоугольника со сторонами l, b,

p

2

+ b

2

+

2z

2

lb

lbz l

szc

=

+ arcsin

.

2p

2

2

+ l

2

2

l 2 + z 2

D

D

z

b

b2 + z 2

Зная угловое напряжение, по нему легко определяем сжимающие напряжения для любых точек полупространства с помощью метода угловых точек [79, 80].

Плоская задача теории упругости. Трехмерная задача теории упругости сводится к двухмерной при следующих условиях: при деформации тела перемещения точек тела происходят только параллельно определенной плоскости (случай плоской деформации); компоненты тензора напряжений, параллельные некоторой оси, равны нулю (плоское напряженное состояние).

Примером плоской деформации является деформация призматического или цилиндрического тела постоянного поперечного сечения, имеющего достаточно большую длину в направлении продольной оси и подвергающейся действию равномерной нагрузке по длине, взаимно уравновешенной в любой плотности, перпендикулярной продольной оси.

Основные уравнения плоской теории упругости. Решения сво-

дятся к определению sx , s y ,

txy .

При этом должны соблюдаться уравнения равновесия

¶s

x

+

¶txy

+ x = 0

;

¶x

¶ y

¶txy

+

¶s y

+ y = 0

;

¶x

¶ y

и совместного деформирования

2

¶

2

¶

2

2 (l + m)

¶X

¶Y

Ñ

(sx

+

(sx + sy ) = -

+

2

2

+ sy ) =

¶x

¶y

l + 2m

¶x

.

¶y

Кроме того должны соблюдаться краевые условия на границе L области S:

X n = sxl + txy m; Yn = txy l + s y m ,

23

где Х, У – объемные силы; λ,				μ – упругие постоянные Ляме; X n , Yn –
компоненты внешних напряжений; l,								m –	направляющие косинусы
внешней нормали n.
Напряжения, связанные со смещениями, представлены уравне-
ниями:
σ	x	= λθ + 2μ		∂u ; σ			y	= λθ + 2μ ∂v ;
				∂x					∂x
		τ			∂u	+		∂v	,
			xy	= μ
					∂y
								∂x

где θ =	∂u	+	∂v	; u, v – смещение в направлении оси х
	∂x		∂y
При полной деформации
					λ
				∂ x = μ (σ x + σ y ) =		(σ x	+ σ y ).
					2 (λ + μ)

В случае плоского напряженного состояния ( σ z писанные уравнения следует вместо λ записать

иу.

=0 ) в ранее за-

λ* =	2μλ	или λ =	μE		λ* =	μE
				;			.
	λ + 2μ		(1+ μ) (1− 2μ)			(1+ μ) (1− μ)

Если продольная ось x3 , то

u3 = 0, u1 = u1 (x1, x2 ), u2 = u2 (x1, x2 ).

Примером плоского напряженного состояния является напряженное состояние тонкой пластики, ограниченной двумя плоскостями, перпендикулярными к оси x3 , и произвольной цилиндрической по-

верхностью, образованной параллельными той же оси. Нагрузка приложена только к этой поверхности и равномерно распределена по толщине пластинки.

Если на плоских гранях пластинки нагрузка отсутствует, то

σ33 = σ23 = σ13 = 0.

На любой площадке, перпендикулярной к оси x3

σ33 = σ23 = σ31 = 0,

а остальные компоненты тензора напряжений не зависят от координаты x3 .

24

Уравнение плоской деформации

										u3 = 0, u1 = u1 (x1, x2 ), u2 = u2 (x1, x2 ) ;
																e =			∂u1 , e = ∂u2 , e = 0,
																	11		∂x1										22						∂x2														33
			1		∂u					∂u		2									1				∂u				2						∂u				3																		1				∂u					∂u	3
e		=				1		+						, e				=													+												= 0,										e =										1		+				= 0 ,
			2		∂x					∂x											2					∂x									∂x																						2				∂x					∂x
	21					2											32												3										2														13										3
											1																																																							1
			e =					1	[σ − μ(σ											+ σ								)] ,							e =												1				[σ			− μ(σ								+ σ )] ,
																		22							33																												22							33
				11				E			11																									22											E																		11
			e =					1	[σ					− μ(σ + σ														)] ,							e =										1 + μ								σ , e = e = 0 .
											33													22
				33				E										11																12														E					12				23						31
		Уравнения равновесия представляются в виде
																		∂σ11 +											∂σ12 + F = 0,
																				∂x										∂x			2										1
																						1
																			∂σ										∂σ				22
																						12				+											+ F2 = 0.
																				∂x										∂x
																																	2
																						1
		Условие совместимости деформаций
																(σ + σ								) = −										1										∂F							+		∂F
																																												1										2		.
																																1		− μ										∂x									∂x
																	11					22																																2
																																											1
		Уравнение плоского напряженного состояния. При плоском
напряженном состоянии
																			σ33 = σ13 = σ23 = 0,
								e =							1		(σ − μσ												) ,						e							=				1			(σ					− μσ ) ,
																										22										22																	22
										11					E		11																														E										11
					e = −						μ				(σ + σ								) ,							e =								1+ μ										σ , e									= e = 0 .
																					22																																		23
					33						E						11												12												E								12											31
		Уравнения равновесия
																		∂σ11 +											∂σ12 + F = 0,
																				∂x										∂x													1
																			∂σ				1				+			∂σ2								+ F .
																							21											22
																														∂x
																				∂x														2									2
																							1

25

Условия совместимости деформаций

∂ 2e

+

∂

2e

− 2

∂ 2e

23

= 0 ,

22

33

∂x32

∂x22

∂x2

∂x3

∂

2e

+

∂ 2e

−

∂ 2e

= 0 ,

33

11

2

31

∂x2

∂x2

∂x

3

∂x

1

3

1

∂2e

+

∂

∂e

−

∂e

23

−

∂e

= 0 .

33

12

31

∂x ∂x

∂x

∂x

∂x

∂x

2

2

1

3

3

1

Эти уравнения удовлетворяются при

	∂ 2e	=	∂ 2e		=	∂ 2e		= 0.
	33			33		33
	∂x2		∂x	2		∂x ∂x	2
	1			2		1

Задача Фламана (Flamant, 1892)

Относится к числу статических задач теории упругости. Областью, занятой упругой средой, в данной задаче является полупространство 0 ≤ z < ∞ (рис. 1.9). Граница области z = 0 свободна от напряжений везде, за исключением оси у, вдоль которой приложена линейная нагрузка равномерной интенсивности Ρ.

Рис. 1.9. Схема к задаче Фламана

26

Рассматриваемая задача принадлежит к классу задач плоской деформации. Это обусловлено структурой области и граничными условиями. Все плоскости, перпендикулярные оси у, являются в данной задаче равноправными. Поэтому все искомые функции не зависят от координаты у.

Следовательно, достаточно рассмотреть только одну из таких плоскостей, например, плоскость xOz. Компонента ν вектора смещения вдоль оси у тождественно равна нулю, однако нормальное напряжение σy отлично от нуля. Вектор смещения в задачах этого класса равен

S= ui + wk ,

аиз соотношений Коши – что тензор деформации имеет вид

		ε					1	γ
						0
							2
				x		ε y				xz
	Э =		0					0		.
		1	γ				ε
					xz	0			z
		2

Из формул закона Гука вытекает, что только одно касательное напряжение не равно нулю

σ

x

0

τ

xz

π =

σ y

0

0

.

τxz

0

σ z

Решение задачи:

σ

=

2P

x 2 z

;

σ

=

2P

z3

; σ

= μ(σ

+ σ

);

x

π (x

2

+ z 2 )

2

z

π (x2 + z

2 )2

y

x

z

τ

=

2P

xz 2

.

xz

π

(x2 + z 2 )

2

Задача Фламана может быть легко обобщена на случай полосовой нагрузки, для которой приводится ряд важных инженерных задач.

Распределение напряжений в линейно деформируемом массиве при действии погонной нагрузки [79, 80]

σ

= −

2P

cos3 β

;

σ

= −

2P

sin 2 β cos2 β

;

z

π R

y

π

R

27

τ= − 2P sin β cos2 β ;

πR

W = −	2		1 − μ02	P ln(x) + c ;	U = ±	(1 − μ0 ) (1 − 2μ0 ) P	,
	π E0					2E0

где Р – сосредоточенная сила на единицу длины; β – угол, составляемый радиусом-вектором, проведенным из начала координат (точка приложения сосредоточенной силы) до рассматриваемой точки; R – расстояние от начала координат до рассматриваемой точки.

Напряжения в любой точке массива от действия сплошной полосообразной нагрузки шириной b [79, 80] (рис. 1.10)

		2	β1		2	β1
	σ z = −		∫ p y cos2 β dβ ;	σ y = −		∫ p y sin 2 β dβ ;
		π			π
			β2			β2

2 β1

τ = − π ∫ py sin β cosβ dβ ,

β2

где py – интенсивность распределенной нагрузки.

Рис. 1.10. Схема действия любым образом распределенной нагрузки в условиях плоской задачи

28

Напряжения при действии на поверхность грунта равномерно распределенной полосообразной нагрузки (рис. 1.11) [79, 80]

Рис. 1.11. Схема действия равномерно распределенной нагрузки в условиях плоской задачи

Рис. 1.12. Эллипс напряжений описывает совокупность полных напряжений, действующих на множество площадок в т. A (z, x).

Большая полуось совпадает с направлением биссектрисы угла видимости

29

Напряжения при действии на поверхность грунта равномерно распределенной полосообразной нагрузки

p

1

1

σ z

= −

β1

+

sin 2β1

−

(±β2 ) −

sin(±2β2 )

;

2

2

π

p

1

1

σ y

= −

β1

−

sin 2β1

−

(±β

2 ) +

sin(±2β

2 )

;

2

2

π

τ =

p

(cos 2β

− cos 2β ) .

2

2π

1

Напряженное состояние основания наглядно представляют с помощью эллипса напряжений (рис. 1.12), построенного на напряжениях как на полуосях (Добров Э.М., 2008).

Распределение напряжений при горизонтальной (параллельной ограничивающей плоскости) равномерно распределенной на-

грузке (рис. 1.13) [79, 80]

Решение данного случая получено проф. Г.В. Колосовым

σ y

=

q

(b + x)2 + z 2

−

4b qxz 2

ln

1

1

;

π

(b

− x)2 + z

2

2

+ x

2

+ z

2

)

2

2

2

1

π (b1

− 4b1

x

σ z

=

4b qxz 2

;

1

π (b2

+ x2

+ z

2 )2 − 4b2 x2

1

1

q

b − x

b + x

2b qz

b2

− x2

+ z

2

τ yz =

arctg

1

+ arctg

1

−

1

1

.

(b12 + x2 + z 2 )2

π

z

z

π

− 4b12 x2

Рис. 1.13. Схема действия горизонтальной равномерно распределенной нагрузки

30