4.9. Статические магнитные поля

К магнитостатическим полям мы будем относить магнитные поля, занимающие такие области пространства, в которых отсутствует плотность токов и которые не изменяются во времени. В соответствии с этим система уравнений Максвелла для магнитостатики имеет вид:

(4.54)

Эта система уравнений дополняется уравнением, связывающим вектора и М

или для линейной среды .

Так же, как и для электростатического поля в магнитостатике вводится скалярный магнитный потенциал _М, так что

. (4.55)

Для линейной вещественной среды можно записать

,

то есть

, (4.56)

которое является уравнением Лапласа для магнитостатики. Граничные условия для магнитостатики описываются уравнениями:

(4.57)

Второе ,и третье уравнения являются эквивалентными.

Сопоставляя системы уравнений, описывающих электростатические (4.1) при =0 и магнитостатические (4.54) поля, а также граничные условия для этих полей (4.7) и (4.57), видно, что они описываются совершенно одинаковыми по структуре уравнениями

(4.58)

Роль напряженности электрического поля в электростатике играет напряженность магнитного поля в магнитостатике. Роль электрического смещения — играет магнитная индукция и т. д. Приведем формальную аналогию между векторными и скалярными величинами электростатического и магнитостатического полей в табл.1.

Таблица 1.

Величины-аналоги
электростатика	магнитостатика
Е	Н
D	В
Р	М
	м
0	0

Установленная аналогия позволяет решения задач, известные для электростатики, перенести на аналогичные по конфигурации задачи магнитостатики и наоборот.

В качестве примера использования этой аналогии определим магнитное поле внутри ферромагнитного цилиндра радиуса а, имеющего магнитную проницаемость и помещенного в однородное поле напряженностью Н₀. Решение для аналогичного электростатического случая известно (4.53). Зная, что величинами Е аналогичны величины, и Н, запишем решение для нашей задачи

(4.59)

Интересно отметить, что при >> 1 напряженность магнитного поля внутри цилиндра во много раз меньше поля снаружи, а магнитная индукция внутри цилиндра не более чем в два раза превышает магнитную индукцию снаружи.

Уменьшение напряженности магнитного поля можно объяснить тем, что на внешнее поле внутри ферромагнитного тела накладывается в противоположном направлении поле, созданное намагниченностью самого тела. Математически это записывается так

H_i=H₀-H_M, (4.60)

где H_M- поле намагничивания, пропорциональное намагниченности М; то есть Н_М=N_M. Величина N названа размагничивающим фактором.

С учетом вышеизложенного и уравнения можно записать

.

Подставляя это выражение в (4.59) и (4.60), найдем размагничивающий фактор для цилиндра N=^l/₂. Как видно из получившегося результата, размагничивающий фактор не зависит от магнитной проницаемости вещества и определяется только формой тела.

Картины поля для ферромагнитного цилиндра, помещённого, в однородное магнитное поле, аналогичны картинам поля для диэлектрического цилиндра (|рис. 4.18,а, б).