Граничные условия для нормальных составляющих векторов электрического поля.

На поверхности sраздела двух сред (рис. 1.3) выделим в окрестности точкиFдостаточно малый объем в виде цилиндра с основаниеми образующей^.

Рис. 1.3. К выводу граничных условий, для нормальных составляющих векторов электромагнитного поля

Одно основание цилиндра, находится в первой среде, второе - во второй. Нормаль к поверхности примем направленной из второй среды в первую. Поверхность разделаsв общем случае может быть заряжена. Поверхностную плотность заряда примем равнойq_s. В соответствии с теоремой (законом) Гаусса поток вектора через поверхность рассматриваемого цилиндра равен

, (1.21)

где N_бок- поток векторачерез боковую поверхность цилиндра.

При h, стремящемся к нулю, поток векторачерез боковую поверхность цилиндра также стремится к нулю и уравнение (1.21) переходит в

D_ln-D_2n=q_s, (1.22)

которое и определяет собой граничное условие для нормальных составляющих вектора на заряженной поверхности раздела двух сред.

Из (1.22) следует, что при переходе через заряженную поверхность раздела величина нормальной составляющей вектора электрического смещения изменяется скачкообразно на величину поверхностной плотности зарядаq_s. С физической точки зрения скачок происходит вследствие того, что поверхностный заряд создает свое поле, которое в одной среде складывается с внешним полем, и в другой - вычитается.

В том случае, когда поверхностный заряд отсутствует, граничное условие (1.22) принимает вид

D_ln=D_2n. (1.23)

В условиях электростатики, то есть в тех случаях, когда движение электрических зарядов отсутствует, на поверхности проводника образуется поверхностный заряд, в то время как поле в самом проводнике отсутствует. Поэтому, если металл считать второй средой, граничное условие (1.22) перепишется в виде

D_ln=q_s, (1.24)

Таким образом, для электростатики нормальная составляющая вектора на поверхности раздела металл - диэлектрик со стороны диэлектрика равна поверхностной плотности зарядов на металлической поверхности.

Для плотности тока проводимости уравнение непрерывности в интегральной форме имеет вид (1.3)

.

Рассуждая аналогично предыдущему и учитывая, что при уменьшении высоты цилиндра h(рис. 1.3) интеграл отпо объему даст величину поверхностной плотности зарядаq_s, нетрудно получить уравнение

, (1.25)

которое является граничным условием для нормальных составляющих векторов плотностей тока проводимости.

Когда изменения во времени (стационарный режим) отсутствуют, получаем

. (1.26)

Ввиду того, что третье уравнение системы (1.17) и уравнение (1.20) одинаковы по структуре, граничное условие для векторов поляризации будет аналогично граничному условию (1.22) для векторов электрического смещения, то есть

P_1n-P_2n=-q_{s св}. (1-27)

Граничное условие для, нормальных составляющих, векторов магнитного поля.

Ход рассуждений и рисунок для этого случая полностью аналогичны ходу рассуждений и рис. 1.3. При этом нужно учесть, что или, откуда нетрудно получить

В_1n= В_2n. (1.28)

Граничные условия для тангенциальных составляющих векторов электрического поля.

По-прежнему считаем, что точка Fпринадлежит поверхностиs, разделяющей две среды (рис. 1.4).

Рис. 1.4. К выводу граничных условий для тангенциальных составляющих векторов электромагнитного поля

Достаточно малый прямоугольный контур, охватывающий точку Fтаким образом, что две его меньшие стороныhпересекают поверхность раздела, а две большиеlнаходятся по разные стороны от этой поверхности. На этом рисунке- единичный вектор, нормальный к поверхности раздела в точкеF;- единичный вектор, касательный к поверхности раздела в точкеF;- единичный вектор касательный к поверхности раздела и ортогональный ки; его направление выбрано с учетом направления обхода контура.

В соответствии с законом электромагнитной индукции (1.14) применительно к рассматриваемому случаю можно написать

.

Вкладом боковых сторон hв контурный интеграл здесь пренебрегаем, так как считаемh0. Кроме того, по той же причине, а также потому, чтоне может принимать бесконечных значений, можно от последнего равенства перейти к равенству

E_1t=E_2t. (1.29)

В условиях электростатики для поверхности раздела металл - диэлектрик можно записать

E_1t=E_2t=0, (1.30)

так как поле в проводнике отсутствует. В соответствии с (1.24) и (1.30) в условиях электростатики силовые линии электрического поля должны подходить к металлической поверхности по направлению нормали.