9 Хвильова функція. Рівняння шредінгера.

9.1 Мета заняття

Ознайомитись з рівнянням Шредінгера, уяснити фізичний зміст хвильової функції. Навчитися розв’язувати прості задачі квантової механіки.

9.2 Методичні вказівки з організації самостійної роботи студентів

При підготовці до практичного заняття вивчити теоретичний матеріал за конспектом лекцій або підручником [2, розд. 3.2-3.3, 4, § 21-275, розд. 11.4-11.11].З’ясувати, що в квантовій механіці стан мікрочастинки описується хвильовою функцією, фізичний зміст якої пов’язаний з імовірністю виявлення мікрочастинки, яку вона описує, в певному місці простору і в певний момент. Звернути увагу на те, що - функція може бути знайдена при розв’язанні рівняння Шредінгера. Відповісти на контрольні запитання, проаналізувати розв’язання задач, наведених як приклади.

9.3 Основні закони і формули

1. Загальне рівняння Шредінгера

,

де – оператор Лапласа,

–хвильова функція, яка описує стан частинки,

–повна енергія,

–потенціальна енергія частинки,

–маса частинки,

–стала Планка,

–уявна одиниця.

2. Рівняння Шредінгера для стаціонарних станів

.

3. Густина імовірності

,

де – імовірність того, що частинка знаходиться в межах об’єму.

4. Імовірність знаходження частинки в об’ємі .

,

де –комплексно спряжена хвильова функція.

5. Умова нормування хвильової функції

.

6. Коефіцієнт прозорості прямокутного потенціального бар’єру

,

де – висота потенціального бар’єру,

–енергія частинки,

–висота потенціального бар’єру.

9.4 Контрольні запитання і завдання.

1. Сформулюйте рівняння Шредінгера в загальному вигляді і дайте визначення основних параметрів.

2. Сформулюйте стаціонарне рівняння Шредінгера і дайте визначення основних параметрів.

3. В чому полягає фізичний зміст -функції?

4. Від чого залежить ймовірність виявлення частинки в даній точці простору?

5. Яким умовам повинна задовольняти -функція?

6. Запишіть вираз для псі-функції у загальному виді.

7. Запишіть умову нормування хвильової функції.

8. В чому полягає явище тунельного ефекту?

9. За допомогою яких фізичних характеристик описують проходження частинки крізь потенціальний бар’єр?

10. Чому дорівнює коефіцієнт прозорості прямокутного потенціального бар’єру?

9.5 Приклади розв'язання задач.

Задача 1. Протон знаходиться в нескінченно глибокій одновимірній прямокутній потенціальній ямі шириною Å у збудженому стані (). Знайти: 1) різницю енергій між рівнямиі; 2) нормувальний коефіцієнт хвильової функції, яка описує стан протона у потенціальній ямі.

Дані: Å=м,

кг,

,.

–? А – ?

Аналіз і розв’язання

Для розв’язання задачі скористаємось рівнянням Шредінгера для стаціонарних станів

. (9.1)

У випадку одновимірної нескінченно глибокої потенціальної ями, в якій рухається протон, рівняння (9.1) набуває вигляду

. (9.2)

Потенціальна енергія дорівнює нулю приі перетворюється в нескінченність приі(рис. 9.1).

Рисунок 9.1

За межі потенціальної ями протон потрапити не може, тому імовірність виявлення його зовні дорівнює нулю. А з умови безперервності випливає, що хвильова функція повинна дорівнювати нулю і на межах ями, тобто

. (9.3)

Всередині ями (,) рівняння Шредінгера має вигляд

. (9.4)

Позначимо

(9.5)

і запишемо (9.4) у вигляді

. (9.6)

Розв’язком рівняння (9.6) є

. (9.7)

З граничних умов (9.3) знайдемо сталі і.

З умови отримаємо

,

звідки випливає, що.

З другої граничної умови маємо

і знаходимо, що це можливо лише при

(). (9.8)

З рівнянь (9.5) і (9.8) знаходимо

().

1. Знайдемо різницю енергії двох сусідніх рівнів з квантовими числами і.

.

Підставляючи числові значення величин, знаходимо

= 22,25 (еВ).

2. Для знаходження нормувального коефіцієнта підставимо в (9.7) значення, яке отримуємо з (9.8). В результаті маємо власні функції

.

Скористаємось умовою нормування

,

яку у даному випадку запишемо так

. (9.9)

Візьмемо інтеграл у лівій частині рівності (9.9)

. (9.10)

З урахуванням (9.10) умова нормування (9.9) набуває вигляду

.

Звідки

.

Для даної ширини ями Å=м нормувальний коефіцієнт дорівнює

(м^-1).

Задача 2. Електрон знаходиться у нескінченно глибокій потенціальній ямі ширини . Визначити ймовірність того, що електрон, що знаходиться у збудженому стані (=2), буде виявлений в середній третині ями.

Дані: ,=2, ,

–?

Аналіз і розв’язання

Ймовірність того, що частинка буде виявлена у межах інтервалу дорівнює

, (9.11)

де – власна хвильова функція, що відповідає даному стану.

Для електрона в потенціальній ямі ця функція дорівнює

.

Для збудженого стану (=2) :

(9.12)

Підставивши (9.12) в (9.11), отримаємо

. (9.13)

Межі інтегрування для середньої третини потенціальної ями дорівнюють ,.

Підставимо ці межі в (9.13) та зробимо заміну

Задача 3. Знайти ймовірність проходження мікрочастинки крізь потенціальний бар'єр прямокутної форми (рис. 9.2), якщо потенціальна енергія менша від повної енергії.

Дані: ,

–?

Рисунок 9.2

Аналіз і розв’язання

Для характеристики величини тунельного ефекту введемо коефіцієнт прозорості бар’єра, під яким будемо розуміти модуль відношення густини потоку частинок, що пройшли крізь бар’єр, до густини потоку падаючих частинок. Нехай частинка рухається в додатному напрямі осі . Хвиля де Бройля, яка відповідає руху частинки, пройде крізь нього і поширюватиметься в області.

Рівняння Шредінгера в різних областях мають такий вигляд

– область 1,

– область 2,

– область 3,

де ,.

В області 1,2 існує як падаюча, так і відбита хвиля

,

.

В області 3 є лише хвиля, що рухається в додатному напрямі осі

.

Скориставшись умовами безперервності хвильової функції та її похідної в точках ,:

,

,

,

,

можна знайти такі співвідношення між коефіцієнтами :

, (9.14)

, (9.15)

, (9.16)

. (9.17)

З рівнянь (9.15) та (9.17) випливає, що

, (9.18)

, (9.19)

де .

Оскільки , то з (9.18) та (9.19) маємо, що. Тому можна покласти.

Розв’язуючи рівняння (9.14) та (9.16), знаходимо

звідки коефіцієнт прозорості (дифузії) матиме такий вигляд

.

Введемо величину , тоді одержимо

.