=ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ В ПРОСТРАНСТВЕ 1= (1)

=МАТЕМАТИКА=

О.А. Мокеева

Элементы аналитической геометрии в пространстве

0

ЭЛЕМЕНТЫ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ

ВПРОСТРАНСТВЕ

1.Прямоугольная система координат в пространстве

Прямоугольная система координат Oxyz в пространстве оп-

ределяется заданием масштабной единицы измерения длин и трех пересекающихся в одной точке O взаимно перпендикулярных осей: Ox, Oy и Oz . Точка O − начало координат,

Ox − ось абсцисс, Oy − ось ординат, Oz − ось аппликат.

Пусть M − произвольная точка пространства (рис. 1). Проведем через точку M три плоскости, перпендикулярные координатным осям Ox, Oy и Oz . Точки пересечения плоскостей с

осями обозначим соответственно через M x , M y и Mz .							Прямо-
угольными координатами точки M называются числа x							OM x ,
	y OM y , z				OM z , т. е. величины направленных отрезков
OM x , OM y ,					OM z ; при этом x называется абсциссой,		y − ор-

динатой, а z − аппликатой точки M . Символ M (x; y ; z) обо-

значает, что точка M имеет координаты x, y, z . Если M −

произвольная точка пространства, то вектор OM называется

радиусом-вектором точки M .

Рис. 1 Рис. 2

Таким образом, при выбранной системе координат каждой точке M пространства соответствует единственная упорядоченная тройка чисел (x ; y ; z) − ее прямоугольные координаты и,

1

обратно, каждой упорядоченной тройке чисел (x ; y ; z) соответ-

ствует, и притом одна, точка M в пространстве.

Плоскости Oxy, Oyz, Oxz называются координатными плос-

костями. Они делят все пространство на восемь частей, называемых октантами, которые нумеруют так, как показано на рис. 2.

Расстояние между двумя точками M1(x1; y1; z1) и

M2 (x2 ; y2 ; z2 ) вычисляется по формуле:

d

(x

x )2

( y

y )2

(z

2

z )2 .

(1)

2

1

2

1

1

Координаты (x; y ; z) точки M ,

делящей в заданном отно-

шении

AM

отрезок

AB,

(A(x1; y1; z1), B(x2 ; y2 ; z2 )) ,

MB

определяются по формулам:

x

x1

x2

, y

y1

y2

, z

z1

z2

.

(2)

1

1

1

В частности, при

1

(точка M делит отрезок

AB попо-

лам), получаются формулы для определения координат середи-

ны отрезка:

						x				x1		x2	, y								y1				y2			, z						z1				z2	.
							2													2																2
Пример 1.1. Найти координаты точки А,																																	делящей отрезок A1 A2
в отношении A1 A : A A2												2 : 3 , если A1 (2;4; 1) ,																								A2 (				3;			1;6) .
Решение. По условию																		2		. По формулам (2) находим:
																		3
2			2	( 3) 2 2																4								2	( 1) 4											2			10
		3																									3													3
x													0 ,								y																							3		2	,
		1			2							5												1						2							5						5
				3								3																	3								3						3
												1		2				6		1							4		3							9
								z					3																								.
												1			2									5					5							5
													3											3					3
Точка А имеет координаты																				0;2;					9	.
																								5
Ответ:		A		0;2;			9			.
							5

2

Пример 1.2. Точка C(3;2;4) делит отрезок AB в отношении

53 . Найти координаты точки B, если A( 3;2;1) .

Решение. Пусть B(xB ; yB ; zB ) . Так как точка C делит отрезок

	AB в отношении															3		, то по формулам (2):
															5
											3				3			x	B			2			3				y		B					1			3		z	B
3															5						, 2				5								,	4					5				,
											1				3										1			3								1				3
															5													5												5
откуда xB 13,											yB				2 ,			zB		9 .
	Ответ: B (13;2;9) .
	Пример 1.3. На оси Oy																					найти точку,														равноудаленную от
двух точек A(2;3;1)														и B (						1;5;		2) .
	Решение. Точка M ,																	лежащая на оси Oy , имеет координаты
																															BM
	M (0; y;0) . По условию задачи																							AM											. Найдем расстояния
	AM		и		BM				, используя формулу (1):
							AM				(0				2)2						( y	3)2			(0						1)2							y2		6y				14 ,
						BM					(0				1)2				( y			5)2			(0						2)2							y2		10y				30.
Получим уравнение																		y2			6y 14									y2				10y					30. Отсюда на-
ходим, что 4 y											16 , т. е. y										4 . Искомая точка есть M (0;4;0) .
	Ответ: M (0;4;0) .

3

2. Плоскость в пространстве

Каждая плоскость в пространстве Oxyz определяется линей-

ным алгебраическим уравнением первой степени.
1. Уравнение	плоскости,	проходящей через		точку
M0 (x0 ; y0 ; z0 ) перпендикулярно вектору n			( A; B;C) :
A(x	x0 ) B( y y0 )	C (z z0 )	0.	(3)

Ненулевой вектор, перпендикулярный к плоскости, называ-

ется нормальным вектором плоскости.

Вектор n ( A; B;C) − нормальный вектор плоскости (или просто нормаль).

z					n
		M0
O			M
							y
			Q
x
2. Общее уравнение плоскости:
Ax By Cz D 0				( A2	B2	C 2	0) .
Частные случаи расположения плоскости:
1) если D 0 , то плоскость Ax				By	Cz	0 проходит через
начало координат;
2) если в уравнении плоскости				Ax	By	Cz	D 0 коэф-

фициент при какой-то переменной равен нулю, то при D 0

плоскость параллельна соответствующей координатной оси, а

при D 0 плоскость проходит через соответствующую коорди-

натную ось.

4

3. Уравнение плоскости в отрезках:

x		y		z	1,
a		b		c

где a,b, c − абсцисса, ордината и аппликата точек пересечения плоскостью координатных осей Ox , Oy и Oz соответственно.

Данным уравнением удобно пользоваться при построении плоскости.

z

c
O	b	у
a
х
4. Расстояние d	от точки M0 (x0 ; y0 ; z0 ) до плоскости

Ax By Cz D 0 находится по формуле:

d	Ax0 By0		Cz0	D	.
		A2 B2	C 2

5. Уравнение	плоскости, проходящей через три данные точ-
ки M1(x1; y1; z1) ,	M2 (x2 ; y2 ; z2 ) , M3 (x3; y3; z3 ) :
		x	x1	y	y1	z	z1
		x2	x1	y2	y1	z2	z1	0 .
		x3	x1	y3	y1	z3	z1

6. Пусть даны две плоскости Q1 и Q2 :

A1x B1 y C1z D1 0 (n1 (A1; B1;C1)) ,

A2 x B2 y C2 z D2 0 (n2 (A2 ; B2 ;C2 )) .

5

В качестве угла между плоскостями Q1

и Q2 принимают

угол между их нормальными векторами:

cos

n1

n2

n1

n2

или в координатной форме:

cos

A1 A2

B1B2 C1C2

.

A2

B2

C 2

A2

B2

C 2

1

1

1

2

2

2

Для нахождения острого угла:

cos

A1 A2

B1B2

C1C2

.

A2

B2

C2

A2

B2

C2

1

1

1

2

2

2

Q2

n1

Q1

n2

Условие параллельности двух плоскостей:

A1		B1		C1	.
A2		B2		C2

Условие перпендикулярности двух плоскостей:

A1A2 B1B2 C1C2 0 (n1 n2 0) .

6

Плоскости совпадают, когда

	A1		B1		C1		D1	.
	A2		B2		C2		D2
7. Нормальное уравнение плоскости:
x cos		y cos				z cos p 0 ,

где p − длина перпендикуляра OK , опущенного из начала координат на плоскость; , , − углы, образованные единичным вектором e , имеющего направление перпендикуляра OK ,

с осями Ox , Oy и Oz (cos 2 cos 2 cos 2 1) .

Возьмем на плоскости произвольную точку M (x; y ; z) и соеди-

ним ее с началом координат. Образуем вектор

ОМ (x ; y ; z) .

r

При любом положении точки M на плоскости Q проекция

радиус-вектора

на направление вектора e

всегда равна p :

r

прe

p , т. е.

e

p или

e

p 0 .

r

r

r

z

e

p K

M

r

O

Q y

x

Замечание. Общее уравнение плоскости Ax By Cz D 0

приводится к нормальному виду путем умножения на норми-

рующий множитель

	1		,
	A2 B2 C2

учитывая, что знак перед дробью берется противоположным знаку свободного члена D общего уравнения плоскости.

7

8. Плоскость P , проходящая через две точки M1(x1; y1; z1) и M2 (x2 ; y2 ; z2 ) перпендикулярно к плоскости Q, заданной урав-

нением Ax By Cz D		0 , представляется уравнением
	x	x1	y	y1	z	z1
	x2	x1	y2	y1	z2	z1	0 .	(4)
		A		B		C
Замечание. В случае, когда прямая M1M2							перпендикулярна к

плоскости Q, плоскость P неопределенна. В соответствии с этим уравнение обращается в тождество.

9. Плоскость P, проходящая через точку M1(x1; y1; z1) и

перпендикулярная к двум (непараллельным) плоскостям Q1 ,							Q2 :
A1x B1 y C1z D1		0 , A2 x B2 y C2 z D2				0 ,
представляется уравнением
	x x1	y y1	z z1
	A1	B1	C1		0 .		(5)
	A2	B2	C2
Замечание. В случае параллельности					плоскостей	Q1 ,	Q2

плоскость P неопределенна. В соответствии с этим уравнение обращается в тождество.

3.Прямая в пространстве

1.Канонические уравнения прямой, проходящей через данную

точку M0 (x0; y0; z0 ) параллельно вектору s (m; n; p) :

x x0		y y0		z z0	.
m		n		p

Всякий ненулевой вектор, параллельный данной прямой, на-

зывается направляющим вектором этой прямой.

Вектор s (m; n; p) − направляющий для прямой.

8

2. Прямую в пространстве можно задать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей.

Общие уравнения прямой:

A1x B1 y C1z D1 0, A2 x B2 y C2 z D2 0

(коэффициенты при переменных не пропорциональны).

Направляющий вектор данной прямой находится по формуле:

B1

C1

;

A1

C1

;

A1

B1

.

s

(6)

B2

C2

A2

C2

A2

B2

3. Необходимое и достаточное условие расположения двух прямых в одной плоскости (условие компланарности двух прямых):

x2 x1	y2	y1 z2	z1
m1	n1	p1		0 .	(7)
m2	n2	p2

Замечания.

1)если в определителе все строки пропорциональны, то пря-

мые совпадают;

2)если пропорциональны только вторая и третья строки, то

прямые параллельны;

3)если определитель равен нулю, но вторая и третья строки непропорциональны, то прямые пересекаются;

4)если определитель не равен нулю, то прямые скрещиваются.

4. Расстояние от точки M0 (x0 ; y0 ; z0 ) до прямой

x x1			y y1					z z1	вычисляется по формуле:
m1				n1				p1
				y		y	0	z z		0		2		x x		z z		0			2		x x		y	y	0		2
				1				1						1	0	1							1	0	1
d				n1				p1							m1		p1						m1			n1				.
															m2	n2	p2
															1	1	1

9