22. Максимальная скорость передачи данных через канал

В 1924 году американский ученый X. Найквист (Н. Nyquist) из компании AT&T пришел к выводу, что существует некая предельная скорость передачи даже для идеальных каналов. Он вывел уравнение, позволяющее найти максимальную скорость передачи данных в бесшумном канале с ограниченной полосой пропускания частот. В 1948 году Клод Шеннон (Claude Shannon) продолжил работу Найквиста и расширил ее для случая канала со случайным (то есть термодинамическим) шумом. Мы кратко рассмотрим результаты работы Найквиста и Шеннона, ставшие сегодня классическими.

Найквист доказал, что если произвольный сигнал прошел через низкочастотный фильтр с полосой пропускания H, то такой отфильтрованный сигнал может быть полностью восстановлен по дискретным значениям этого сигнала, измеренным с частотой 2Fв секунду. Производить измерения сигнала чаще, чем 2Hв секунду, нет смысла, так как более высокочастотные компоненты сигнала были отфильтрованы. Если сигнал состоит из V дискретных уровней, то уравнение Найквиста будет выглядеть так:

максимальная скорость передачи данных = 2Hlog₂V, бит/с

Так, например, бесшумный канал с частотой пропускания в 3 кГц не может передавать двоичные (то есть двухуровневые) сигналы на скорости, превосходящей 6000 Кбит/с.

Итак, мы рассмотрели случай бесшумных каналов. При наличии в канале случайного шума ситуация резко ухудшается. Уровень термодинамического шума в канале измеряется отношением мощности сигнала к мощности шума и называется отношением сигнал/шум. Если обозначить мощность сигнала S, а мощность шума – N, то отношение сигнал/шум будет равно S/N. Обычно сама величина отношения не употребляется. Вместо нее используется ее десятичный логарифм, умноженный на 10: 10 lg S/N. Такая единица называется децибелом (decibel, dB, дБ). Таким образом, если отношение сигнал/шум 10, это соответствует 10 дБ, отношение 100 равно 20 дБ, отношение 1000 равно 30 дБ и т. д. Производители стереоусилителей часто указывают полосу частот (частотный диапазон), в котором их аппаратура имеет линейную амплитудночастотную характеристику в пределах 3 дБ. Отклонение в 3 дБ соответствует ослаблению сигнала примерно в два раза (потому что log₁₀3 = 0,5).

Главным результатом, который получил Шеннон, было утверждение о том, что максимальная скорость передачи данных в канале с полосой частот FГц и отношением сигнал/шум, равным S/N, можно вычислить по формуле

максимальная скорость передачи данных = Flog₂(l+S/N).

Например, канал с частотной полосой пропускания в 3000 Гц и отношением мощностей сигнала и термального шума в 30 дБ (обычные параметры для аналоговой части телефонной системы) никогда не сможет передавать более 30 000 бит/с, независимо от способа модуляции сигнала, то есть количества используемых уровней сигнала, частоты дискретизации и т. д. Результат, полученный Шенноном и подкрепленный постулатами теории информации, применим к любому каналу с гауссовским (термальным) шумом. Попытки доказать обратное следует считать обреченными не провал. Однако следует заметить, что данная теорема описывает верхний, теоретический предел пропускной способности информационного канала, и реальные системы редко достигают его.

ЗАДАЧА

1. По бесшумному каналу с полосой пропускания 4 кГц каждую 1 мс передаются отсчеты сигнала. Какова будет максимальная скорость передачи данных?

A noiseless channel can carry an arbitrarily large amount of information, no matter how often it is sampled. Just send a lot of data per sample. For the 4 kHz channel, make 8000 samples/sec. If each sample is 16 bits, the channel can send 128 kbps. If each sample is 1024 bits, the channel can send 8.2 Mbps. The key word here is ‘‘noiseless.’’ With a normal 4 kHz channel, the Shannon limit would not allow this.

2. Ширина телевизионных каналов составляет 6 МГц. Сколько бит в секунду может быть передано по такому каналу при использовании четырехуровневых цифровых сигналов? Предполагается, что шума в канале нет.

Using the Nyquist theorem, we can sample 12 million times/sec. Four-level

signals provide 2 bits per sample, for a total data rate of 24 Mbps.

V_max=2Hlog₂V

H – полоса пропускания

V – количество дискретных уровней