1) Предел функции двух переменных

Прямоугольной δ-окрестностью (дельта-окрестностью) точки  M₀(x₀y₀) называется прямоугольникс центром в точке M₀ и с одинаковыми по длине сторонами 2δ.

Круговой δ - окрестностью точки M₀(x₀y₀) называется круг радиуса δ с центром в точке M₀, т. е. множество точек M(xy), координаты которых удовлетворяют неравенству:

Введём следующее понятие предела функции двух переменных: Пусть функция z = f ( x, y ) определена в некоторой области ζ и M₀(x₀y₀) - точка, лежащая внутри или на границе этой области.

Конечное число A называется пределом функции f ( x, y ) при

и 

если для любого положительного числа ε можно найти такое положительное число δ, что неравенство выполняется для всех точек М(х,у) из области ζ, отличных от M₀(x₀y₀), координаты которых удовлетворяют неравенствам:. Смысл этого определения состоит в том, что значения функцииf ( х, у ) как угодно мало отличаются от числа А в точках достаточно малой окрестности точки М₀.

Здесь в основу определения положены прямоугольные окрестности М₀. Можно было бы рассматривать круговые окрестности точки М₀ и тогда нужно было бы требовать выполнения неравенстваво всех точках М(х,у) области ζ, отличных от М₀ и удовлетворяющих условию: где - расстояние между точками М и М₀. Употребительны следующие обозначения предела:

2) Непрерывность функции двух переменных.

Функция z = ƒ(х;у) (или ƒ(М)) называется непрерывной в точке М₀(х₀;у₀), если она:

а) определена в этой точке и некоторой ее окрестности,

б) имеет предел

в) этот предел равензначению функции z в точке М_о, т. е.

или

Функция, непрерывная в каждой точке некоторой области, называется непрерывной в этой области. Точки, в которых непрерывность нарушается (не выполняется хотя бы одно из условий непрерывности функции в точке), называются точками разрыва этой функции. Точки разрыва z=ƒ(х;у) могут образовывать целые линии разрыва. Функция z = ƒ(х;у) называется непрерывной в точке М₀(х₀;у₀) є D, если выполняется равенствот. е. полное приращение функции в этой точке стремится к нулю, когда приращения ее аргументов х и у стремятся к нулю.

3) Частные производные. Дифференцируемая функция 2-х переменных. Дифференциал.

Каждая частная производная (по x и по y) функции двух переменных представляет собой обыкновенную производную функции одной переменной при фиксированном значении другой переменной:(где y = const),(где x = const).

2-х переменных: Пусть функция z = f(x, y) определена в некоторой окрестности S = S(M0, δ) точки M0 = (x0, y0) и пусть M = (x, y) принадлежащее S, ∆x = x − x0, ∆y = y − y0 и, значит, ρ = ρ(M, M0) = sqrt(∆x^2 + ∆y^2) < δ. Положим ∆z = f(x0 + ∆x, y0 + ∆y) − f(x0, y0).

Функция z = f(x, y) называется дифференцируемой в точке (x0, y0), если существуют два числа A и B такие, что ∆z = A∆x + B∆y + α(∆x, ∆y), где при ρ<>0 α(∆x, ∆y) = ε(∆x, ∆y)ρ, lim( ρ→0) ε(∆x, ∆y) = 0.

В случае дифференцируемости функции f в точке (x0, y0) линейная функция A∆x + B∆y переменных ∆x и ∆y называется дифференциалом функции f в точке (x0, y0) и обозначается dz. Таким образом, dz = A∆x + B∆y .