3. Некоторые дискретные распределения

3.1 Биномиальное распределение

Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины X - числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность наступления события постоянна. Вероятности p_i вычисляют по формуле Бернулли

Для биномиального распределения: математическое ожидание M(X) = np, дисперсия D(X) = npq, мода np-q ≤ Mo ≤ np+p, коэффициент асимметрии As = (q - p)/√npq, коэффициент эксцесса Ex = (1 - 6pq)/npq В пределе при n→∞ биномиальное распределение по своим значениям приближается к нормальному с параметрами a=np и σ=√npq В пределе при n→∞ и при p→0 биномиальное распределение превращается в распределение Пуассона с параметром λ=np.

Пример 3.1

Построить ряд распределения числа попаданий мячом в корзину при трех бросках, если вероятность попадания при одном броске равна 0,6. Найти среднее число попаданий и дисперсию.

Решение Случайная величина Х – число попаданий в корзину при трёх бросках. Соответствующие вероятности найдём по формуле Бернулли.

Искомый закон распределения:

Контроль: 0,064 + 0,288 + 0,432 + 0,216 = 1 Математическое ожидание: М(Х) = Σ х_ip_i = 0 · 0,064 + 1 · 0,288 + 2 · 0,432 + 3 · 0,216 = 1,8 Или: М (Х) = np = 3 · 0,6 = 1,8 Дисперсия: D(X) = Σ х²_ip_i – (М(Х))² = 0² · 0,064 + 1² · 0,288 + 2² · 0,432 + 3² · 0,216 – 1,8² = 0,72 Или: D (X) = npq = 3 · 0,6 · 0,4 = 0,72 Среднее квадратическое отклонение: σ(Х) = √D(X) ≈ 0,85 Коэффициент асимметрии As = (q - p)/√npq = (0,4 - 0,6)/√3·0,6·0,4 ≈ -0,2357, Коэффициент эксцесса Ex = (1 - 6pq)/npq = (1 - 6·0,6·0,4)/(3·0,6·0,4) ≈ -0,61111 Свернуть

3.2 Геометрическое рапределение

Производится серия испытаний. Случайная величина - количество испытаний до появления первого успеха (например, бросание мяча в корзину до первого попадания). Закон распределения имеет вид:

Если количество испытаний не ограничено, т.е. если случайная величинв может принимать значения 1, 2, ..., ∞, то математическое ожидание и дисперсию геометрического распределения можно найти по формулам M(X) = 1/p, D(X) = q/p²

Пример 3.2

Из орудия производится стрельба по цели до первого попадания. Вероятность попадания в цель p = 0,6 при каждом выстреле. С.в. X - число возможных выстрелов до первого попадания. а) Составить ряд распределения, найти функцию распределения, построить её график и найти все числовые характеристики. б) Найти математическое ожидание и дисперсию для случая, если стрелок намеревается произвести не более трёх выстрелов.

Показать решение

3.3 Гипергеометрическое рапределение

Имеется N объектов. Из них n объектов обладают требуемым свойством. Из общего количества отбирается m объектов. Случайная величина X - число объектов из m отобранных, обладающих требуемым свойством. Для вычисления вероятностей используются биномиальные коэффициенты (см. число сочетаний). Закон распределения имеет вид:

Пример 3.3

Среди 20 книг, стоящих на полке, 8 книг по математической статистике. Случайная величина X - число книг по математике из четырёх случайно взятых с этой полки книг. Составить ряд распределения, найти функцию распределения, построить её график и найти все числовые характеристики.

Решение Случайная величина X может принимать значения 0, 1, 2, 3, 4. P(0)=C⁴₁₂/C⁴₂₀=(12!16!4!)/(4!8!20!)=(9·10·11·12)/(17·18·19·20)≈0,102167 P(1)=(C³₁₂·C¹₈)/C⁴₂₀=(12!·8·16!4!)/(3!9!20!)=(10·11·12·8·4)/(17·18·19·20)≈0,363261 P(2)=(C²₁₂·C²₈)/C⁴₂₀≈0,381424 P(3)=(C¹₁₂·C³₈)/C⁴₂₀≈0,138700 P(4)=C⁴₈/C⁴₂₀≈0,014448 Ряд распределения: x_i|    0    |    1    |     2     |     3     |     4 ------------------------------------------------ p_i|0,1022|0,3633|0,38143|0,13873|0,0145

Функция распределения - это вероятность того, что случайная величина примет значение меньшее, чем конкретное числовое значение x. Её значения находим суммированием вероятностей. При       x ≤ 0   F(X) = 0 При 0 ≤ x ≤ 1   F(X) = 0,102167 При 1 ≤ x ≤ 2   F(X) = 0,102167 + 0,363261 = 0,465428 При 2 ≤ x ≤ 3   F(X) = 0,465428 + 0,381424 = 0,846852 При 3 ≤ x ≤ 4   F(X) = 0,846852 + 0,138700 = 0,985552 При       x ≥ 4   F(X) = 0,985552 + 0,014448 = 1

M(X) = 0·0,1022 + 1·0,3633 + 2·0,38143 + 3·0,13873 + 4·0,0145 = 1,6 D(X) = 0²·0,1022 + 1²·0,3633 + 2²·0,38143 + 3²·0,13873 + 4²·0,0145 - 1,6² ≈ 0,808421 σ(Х) ≈ 0,899 Свернуть