- •Содержание
- •Глава 1: Матрицы
- •1.1. Введение
- •1.2. Основные понятия
- •1.3. Операции над матрицами
- •1.3.1. Произведение матриц
- •1.4. Типы матриц
- •1.6. Свойства матричных операций
- •Упражнения к главе 1.
- •Глава 2: Определители
- •2.1. Перестановки и транспозиции
- •2.2. Формальное определение
- •2.3. Свойства определителей
- •2.4. Вычисление определителей
- •2.4.1. Разложение определителя по элементам строки или столбца
- •Упражнения к главе 2
- •Глава 3: Обратная матрица
- •3.1. Терминология
- •3.2. Две важные леммы
- •3.3. Теорема об обратной матрице
- •3.3.1. Примеры вычисления обратной матрицы
- •3.4. Вычисление обратной матрицы методом элементарных преобразований
- •Упражнения к главе 3.
- •4.1. Ранг матрицы
- •4.2. Основные понятия
- •4.3. Метод Гаусса
- •4.3.1. Несколько примеров
- •4.4. Однородные системы линейных уравнений
- •4.4.1. Примеры
- •4.5. Правило Крамера
- •4.6. Обобщенное правило Крамера
- •Упражнения к главе 4
- •Литература
Матрицы
1.4.Типы матриц
Вквадратной матрице A =|| ai, j || элементы ai,i ( i =1,2,3,K) образуют
главную диагональ и называются диагональными элементами.
Матрица, в которой все недиагональные элементы равны нулю,
называется диагональной:
a |
0 |
L |
0 |
|
||
|
1,1 |
a2,2 |
|
0 |
|
|
|
0 |
L |
|
|||
|
M |
L |
O |
M |
. |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
L an,n |
Очевидно, что в диагональной матрице элементы ai, j = 0 , если i ≠ j .
Диагональная матрица вида |
|
|
|
||
1 |
0 |
L 0 |
|
||
|
0 |
1 |
L 0 |
|
|
|
|
||||
E = |
M |
L |
O M |
. |
|
|
|
||||
|
|
|
|||
|
0 |
0 |
L 1 |
|
|
|
|
называется единичной, поскольку она играет роль обычной единицы в системе вещественных чисел, а именно, при умножении на единичную матрицу (справа или слева) исходная матрица не изменяется:
AE = A |
и |
EA = A. |
Это свойство будет доказано в следующем разделе. Нулевая матрица состоит из одних нулей:
0 |
L 0 |
|
||
|
|
|
|
|
O ≡ M |
O |
M |
. |
|
|
0 |
L |
0 |
|
|
|
В системе матриц, 0-матрица обладает тем же свойством, что и обычный нуль, то есть
AO =O и OA =O
для любой матрицы A.
Однако, эта аналогия не является абсолютной. Так, произведение матриц может равняться нулевой матрице, хотя ни один из сомножителей не является нулевой матрицей. Например,
11
Матрицы
0 |
1 3 |
2 0 |
0 |
||||||||
|
0 |
4 |
|
|
0 |
0 |
|
= |
0 |
0 |
. |
|
|
|
|
|
|
Говорят, что матрица имеет треугольный вид, если все ее элементы, расположенные выше или ниже главной диагонали, равны нулю:
a |
a |
L |
a |
|
|
a |
0 |
L 0 |
|
|||
|
1,1 |
1,2 |
|
1,n |
|
|
1,1 |
|
|
|
|
|
|
0 |
a2,2 |
L a2,n |
или |
a2,1 |
a2,2 |
L |
0 |
|
|||
|
M |
L |
O |
M |
|
|
M |
L |
O |
M |
. |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
an,2 |
|
|
|
|
L an,n |
|
an,1 |
L an,n |
Если в произвольной m ×n матрице A произвести взаимную замену строк и столбцов, то полученная матрица называется транспонированной и
обозначается символом AT . Это означает, что строки матрицы A являются столбцами матрицы AT , а столбцы матрицы A являются строками матрицы AT ; и наоборот: ( AT )i, j = Aj,i .
Матрица A называется симметричной, если AT = A. В этом случае
a j,i = ai, j . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Матрица |
A называется кососимметричной, если AT = −A, то есть |
||||||||||
a j,i = −ai, j . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Примеры: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) Пусть A = |
|
|
– произвольная матрица второго порядка, |
||||||||
|
|
c |
|
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,1 |
1,2 |
|
1,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
a2,2 |
|
|
– произвольная 2 ×3 матрица. |
|
||||||
|
a2,1 |
|
a2,3 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
Нетрудно проверить прямым вычислением, |
что матрицы не |
||||||||||
|
изменяются |
|
при |
|
умножении |
на |
единичные |
матрицы |
||||
|
соответствующих порядков: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
1 0 a b a b |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 1 c d c d |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
a b |
1 0 a b |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
c d |
0 1 c d |
|
|
|
|||
|
|
1 |
0 |
|
a1,1 |
a1,2 |
a1,3 |
a1,1 |
a1,2 |
a1,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
, |
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
a2,2 |
|
|
a2,2 |
|
|
|
|
a2,1 |
a2,3 |
a2,1 |
a2,3 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
Матрицы
|
|
a |
|
a |
|
|
a |
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
a |
a |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
||||||||||||||||
|
|
|
1,1 |
|
|
1,2 |
|
|
1,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1,1 |
|
1,2 |
|
1,3 |
|
||
|
|
a |
2,1 |
|
a |
2,2 |
|
a |
|
|
|
0 1 0 = |
a |
2,1 |
a |
2,2 |
a |
2,3 |
. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
2,3 |
|
|
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
2 |
|
−7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
||
2) |
|
|
|
|
1 |
|
|
0 |
|
|
|
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Если A = |
|
|
, то |
A |
|
= |
−7 |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
4 |
2 |
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3) |
|
|
|
|
|
|
2 |
−5 |
9 |
|
является симметричной, так как ST = S . |
||||||||||||||
Матрица S = |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 |
9 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
−3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4) |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
0 |
|
−2 |
|
является кососимметричной, поскольку |
||||||||||||
Матрица A = |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
2 |
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
0 |
|
3 −1 |
|
0 |
|
−3 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
T |
|
−3 0 |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
A |
= |
|
|
= − |
|
0 −2 = −A. |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
1 |
−2 0 |
|
|
|
−1 2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.5. Дельта cимвол Кронекера
Дельта-символ Кронекера определяется следующим выражением:
δ |
|
1, |
если |
i = j, |
i, j |
= |
если |
i ≠ j. |
|
|
0, |
Дельта-символ симметричен относительно перестановки индексов:
δi, j =δj,i .
Рассмотрим некоторые применения δi, j .
1. Дельта-символ снимает суммирование в выражениях вида |
||||||
∑aiδi, j , |
∑a jδi, j , |
∑ai, jδi, j , |
∑ai, jδi, j , и т.д. |
|||
|
i |
j |
i |
|
j |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
∑aiδi, j = a j , |
если k ≤ j ≤ n . |
|
||
|
n |
i =k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑aiδi, j = 0 , |
если |
j < k |
или j > n . |
|
|
|
i =k |
|
|
|
|
|
13
Матрицы
Примеры:
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
Сумма ∑i2δi,3 содержит только одно ненулевое слагаемое, поскольку |
|||||||||
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δi,3 =1 при i =3 |
и δi,3 |
= 0 для всех других значений i . Следовательно, |
|||||||
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑i2δi,3 = 32 = 9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i =1 |
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• |
Сумма |
∑i2δi,120 |
содержит только |
нулевые слагаемые, поскольку |
||||||
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
100 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
δi,120 =0 для всех 1 ≤i ≤100 и, следовательно, ∑i2δi,120 = 0 . |
|
||||||||
|
1000 |
|
|
|
1000 |
|
|
|
i =1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
• |
∑2k δ10,k = 210 =1024 , |
однако |
∑2k δ10,k |
= 0 . |
|
|||||
|
k =5 |
|
|
|
k =20 |
|
|
|
|
|
2. |
Числа δi, j являются элементами единичной матрицы, |
|
||||||||
|
|
|
|
1 |
0 |
L |
0 |
|
||
|
|
|
|
|
0 |
1 |
L 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
E =||δi, j ||= |
M |
L |
O |
M |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
0 |
0 |
L 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
Рассмотрим i, j -ый матричный элемент ( A E)i, j произведения |
AE , |
||||||||
где A– |
произвольная |
m ×n матрица, |
E |
– |
единичная матрица |
n -го |
||||
порядка. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
По определению матричного произведения и с учетом свойств |
|||||||||
дельта-символа, |
|
|
|
|
|
|
|
|
n
( A E)i, j = ∑ai,kδk , j = ai, j k =1
Равенство соответствующих матричных элементов означает равенство матриц. Таким образом, A E = A.
1.6. Свойства матричных операций
Свойства, связанные со сложением
1. Для любой матрицы A существует противоположная матрица (– A)
A + (– A) = A – A = 0.
2. Если A и B – матрицы одинаковой размерности, то
A + B = B + A.
3. Если A, B, и C – матрицы одинаковой размерности, то
(A + B) + C = A + (B + C).
14
Матрицы
4.Транспонирование суммы матриц эквивалентно транспонированию каждой матрицы суммы:
( A + B)T = AT + BT .
Вышеприведенные свойства вполне очевидны. Их доказательство предоставляется читателю.
Свойства, связанные с умножением
Предположим, что размерности матриц таковы, что соответствующие произведения определены, и пусть λ и µ – произвольные числа. Тогда
1.λ(µ A) = (λ µ) A.
2.λ( AB) =(λ A)B = A(λ B) .
3.(AB)C = A(BC).
4.( AB)T = BT AT .
5.Произведение диагональных матриц одного и того же порядка коммутативно: AB = BA.
Свойства 1) и 2) основываются на определении операции умножения матрицы на скаляр.
Для доказательства свойства 3 достаточно доказать попарное равенство соответствующих матричных элементов матриц ( AB)C и
A(BC) .
По определению, i,j-тый элемент произведения матрицы AB на матрицу C равен
(( AB)C)i, j = ∑( AB)i,k ck , j .
k
Учитывая, что
( AB)i,k = ∑ai,lbl,k , l
получаем
(( AB)C)i, j = ∑∑ai,l bl,k ck , j . k l
Изменим теперь порядок суммирования:
(( AB)C)i, j = ∑ai,l ∑bl,k ck, j l k
= ∑ai,l (BC)l, j =( A(BC))i, j .
l
В виду произвольности номеров i и j, соответствующие матричные элементы попарно равны, что означает равенство матриц:
( AB)C = A(BC) .
15
Матрицы
Для доказательства
( AB)T i, j =( AB) j,i ,
Тогда
( AB)T i, j
свойства 4 воспользуемся равенствами
AT i, j = Aj,i ≡ a j,i и BT i, j = B j,i ≡bj,i .
= ( AB) j,i = ∑a j,k bk ,i k
= ∑AT k , j BT i,k = ∑BT i,k AT k , j = (BT AT )i, j . k k
Таким образом, произвольный элемент матрицы ( AB)T совпадает с соответствующим элементом матрицы (BT AT ) и, следовательно, матрицы равны: ( AB)T = BT AT .
Доказательство свойства 5 основывается на следующих доводах:
1)Диагональные матрицы являются симметричными, т.е. AT i, j = Ai, j .
2)Произведение диагональных матриц есть диагональная матрица. Поэтому достаточно доказать попарное равенство диагональных элементов:
( AB)i,i = ∑ai,k bk,i = ∑ak ,ibi,k = ∑bi,k ak,i =(BA)i,i . k k k
Тем самым, равенство матриц доказано.
Свойства, связанные со сложением и умножением
Пусть размерности матриц таковы, что соответствующие операции сложения и умножения определены, и пусть λ – произвольное число. Тогда
1.A(B +C) = AB + AC
2.( A + B)C = AC + BC
3.λ( A + B) = λ A +λ B
Для доказательства свойства 1 рассмотрим элемент, стоящий в i-ой строке и j-ом столбце матрицы A(B +C) .
( A(B +C))i, j = ∑ai,k (B +C)k, j = ∑ai,k (bk , j +ck , j ) k k
= ∑ai,k bk , j +∑ai,k ck , j = ( AB)i, j +( AC)i, j =( AB + AC)i, j k k
Следовательно, матрицы A(B + C) и (AB + AC) равны.
Аналогичным образом можно обосновать свойство 2, убедившись в попарном равенстве элементов матриц (A + B)C и (AC + BC):
16
Матрицы
(( A + B)C)i, j = ∑( A + B)i,k Ck , j = ∑(ai,k +bi,k )ck , j k k
= ∑ai,k ck , j +∑bi,k ck , j =( AC)i, j +(BC)i, j =( AC + BC)i, j . k k
Соответствующие матричные элементы попарно равны и, следовательно, матрицы равны.
Доказательство свойства 3 в виду очевидности предоставляется читателю.
Замечания:
–Многие свойства матричных операций совпадают со свойствами соответствующих операций над вещественными числами. Однако в случае произвольных матриц AB ≠ BA.
–Числовую матрицу первого порядка можно интерпретировать как
обычное число (|| a1,1 || ≡ a1,1 ) и, таким образом, матрицы
представляют собой непосредственное обобщение вещественных чисел.
Пример 1. Прямым вычислением убедиться в справедливости свойства
(AB)C = A(BC), если
A = (1 2), |
3 |
−1 |
и |
−2 |
4 |
1 |
||||
B = |
0 |
4 |
|
C = |
5 |
0 |
2 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
A B = (1 2) 3 −1 = (3 7), |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
( A B)C = (3 7) −2 4 1 |
|
= (29 12 17), |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
0 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B C = |
3 −1 − |
2 4 1 −11 12 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
, |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
0 4 |
5 0 2 20 0 8 |
|
|
|
|
|
||||||||
|
A(B C) = (1 2) −11 12 |
1 |
= (29 12 17)=( A B)C . |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
20 |
0 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Прямым вычислением убедиться в справедливости свойства |
||||||||||||||||||
|
( AB)T = BT AT |
на |
примере произвольных матриц второго |
порядка, |
|||||||||||||||
|
A =|| ai, j || и |
B =|| bi, j |
||. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
a |
|
b |
b |
|
a b |
|
+a b |
a b |
+a b |
|
|
||||||
1) |
|
1,1 |
|
1,2 |
|
1,1 |
1,2 |
|
|
1,1 1,1 |
1,2 2,1 |
1,1 1,2 |
1,2 |
2,2 |
|
, |
|||
A B = a |
2,1 |
a |
2,2 |
|
b |
b |
|
= a b |
|
+a |
b |
a b |
+a |
b |
|
||||
|
|
|
|
2,1 |
2,2 |
|
|
2,1 1,1 |
|
2,2 2,1 |
2,1 1,2 |
|
2,2 |
2,2 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|