ai, j

Определители

2 0 0

det(2A) =det(2E) det A = 0 2 0 (−2) = 23 (−2) = −16 . 0 0 2

(d) Аналогично,

det(−3A) = det(−3E) det A = (−3)3 (−2) =54 .

(e) Сначала найдем матрицу ( A − 2E) , а затем ее определитель:

	2	3	4			2	0	0			0	3	4
	0	1	5			0	2	0			0	−1 5			,
A − 2E =					−					=
	0	0				0	0	2			0	0
			−1										−3

det(A − 2E) =0 (−1) (−3) =0 .

2.4. Вычисление определителей

Здесь мы рассмотрим два метода вычисления определителей. Суть одного из них заключается в разложении определителя по элементам строки или столбца, в результате чего исходный определитель n-го порядка выражается через n определителей меньшего порядка. Другой метод основывается на свойствах определителей и связан с преобразованием определителя к более простому виду. Комбинация двух методов дает наиболее эффективный путь вычисления определителей.

2.4.1. Разложение определителя по элементам строки или столбца

Предварительно введем некоторые важные для последующего изложения понятия.

Рассмотрим квадратную матрицу n-го порядка. Выберем i,j-ый элемент этой матрицы и вычеркнем i-ую строку и j-ый столбец. В результате

мы получаем матрицу (n–1)-го порядка, определитель которой называется минором элемента ai, j и обозначается символом Mi, j .

32

Определители

Алгебраическое дополнение Ai, j элемента ai, j определяется формулой

Ai, j = (−1)i + j Mi, j .

Нетрудно заметить, что алгебраическое дополнение i,j-го элемента совпадает с минором этого элемента, если сумма индексов, нумерующих строку и столбец элемента, является четным числом. Для нечетных значений i+j алгебраическое дополнение отличается от минора только знаком.

Теорема о разложении определителя по элементам строки.

Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов строки на их алгебраические дополнения:

det A = ai,1 Ai,1 + ai,2 Ai,2 +K+ ai,n Ai,n =

n

= ∑ai, j Ai, j j =1

Доказательство: По определению, определитель матрицы A представляет собой сумму

det A =	∑a1,k1 a2,k2 Kai,ki Kan,kn (−1)P{k1,k2 ,K,kn}	(*)
	{k1,k2 ,Kki ,Kkn}

по все возможным перестановкам индексов, нумерующих столбцы. Выберем произвольным образом некоторую строку, например, с

номером i. Один из элементов этой строки представлен в каждом произведении a1,k1 a2,k2 Kai,ki Kan,kn . Поэтому слагаемые суммы (*)

можно перегруппировать, объединив в первую группу те, что содержат элемент ai,1 в качестве общего множителя, во вторую группу – члены,

содержащие элемент ai,2 , и т.д.

Другими словами, выражение (*) можно представить в виде линейной комбинации элементов ai, j ( j =1,2,L,n ),

33

Определители

n		∑a1,k1 a2,k2 Kai, j Kan,kn (−1)P{k1,k2 ,K,kn} =
det A = ∑
j =1{k1,k2 ,Kj,Kkn}
n		∑a1,k1 a2,k2 Kai −1,ki−1 ai +1,ki+1 an,kn (−1)P{k1,k2 ,K,kn} =
= ∑ai, j
j =1		{k1,k2 ,Kj,Kkn}
n
= ∑ai, j Ai, j = ai,1 Ai,1 + ai,2 Ai,2 +K+ai,n Ai,n ,
j =1
где	∑a1,k1 a2,k2 Lai −1,ki−1 ai +1,ki+1 Kan,kn (−1)P(k1,L,ki−1, j,ki+1,L,kn ) .
Ai, j =
{k1,L,ki−1,ki = j,ki+1,L,kn}
Покажем, что		Ai, j представляет собой алгебраическое	дополнение
элемента ai, j .
Рассмотрим четность перестановки {k1,L, ki −1, j, ki +1,L, kn}.
Во-первых,	требуется i–1 транспозиций элемента j с		соседними

элементами, чтобы получить перестановку { j, k1,L, ki −1, ki +1,L, kn}.

Во-вторых, в полученной перестановке, элемент j образует j–1 инверсий с другими элементами.

Следовательно,

(−1)P(k1,L,ki−1, j,ki+1,L,kn ) = (−1)i −1+ j −1 (−1)P(k1,L,ki−1,ki+1,L,kn ) =

= (−1)i + j (−1)P(k1,L,ki−1,ki+1,L,kn )

Однако

∑Lai −1,ki−1 ai +1,ki+1 K (−1)P(k1,L,ki−1,ki+1,L,kn ) = Mi, j {k1,L,ki−1,ki+1,L,kn}

представляет собой минор элемента ai, j .

Таким образом, Ai, j = (−1)i + j Mi, j , что и требовалось доказать.

Поскольку det A = det AT , то тем самым справедлива и следующая

Теорема о разложении определителя по элементам столбца.

Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов столбца на их алгебраические дополнения:

det A = a1, j A1, j + a2, j A2, j +K+ an, j An, j

n

=∑ai, j Ai, j

i=1

34

Определители

Теоремы о разложении определителя имеют важное значение в теоретических исследованиях. Они устанавливает, что проблема вычисления определителя n-го порядка сводится к проблеме вычисления n определителей (n –1)-го порядка.

Примерs:

1) Вычислить определитель произвольной матрицы A =|| aij || третьего

порядка разложением по элементам

(i) первой строки;

(ii) второго столбца.

Решение:

a11

a12

a13

a22

a23

−a

a21

a23

+a

a21

a22

det A =

a

a

a

= a

21

22

23

11

a32

a33

12

a31

a33

13

a31

a32

a31

a32

a33

=a11(a22a33 −a23a32 ) −a12 (a21a33 −a23a31 ) +a13 (a21a32 −a22a31 )

=a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 −a11a23a32 −a12a21a33 −a13a22a31,

a11

a12

a13

a21

a23

+a

a11

a13

−a

a11

a13

det A =

a

a

a

= −a

21

22

23

12

a31

a33

22

a31

a33

32

a21

a23

a31

a32

a33

=−a12 (a12a33 −a23a31 ) +a22 (a11a33 −a13a31 ) −a32 (a11a23 −a13a21 )

=a11a22a33 +a12a23a31 +a13a21a32 −a11a23a32 −a12a21a33 −a13a22a31.

Результаты, полученные различными методами, идентичны.

	Вычислить определитель									2		−5	3			разложением по элементам
2)										1		4	0
										−3		7	5
	(i) первой строки,					(ii) второго столбца.
Решение:
(i)	Разложение определителя по элементам первой строки дает
			2	−5	3			4 0					1			0		1 4
			1	4	0		= 2				−(−5)						+3
			−3	7	5			7	5				−3			5		−3 7

=2 4 5 +5 1 5 +3(7 +12) =122.

(ii)Тот же самый результат получается при разложении определителя по элементам второго столбца:

35

Определители

2	−5	3		1	0		2 3		2	3
1	4	0	= −(−5)			+4		−7
−3	7	5		−3	5		−3 5		1	0

=5(5 +0) +4 (10 +9) −7(0 −3) =122.

2.4.2.Вычисление определителей методом элементарных

преобразований

Под элементарными преобразованиями понимаются следующие операции.

N	Операция	Результат
1	Перестановка местами двух	Определитель изменяет свой
	строк.	знак.
2	Умножение строки на ненулевое	Определитель умножается на это
	число.	число.
3	Прибавление к строке другой	Определитель не изменяется.
	строки, предварительно
	умноженной на любое число.

С учетом равноправия строк и столбцов определителя подобные операции в полной мере применимы к столбцам.

Идея метода заключается в том, чтобы с помощью элементарных преобразований строк и столбцов привести определитель к треугольному виду, что решает проблему его вычисления.

Можно поступать и несколько иначе: с помощью элементарных преобразований получить строку (или столбец), содержащую только один ненулевой элемент, и затем разложить полученный определитель по элементам этой строки (столбца). Подобная процедура понижает порядок определителя на одну единицу.

Примеры.
2		−4	1
	−3	2		. Вычислить det A, приведя матрицу к
1) Пусть A =			5
	1	2
			3

треугольному виду.

Решение:

36

Определители

	2	−4 1					r1	→r1 −2r3				0	−8 −5
det A =							r2	→r2 +3r3
	−3	2			5			=				0	8	14
	1	2			3							1	2	3
r1	↔r3	−		1		2		3		r3	→r3		+r2	−		1	2	3		.
	=			0 8			14				=					0	8	14
				0		−8		−5								0	0	9

Определитель матрицы треугольного вида равен произведению ее диагональных элементов:

det A = −1 8 9 = −72 . 2) Вычислить определитель матрицы

1		5	−2	0
	3	1	6
				−1
A =	7	0	1	3	.
	4	5	2	1

Решение: Сначала преобразуем первую строку с помощью элементарных операций над столбцами, стремясь получить в ней максимально возможное число нулей. С этой целью вычтем из второго столбца пятый столбец, предварительно умноженный на 5, а к третьему столбцу прибавим удвоенный второй столбец:

	1	5	−2 0			c →c −5c				1	0	0 0
	3	1	6	−1		c2	→c2	+2c1		3	−14	12	−1
det A =						3	=3	1							.
	7	0	1	3						7	−35	15	3
	4	5	2	1						4	−15	10	1

Теперь разложим определитель по элементам первой строки:

det A =		−14	12	−1
		−35	15	3
		−15	10	1

Преобразуем строки, прибавляя к первой строке третью и вычитая из второй строки утроенную третью:

37