3.2.1. Цилиндрические зубчатые передачи

Это передачи с параллельными осями. Они бывают с прямым, косым зубом и шевронные. Передачи с шевронным и косым зубом имеют преимущества: большая прочность зуба, большая плавность зацепления и малый шум, меньшие динамические нагрузки.

На рис. 3.6 показана передача с наружным зацеплением, где n₁, n₂ – частоты вращения шестерни 1 и колеса 2, z₁ и z₂ – числа их зубьев, d₁ и d₂ – диаметры делительных окружностей.

Отношение частот вращения называется передаточным отношением i₁₂. В отличие от передаточного числа u₁₂ оно имеет знак.

Из очевидных равенств скоростей точек колеса и шестерни, расположенных на делительных окружностях

,

получаем передаточное отношение

,

Чаще всего используют зубчатые колёса с эвольвентным зацеплением, которое обеспечивает постоянное передаточное отношение и малое скольжение зубьев. Рабочая поверхность зуба имеет форму эвольвенты. Эвольвентой называется кривая, которую описывает точка N₁, образующей прямой N-N при перекатывании без скольжения по окружности (рис. 3.7). Окружность, по которой перекатывается образующая кривая N-N называется основной. Радиус кривизны эвольвенты переменный. При увеличении радиуса основной окружности до бесконечности радиус кривизны эвольвенты в любой ее точке также становится бесконечно большим, т.е. основная окружность и эвольвента превращаются в прямые линии. Эвольвентное зубчатое колесо превращается в зубчатую рейку с прямолинейным профилем зуба. 

Прямозубое колесо нарезается с помощью долбяка или инструментальной рейки (рис.3.8а,б). Долбяк совершает возвратно-поступательное движение вдоль оси заготовки и вращается вместе с ней. При нарезании зуборезной гребенкой заготовка вращается вокруг своей оси, а рейка 1 совершает возвратно-поступательное движение параллельно оси заготовки 2 и поступательное движение по касательной к ободу заготовки.

Окружность зубчатого колеса, на которой шаг p и угол зацепления равны углу и шагу профиля α инструментальной рейки называется делительной. Её диаметр обозначают d. На рейке делительной плоскостью называют такую, на которой толщина зуба равна ширине впадины (рис.3.9).

+x

При вращении зубчатых колёс зуб колеса 2 входит в контакт с вершиной зуба колеса 1 в точке В (рис.3.10а). При дальнейшем вращении контакт смещается к его вершине от впадины. Геометрическое место точек контакта профилей, которое они занимают в процессе работы пары зубьев, называется линией зацепления. Эвольвентные профили зубьев в точке контакта имеют общую нормаль, представляющую собой прямую касательную к основным окружностям колёс, независимо от расположения контакта. Поэтому линия зацепления N-N является прямой. Эта линия определяет начало входа пары зубьев в зацепление и выхода из него. Отрезок АВ, ограниченный окружностями вершин зубьев колеса и шестерни, называется активным участком линии зацепления. Нормальные силы в контакте двух зубьев направлены по нормалям к их профилям, то есть вдоль линии зацепления. Это обеспечивает постоянство передаточного отношения по вращающему моменту.

Линия, соединяющая центры зубчатых колес называется межосевой. Точка пересечения линии зацепления и межосевой называется полюсом зацепления. Окружности, перекатывающиеся одна по другой без скольжения, называются начальными. Их диаметры обозначаются d_ω1и d_ω2. Полюс может быть определен как точка касания начальных окружностей. Угол α, образованный перпендикуляром к межосевой линии с линией зацепления называется углом зацепления.

Окружной делительный шаг p – это расстояние между одноименными профилями соседних зубьев, измеряемое по дуге делительной окружности. Основным параметром зубчатого зацепления является модуль, представляющий собой отношение делительного шага к числу π

ГОСТ предусматривает угол зацепления α = 20°, высоту головки зуба h_a = m, высоту ножки зуба h_f = 1,25m (рис.3.10б).

Диаметры делительных окружностей колес определяются через модуль зацепления зависимостями

где z₁, z₂ – число зубьев первого и второго колеса.

Силы в зацеплении цилиндрических передач

Рассмотрим цилиндрическую передачу с косым зубом. Угол наклона зуба к осевой линии зубчатого колеса β составляет 8...20^° (рис.3.11). Сверху показано сечение зуба нормальной плоскостью n-n. В контакте зубьев возникает нормальная сила направленная вдоль нормали к поверхностям зубьев, составляющей угол α_n – угол зацепления в нормальном сечении. Начало координат выберем в полюсе зацепления на середине зубчатого венца.

Сила взаимодействия раскладывается на три составляющие

где F_t = 2M/d – окружная сила;

M – вращающий момент;

–радиальная сила;

α_t – угол зацепления в торцевом сечении;

_{Нормальная к поверхности зуба сила равна}

В расчётах зубьев на прочность учитывают динамические нагрузки путём умножения номинальных момента и силы на коэффициент динамичности k_дин

, ,

где k_дин принимают равным 1,05...2.

Удельную нагрузку на зуб получают делением окружной силы на ширину зуба b_w (рис.3.10).

Удельная нагрузка в расчётах на контактную выносливость определяется с учетом ряда коэффициентов

где

– коэффициент, учитывающий распределение нагрузки между зубьями;

– коэффициент, учитывающий неравномерность распределения нагрузки по ширине зуба;

– коэффициент, учитывающий дополнительную динамическую нагрузку.

При расчете на выносливость при изгибе удельная нагрузка _{определяется с учетом аналогичных коэффициентов.}

Расчёт зубьев на прочность

Расчет по контактным напряжениям

Переменные контактные напряжения являются причиной усталостного разрушения рабочей поверхности зубьев. Они приводят к появлению в поверхностном слое трещин и выкрашиванию частиц материала.

Максимальные контактные давления определяются по формуле Герца

где – удельная нагрузка;

–удельная окружная сила;

– приведенный модуль упругости;

Е₁, Е₂ –модули упругости материалов колес;

– приведенный радиус кривизны поверхностей зубьев, знак + берётся для выпуклых поверхностей.

Контактные напряжения не одинаковы по высоте зуба. В связи с тем, что выкрашивание наблюдается у делительной окружности, максимальное напряжение определяют для положения, когда начальная точка контакта зубьев находится в полюсе зацепления.

Если контакт зубьев располагается в полюсе P, радиусы кривизны профилей зубьев равны (рис.3.10)

Учитывая это, а также выражение для q, для максимальных контактных напряжений, получаем

,

где u – передаточное число,

знак «+» берется при внешнем зацеплении;

– коэффициент, учитывающий форму поверхностей зубьев в полюсе, при α = 20^°, Z_H = 2,5;

– коэффициент, учитывающий механические свойства материалов колёс, для стальных колёс

– коэффициент, учитывающий суммарную длину контактных линий с учётом перекрытия.

Коэффициент торцевого перекрытия определяет плавность работы передачи. Он равен отношению угла поворота колеса от входа торцового профиля зуба в зацепление до выхода к угловому шагу 2π/z, или отношению длины активного участка линии зацепления к окружному шагу. Для прямозубых передач он должен быть 1,25..1,9.

Приближённая формула для его определения

В расчётах на выносливость используется кривая контактной выносливости. Если задан ресурс работы зубчатой передачи T_h, то число циклов изменения контактных напряжений равно

N_HЕ = 60сnT_h,

где с – число контактов одной поверхности зуба за один оборот;

n – частота вращения.

По кривой контактной выносливости определяется напряжение , при котором зуб выдерживает N_НЕ циклов нагружения (рис.3.12).

Допускаемые контактные напряжения равны

,

где S_H = 1,2...1,35 – запас прочности.

Условие контактной прочности

Межосевое расстояние для стальных колёс определяют по формуле

где М₁ – расчётный вращающий момент на шестерне в H·мм;

коэффициент K_H учитывает неравномерность распределения нагрузки по ширине зуба;

–относительная ширина зуба, принимается равной 0,1…0,3.

Модуль связан с межосевым расстоянием зависимостью

Расчет зуба на прочность при изгибе

Расчет проводится для наиболее неблагоприятного варианта приложения силы к вершине зуба, которая передается одной парой зубьев (рис.3.13). Силу F по линии действия переносят к оси симметрии зуба и раскладывают на составляющие

F_t = 2M₁/d₁, F_r = F_ttgα.

После введения коэффициента K_F, учитывающего распределение нагрузки между зубьями, неравномерность его по ширине зуба и динамическую добавку, внутренние усилия в опасном сечении зуба равны

M_из = F_tK_Fh₁,

N = F_r = F_tK_Ftgα.

Растягивающие напряжения в опасной точке сечения

где – момент сопротивления;

A = bs – площадь сечения;

s – толщина зуба у основания.

После умножения и деления на m получаем

где – коэффициент формы зуба.

Для внешнего зацепления

Если задан ресурс T_h, число циклов нагружения зуба равно

N_NE = 60cnT_h.

С использованием кривой выносливости по значению N_NE определяется предел ограниченной выносливости зубьев при изгибе для отлулевого цикла σ_Flim.

Допускаемое напряжение в опасном сечении зуба равно

,

где S_F = 1,55…1,75 – коэффициент запаса прочности при изгибе.